Número de rayos
Un matemático extranjero llamado Capriga se encontró con una violenta tormenta durante un viaje. Después de los relámpagos y los truenos, vio un hito al borde del camino que estaba partido por la mitad. por un rayo, con 30 grabados en una mitad y 25 grabados en la otra mitad. En ese momento, Capriga de repente descubrió una maravillosa relación matemática en su mente:
Suma los números divididos por la mitad y eleva al cuadrado, y obtendrás exactamente el número original. Aparte de esto, ¿hay otros números que también tengan tales propiedades?
Las personas familiarizadas con los cálculos rápidos encontraron rápidamente otro número: 2025. Según el nombre del primer descubridor, este extraño número recibió el nombre de "Apéndice de Capley", también conocido como "Número de Rayo".
Hay muchas formas de buscar este número, pero la más sencilla es buscarlo en múltiplos de 9 y 11. Por ejemplo, el 55 mencionado anteriormente es múltiplo de 11 y el 45 es múltiplo de 9. Usando este método, la gente encontró un número extremadamente interesante 7777, que no es difícil de calcular: 6048 1729=7777
Kajia, un niño de la antigua Unión Soviética, también descubrió un nuevo "número de impacto de rayo", que Es 9801. 98 1 = 99. De los cuatro "números de rayos" mencionados anteriormente, podemos encontrar fácilmente la misma situación: números pares y números impares = números impares, y los cuadrados de los números impares = números impares. 3025, 2025, 9801 y 60481729 son todos números impares. Entonces, ¿existe un número par de rayos?
La respuesta es sí. Hace siete años, un compañero de clase de la escuela primaria afiliada a la Universidad Normal de Luzhou descubrió el número par "número de rayo": 100, porque 10 0 = 10, y después de la verificación, 100 es el número par más pequeño de rayo, y es También es posible que sea el único número par de rayos. Este compañero también descubrió el número impar más pequeño de rayos: 81. Debido a que 8 1 = 9, se puede especular que en el reino de las matemáticas, solo hay un número de rayos con el valor más pequeño, y hay innumerables números de rayos. con valores más amplios, cuyos misterios aún están por explorar.
Los números del rayo y sus leyes
Se dice que el matemático Capliga descubrió un número con propiedades especiales, al que se le llama "número de Capliga" o "el número del rayo". Son números tales que si se cortan en dos enteros en una determinada posición, el cuadrado de la suma de los dos números sigue siendo igual a este número, asumiendo que la posición de truncamiento está entre el enésimo y el n+1º dígitos de la derecha. Los dos números truncados son a y b, es decir, el número de rayos es igual a... (1)
El primer número de rayos fue lo que Capriga vio en la tormenta. 3025 en el hito fue dividido por la mitad por un rayo. Fue cortado en dos números, 30 y 25, y la suma fue 30 + 25 = 55. Este es el origen del "número del rayo". Algunas personas están interesadas en encontrar nuevos números de rayos. Se dice que un niño en la antigua Unión Soviética encontró un número de rayos que se dividía en 98 y 01: 9801. Entre los números de rayos conocidos, la suma de los dos números. Se dividieron en Todos son múltiplos de 9 u 11, o su suma menos 1 es un múltiplo de 9. La gente usa estas experiencias para encontrar nuevos rayos. El estudiante de primaria chino Liu Yi encontró el rayo impar más pequeño, el número 81. incluso el rayo número 100.
La distribución de los rayos entre números naturales es muy rara, y su densidad es menor entre números grandes porque su densidad disminuye exponencialmente.
Supongamos que el número de rayos log(N) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 n 1 2 5 7 9 11 18 21 26 32 57 59 65 log(n)/log(N) .000 .100 .175 . 169 .159 .149 .157 .147 .141 .137 .146 .136 .129 Esta ley de densidad numérica de rayos se obtiene de las estadísticas reales de todas las tablas numéricas de rayos dentro de números naturales de 14 dígitos. , y utilizamos una computadora para descubrir todas las ***66 tablas numéricas de rayos con una longitud de 14 dígitos. En esta tabla de números de rayos conocidos se puede ver que los números de rayos pueden ser pares o impares, pero siempre aparecen en pares. Es decir, para el mismo valor de b, siempre hay dos a1 y a2 formando un par. Los números de impacto de rayos son a1＊10＾n＋b y a2＊10＾n＋b. Por esta razón, el número de rayos en esta tabla no está completamente ordenado por tamaño. Nota: Para cualquier n, el número de 2n dígitos 10^n*(10^n-2)+1 y el número de 2n dígitos 10^2n pueden denominarse números ordinarios de rayos, pero no son un par, sino son 1 y 0 forman un par, es decir, cuando b=1, a1=1 y a2=10^n-2 forman un par; Debido a que los números de rayos son muy raros y no tienen un patrón de distribución definido como los números primos, es muy difícil descubrir manualmente un número de rayos, especialmente para números de rayos grandes, incluso si se usa una computadora para hacerlo. encontrar un número de rayo. Tomaría mucho tiempo buscarlos uno por uno. Debido a que un número de n dígitos se puede dividir en n-1 posiciones diferentes, se necesitan n pruebas para determinar si es un número de rayo. De esta manera, para encontrar todos los números de rayos con longitud n, necesitamos probar (n-1)*(10^(n+1)-10^n)=(n-1)*9*10^ n =1,289*10 ^16 veces, si se calcula utilizando una microcomputadora 486 con una velocidad de 80 megabytes, se puede probar unas 30.000 veces por segundo, lo que lleva 13.614 años. Por lo tanto, es necesario analizar las propiedades de los números de rayos, conocer y utilizar sus leyes. Se puede ver en la fórmula (1) que cuando se conoce b, el valor a del número de impacto del rayo se puede resolver a partir de la siguiente ecuación: a^2 + ( 2b-10^ n)＊a (b^2-b) = 0…………………… (2) Esta es una ecuación cuadrática sobre la variable a, que tiene dos raíces a1, a2, por eso el número de rayos siempre es de dos en dos. Pero para que las raíces a1 y a2 de (2) sean números naturales válidos, su discriminante debe ser igual a un número cuadrado: (2b-10^n)^2-4*1* (b^2 -b) = 10^ (2n) - 4b* (10^n - 1) = c^2... (3) Resuelve b a partir de esta fórmula: b = (10^n-c)* (10^n+c)/4/(10^n-1)…………………… (4) Siempre que encuentre una manera de que b en la ecuación (4) sea un número entero c y encuentre las dos raíces a1 y a2 de la ecuación (3) -(2b－10^n)±c 10^n ± c a1, a2 = ———————— ＝ ——————- b ………………………… (5) 2 2 2 p> Es decir, se encuentran un par de números de rayos a1*10^n+b y a2*10^n+b. Ahora, en lugar de verificar del 1 al 10^14 para encontrar todos los números de rayos, solo necesitamos verificar del 1 al 10^7 y encontrar el valor de c que hace que b en la fórmula □ sea un número entero. La computadora solo tarda 38 minutos. para completar. De la fórmula □, podemos obtener el producto de la suma de cada par de números de impacto de rayo: (a1+b)*(a2+b)=(10^2n-c^2) / 4 Nuevamente Sustituyendo c^2 = 10^2n-4*b* (10^n-1) en la fórmula □, podemos obtener: (a1+b)* (a2+b) = 2b*(10^n-1 ) Porque 10^n-1 es múltiplo de 9, es decir, al menos uno de cada par de rayos es múltiplo de 9. Cuando n es un número par , 10^n-1 sigue siendo múltiplo de 11, es decir, al menos uno de los dos pares de números de rayos es múltiplo de 11. Esta es la regla basada en el método empírico para encontrar los números de rayos mencionado anteriormente. Esta regla también se puede verificar con la tabla de números de rayos: De estos 66 números de rayos, el 15% de ellos son divisibles por 9 y 11 al mismo tiempo, y pueden ser divisibles por 9 52% lo son y 32% son divisibles por 11. Pero hay un 32% que no es divisible por 9 ni por 11. El número de rayo anterior se divide en dos números en una posición determinada y luego se suma. El cuadrado de la suma sigue siendo igual a este número. ¿Y si en lugar de sumar restamos? En otras palabras, después de dividir en dos números, debería haber números cuya diferencia al cuadrado sea igual al número natural, ¿verdad? Programé un programa y lo busqué y, efectivamente, existe. Llamémoslo reducir la cantidad de rayos. El número de rayos reducidos es menos de la mitad del número original y también aparecen en pares. Ahora, los 28 números de reducción de rayos dentro de 14 dígitos también se registran a continuación para que todos los verifiquen. Apéndice 1: Tabla de números de rayos dentro de 14 dígitos 8 1, 10 0│ 494 1729│ 250500 250000│ 101558 217124│ 923594 037444 20 25 │ 6048 1729│ 217930 248900│ 464194 217124│ 28 005264 30 25│ 9998 0001│ 284270 248900│ 43470 165025 │ 989444 005264 98 01│ 10000 0000│ 213018 248521│ 626480 165025│ 999998 000001 100 00│ 4938 17284│ 289940 248521│ 35010 152100│ 1000000 000000 88 209 │ 17284│ 152344 237969│ 660790 152100│ 2428460 2499481 494 209│ 3008 14336│ 371718 237969│ 33058 148761│ 2572578 2499481 998 001│ 68320 14336│ 127194 229449 │ 669420 148761│ 1975308 2469136 1000 000│ 238 04641 │ 413908 229449│ 21948 126201│ 3086420 2469136 2450 2500│ 90480 04641│ 123448 227904│ 725650 126201 │ 9390 0588225 2550 2500│ 99998 00001│ 420744 227904│ 20408 122449│ 8784160 0588225 744 1984│ 10000 000000│ 108878 221089│ 734694 122449│ 9999998 0000001 5288 1984│ 249 500 0│ 448944 221089│ 1518 037444│ 10000000 0000000 Apéndice 2: Tabla de números de reducción de rayos de 14 bits 10 0 │ 084:4 10000 0000 0000 0000 0000 0000000 0000000 12 1 │ 1162 084│ 10001 │ 0001 │ 139672 21489 │ 10000002 0000001 100 00│ 82 369│ 120 1216│ 1000000 000000│ 743802 3471076 102 01│ 16 56 369│ 12 1216│ 1000002 000001│ 16198350 3471076 1000 000│ 132 496│ 100000 00000│ 113322 449956│ 1002 001│ 1860 496│ 100002 00001│ 1786590 449956│ p>