La historia de la investigación del teorema de Abel-Ruffini

En 1824, Abel demostró que no existe una fórmula general para resolver ecuaciones algebraicas de quinto grado o más. Esta prueba está escrita en "En términos de álgebra, la llamada ecuación tiene una solución radical (solubilidad algebraica), es decir, la solución de esta ecuación se puede expresar mediante un número finito de operaciones como suma, resta, multiplicación, y división de potencias enteras. La solución de ecuaciones algebraicas data del siglo XVI. La primera mitad del siglo comenzó cuando varios matemáticos italianos resolvieron soluciones generales de ecuaciones cúbicas y cuárticas. Dedicado a resolver ecuaciones de tercer grado e incluso superiores, pero siempre sin éxito. Para la teoría de ecuaciones, Lagrange estudió sistemáticamente las propiedades de las raíces de las ecuaciones (1770) y señaló correctamente que la teoría de la permutación y sustitución de las raíces de las ecuaciones era la clave. a resolver ecuaciones algebraicas, logrando así un cambio en la forma de pensar algebraico. Lagrange no logró resolver completamente el problema de resolver ecuaciones de orden superior, pero su método de pensamiento inspiró a las generaciones futuras. En 1799, P. Ruffini demostró por primera vez la insolubilidad de las ecuaciones generales. ecuaciones superiores al cuarto grado, pero su "demostración" era defectuosa. Dos años más tarde, Gauss resolvió el problema teórico de la solubilidad de las ecuaciones de círculos secantes. En su primer año de universidad, Abel comenzó a estudiar la tesis "Aritmética" de Gauss. 》.. Más tarde, se enteró de los logros de Cauchy en la teoría de la permutación. Sin embargo, no conocía el trabajo de Ruffini en ese momento. Fue en este contexto que Abel pensó en el problema teórico de la solubilidad de las ecuaciones algebraicas. p>En 1824, Abel demostró correctamente por primera vez que la ecuación quíntica general es fundamentalmente irresoluble. En el primer número de la revista Crell de 1826 se publicó una demostración más detallada, titulada "Soluciones algebraicas de ecuaciones generales". Imposibilidad de cuatro veces". En este artículo, Abel analiza y corrige los defectos del argumento de Ruffini. teorema. Este teorema dice que si una ecuación se puede resolver usando raíces, entonces cada raíz en la expresión de raíz se puede expresar como una función racional de las raíces de la ecuación y algunas raíces unitarias usan este teorema para demostrarlo. las ecuaciones superiores al cuarto grado no pueden tener raíces.

El teorema de Abel mencionado anteriormente es también la idea de "grupo de permutación"

Cuando pensó más en qué ecuaciones (tales). como X ^ N-1 = 0) Al resolver por raíces, Abel demostró el siguiente teorema: Para una ecuación de cualquier grado, si todas las raíces de la ecuación se pueden expresar racionalmente mediante una de ellas (usamos X). para representarlo), y dos raíces cualesquiera Q(x) y Q1 (x) (X) Si se satisface la relación QQ1(x)=Q1Q(x), entonces la ecuación considerada es siempre algebraica. xi=Q1(Xi), Q2(Xi),…, Qn( Xi) es la raíz x1, x2,...

Hay un manuscrito inacabado en el legado de Abel, a saber, "Surla résolution algébrique des Fontiones" (1839). Este artículo describe el desarrollo de la teoría de ecuaciones y nuevamente analiza la solubilidad de ecuaciones especiales. Allanó el camino para la publicación de las obras póstumas de Galois. En el prefacio, Abel insinúa una manera importante de pensar. Creía que antes de resolver una ecuación, se debía demostrar la existencia de su solución, de modo que todo el proceso pudiera evitar la "complejidad computacional". En la investigación teórica sobre la solubilidad de ecuaciones algebraicas, también propuso un programa de investigación, es decir, su trabajo necesita resolver dos tipos de problemas: uno es construir el álgebra de números arbitrarios. El segundo es determinar si la ecuación conocida se puede resolver usando raíces. Intentó describir las características de todas las ecuaciones que podían resolverse utilizando raíces. Sin embargo, no pudo completar el trabajo debido a su temprana muerte y solo resolvió el primer tipo de problemas. Unos años más tarde, Galois se hizo cargo de su trabajo y utilizó métodos de grupo para resolver completamente el problema teórico de la solubilidad de ecuaciones algebraicas, estableciendo así la llamada teoría de Galois.

En los 300 años anteriores al siglo XIX, los matemáticos habían estado ocupados demostrando si había soluciones para ecuaciones de cuatro grados o más. Es una pena que se retiraran o se rindieran a mitad de camino y nadie pudiera desatar el nudo.

En 1818, Albert, un joven noruego de 16 años, después de estudiar una gran cantidad de información previa sobre este problema, le dijo firmemente a su maestro: "Déjame resolver este problema histórico. Puedo demostrar si la ecuación tiene solución". Más de cuatro veces." Con confianza, inteligencia y diligencia, dedicó 6 años a darle a la historia una respuesta satisfactoria: no existe solución algebraica para ecuaciones superiores a cuatro veces. Este es el famoso teorema de Albert-Ruffini.