De los cinco postulados, los cuatro primeros son más fáciles de verificar, como por ejemplo conectar una línea recta entre dos puntos. Pero el quinto postulado "Una línea recta puede y sólo puede ser paralela a la línea recta original a través de un punto fuera de la línea recta" es difícil de verificar. El propio Euclides lo dudaba y siempre trataba de evitar citarlo. Por tanto, en "Elementos de Geometría", el quinto postulado no se utilizó en la prueba de las primeras 28 proposiciones; no fue hasta la vigésima novena proposición que se tuvo que utilizar el quinto postulado.
¿Puedes eliminar el quinto postulado? ¿Pueden otros axiomas y postulados probar el quinto postulado? La gente ha estado explorando esta cuestión durante generaciones desde el siglo V d.C. En 1815, Lobachevsky comenzó a estudiar el quinto postulado. Después de 10 años de intensa reflexión, afirmó públicamente que el quinto postulado no puede demostrarse mediante otros postulados y axiomas. Y se adopta un axioma opuesto al quinto postulado, es decir, "al menos dos líneas conocidas no pueden cruzarse con líneas conocidas después de pasar por puntos conocidos fuera de las líneas". El nuevo sistema de axiomas consta de otros postulados originales, axiomas y el quinto postulado revisado (el axioma mencionado anteriormente). Se formó una nueva geometría no euclidiana, que era tan rigurosa como la geometría euclidiana. Esta nueva geometría se llamó geometría Lobalchevsky.
Partiendo del sistema de axiomas de Lobachevsky y utilizando métodos de razonamiento lógico, podemos obtener resultados completamente diferentes a los de la geometría euclidiana. Por ejemplo, la distancia entre dos rectas paralelas no es igual y la suma de los ángulos interiores de un triángulo es menor que 180.
Hace mucho tiempo que Gauss propuso el esquema de la geometría no euclidiana. Sin embargo, nunca publicó este resultado durante su vida. El compañero de clase de Gauss, Vulgan Paoye, demostró que había estado trabajando en el quinto postulado toda su vida, pero no había logrado ningún logro y estaba muy dolorido en su corazón. Su hijo Qiao Baoye continuó profundizando en este problema y finalmente publicó de forma independiente los resultados de la geometría no euclidiana unos años más tarde que Lobachevsky. Por tanto, Bowyer también se convirtió en uno de los fundadores de la geometría no euclidiana.