El filtrado inverso de mínimos cuadrados es el filtrado inverso más utilizado en la exploración sísmica.
1. Principios básicos
El filtrado de mínimos cuadrados inversos es la aplicación del filtrado de mínimos cuadrados (o filtrado de Wiener, filtrado óptimo) en el campo del filtrado inverso.
La idea básica del filtrado de mínimos cuadrados es diseñar un operador de filtro y usarlo para convertir la señal de entrada en una salida que se acerque mejor a la señal de salida esperada dada en el sentido de error de mínimos cuadrados. .
Supongamos que la señal de entrada es x (t), que se convoluciona con el factor de filtro h (t) que se obtendrá para obtener la salida real y (t), es decir, y (t) = x (t)*h (t). Debido a varias razones, la producción real y(t) no puede ser exactamente la misma que la producción esperada dada previamente, y solo se puede exigir que ambas estén óptimamente cercanas. Hay muchos estándares para juzgar si los dos son óptimamente cercanos, y el criterio de error de mínimos cuadrados es uno de ellos. Es decir, cuando la suma de los cuadrados de los errores entre los dos es el mínimo, significa que los dos son óptimos. cerca. En este sentido, el filtrado realizado al encontrar el factor de filtro h(t) es el filtro de mínimos cuadrados.
Si diseña un filtro a(t), cuando la señal de entrada x(t) es la salida de un determinado filtro y su salida esperada es la entrada del filtro, entonces se puede obtener de acuerdo a esta idea El factor de filtro a (t) se llama factor de filtrado inverso de mínimos cuadrados, y el filtrado realizado con él es el filtrado inverso de mínimos cuadrados.
2. Ecuaciones básicas
La “inversa” del filtrado inverso de exploración sísmica es el filtrado geodésico. La respuesta al impulso del filtro geodésico es una onda sísmica, que debe ser físicamente realizable. Tomando la ondícula sísmica como entrada del filtrado inverso, la salida esperada debería ser un pulso delta. Sin pérdida de generalidad, primero podemos suponer que la salida deseada es un pulso estrecho d(t). Además, el factor de filtrado inverso es generalmente infinito, pero cuando se utilizan computadoras solo se pueden tomar términos finitos. Supongamos que el tiempo de inicio del factor de filtro inverso a (t) que se va a encontrar es -m0 y la longitud de continuación es (m+1), es decir,
a(t) = (a( -m0), a(-m1) ), a(-m0＋2),…, a(-m0＋m))
La entrada conocida (wavelet sísmica) es
b (t)=(b(0), b(1), b(2),…, b(n))
Entonces la salida real es
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El resultado real es La suma de los errores cuadrados del resultado esperado es
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Para minimizar Q, matemáticamente es se trata de encontrar el valor extremo de Q, es decir, encontrar la satisfacción
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Factor de filtro a(t)
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Porque
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es la función de autocorrelación de las ondas sísmicas, y
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es la función de correlación cruzada de la ondícula sísmica y la salida deseada, por lo que (4-3-5) se puede escribir como
campo de ondas sísmicas y exploración sísmica exploración
Este es un sistema de ecuaciones, escrito en forma matricial como
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La simetría de la función de autocorrelación se utiliza en la fórmula. En esta ecuación, la matriz de coeficientes es una matriz definida positiva especial (matriz de Tobritz), que es simétrica con respecto a la diagonal principal y la subdiagonal. La diagonal principal es paralela a la diagonal principal. a pesar de todo.
La ecuación (4-3-6) o (4-3-7) se denomina ecuación básica, ecuación normal o ecuación normal de filtrado inverso de mínimos cuadrados, y se puede deducir utilizando el método especial de Levinson para resolver .
El factor de filtro obtenido usando la ecuación básica anterior a veces se denomina factor de filtro de conformación de pulso, porque en su aplicación puede transformar la wavelet de entrada en una salida deseada de cualquier forma, lo que equivale a darle forma a la wavelet. .
No es difícil encontrar que el lado izquierdo de la ecuación (4-3-6) es la operación de convolución, por lo que la ecuación se puede reescribir como
a(t)* rbb(t)=rbd( t)
Convierta al dominio de la frecuencia, hay
A(ω)Rbb(ω)=Rbd(ω)
Eso es
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Muestra que este filtro de conformación de pulso óptimo también puede transformar la función de autocorrelación de la wavelet de entrada en la función de correlación cruzada de la wavelet. y un resultado deseado dado.
Si desea que la salida sea un pulso delta, la correlación cruzada es
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La ecuación básica (4-3 -7) se convierte en
p>
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Se puede ver en la ecuación (4-3-9) que mientras la respuesta al impulso de el filtro geodésico, es decir, la ondícula sísmica b(t), se conoce de antemano, podemos obtener Su función de autocorrelación rbb (t) se puede obtener sustituyendo esta ecuación en la solución para obtener el factor de filtrado inverso a (t) Utilizándolo para convolucionar con el registro sísmico se puede obtener:
a (t) * x (t) =a(t)*b(t)*R(t)≈R(t) (4. -3-10)
Es decir, el resultado del filtrado inverso está cerca del registro sísmico ideal (secuencia de coeficiente de reflexión), por lo que la resolución vertical ha mejorado enormemente.
Cabe señalar que la selección de m0 tiene una gran relación con las propiedades de la wavelet sísmica b(t). Las ondas sísmicas no son más que las tres situaciones que se muestran en la Figura 4-3-4 [(a), (b), (c)].
A.b(t) es la wavelet de fase mínima, y los puntos cero de su transformada Z B(Z) deben estar todos fuera del círculo unitario, es decir, la transformada Z A(Z) de la inversa. factor de filtro a(t) = Los puntos cero del polinomio denominador de 1/B(Z) están todos fuera del círculo unitario, por lo que a(t) es estable y físicamente realizable. Cuando t < 0, los valores de a(t) son todos cero. Por lo tanto, tomando m0 = 0, sólo el primer término de los términos libres en el lado derecho de la ecuación (4-3-9) tiene valor, es decir,
Figura 4 -3-4 Tres tipos de ondas sísmicas y sus correspondientes factores de filtro inverso
(a) (b) (c) Consulte el texto para obtener una descripción
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B.b(t) es la onda de fase máxima, y los puntos cero de su transformada Z B(Z) deben estar todos dentro del círculo unitario, es decir, el Transformada Z A(Z) del factor de filtro inverso a(t) = 1/B (Los puntos cero del polinomio denominador de Z) están todos dentro del círculo unitario, por lo que a(t) es estable y físicamente irrealizable. Su parte principal está en la dirección negativa de t. El valor de a(t) no es cero solo de -(m+n) a -n, por lo que se toma m0=m+n y porque b(t)=0; cuando t>n, entonces sí
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C. Lo que es más problemático es que cuando b(t) es una wavelet de fase mixta, a(t) es físicamente irrealizable, pero su ubicación principal depende de la forma de la wavelet específica. Se puede suponer que a(t) solo tiene un valor distinto de cero de -m1 a m2. Por lo tanto, hay:
<. p>Campo de ondas sísmicas y exploración sísmica p>3. Ecuaciones básicas cuando se desconoce la wavelet
Aunque las ecuaciones básicas anteriores están disponibles, el problema aún no está resuelto debido al filtrado. Los factores de la wavelet sísmica, es decir, el filtro terrestre, a menudo no se conocen de antemano, por lo que todavía es imposible utilizar la ecuación anterior para resolver el factor de filtro inverso.
Para encontrar el factor de filtro inverso cuando se desconoce la wavelet, se deben agregar ciertas restricciones o suposiciones a la secuencia de la wavelet sísmica y el coeficiente de reflexión, que incluyen:
A. que la secuencia del coeficiente de reflexión R (t) es una secuencia aleatoria de ruido blanco, es decir, su autocorrelación es
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Supongamos que la ondícula sísmica es B. la fase mínima.
Según la hipótesis A, la autocorrelación de las ondas sísmicas puede ser reemplazada por la autocorrelación de los registros sísmicos, porque
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Según la Hipótesis B. Como se analizó anteriormente, se puede ver que el factor de filtrado inverso es estable y físicamente alcanzable, y la ecuación básica se convierte en la ecuación (4-3-11). En este momento, sea a′(t)=a(t)/b(0), combinado con el supuesto A, la ecuación básica se convierte en
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Esta es la ecuación básica para obtener el factor de filtro inverso en el caso de wavelets desconocidos comúnmente utilizados en exploración sísmica, y cada elemento en su matriz de coeficientes se puede obtener directamente de los registros sísmicos. El factor de filtrado inverso obtenido a′(t) solo difiere de a(t) en un múltiplo constante, lo que no afecta el efecto de filtrado inverso de comprimir la wavelet y mejorar la resolución. También se le llama comúnmente filtrado inverso de picos.
4. Problema previo al ruido de resolución de ecuaciones básicas
Resolver directamente las ecuaciones básicas anteriores a menudo no funciona bien. Los factores de filtrado inverso obtenidos convergen muy lentamente y oscilan violentamente. La razón es que hay valores cero o valores cercanos a cero en el espectro de ondas sísmicas. Se puede ver en la ecuación (4-3-3) que A (Z) tiende a infinito en este momento, y Por supuesto que es imposible estar estable.
Para resolver el problema de la convergencia lenta o inestable del factor de filtro inverso, se puede agregar una pequeña cantidad de ruido blanco al espectro de la wavelet sísmica o canal de entrada, lo que equivale a un retardo cero. en la wavelet sísmica o canal de entrada Agregue una constante estable λ a la autocorrelación, es decir, use (1+λ)rbb(0) en lugar de rbb(0) en la diagonal principal de la matriz de Tobritz, o (1+λ). )rgg(0) en lugar de rgg(0) ). Este método de procesamiento se llama preblanqueamiento. λ es generalmente un pequeño número positivo, llamado coeficiente de ruido blanco, que puede ajustarse artificialmente según el nivel de ruido del registro.
Después del preblanqueamiento, aunque el factor de filtrado inverso puede converger rápidamente, el efecto de filtrado inverso se verá afectado y el resultado del filtrado inverso quedará detrás del pico (onda sísmica extremadamente comprimida) después de un pequeño movimiento. , la aparición de un pequeño movimiento reduce la resolución. Cuanto mayor sea λ, mayor será el impacto.