Defina la definición de frecuencia de probabilidad
A medida que los problemas que encuentran las personas se vuelven cada vez más complejos, la posibilidad de esperar expone gradualmente sus debilidades, especialmente para el mismo evento, desde diferentes probabilidades. puede calcularse desde la perspectiva de la igualdad de posibilidades, creando así diversas paradojas. Por otro lado, con la acumulación de experiencia, las personas se dan cuenta gradualmente de que cuando se realizan una gran cantidad de experimentos repetidos, a medida que aumenta el número de experimentos, la frecuencia de un evento siempre oscila alrededor de un número fijo, lo que muestra un cierto grado de estabilidad. . R.von Mises definió este número definido como la probabilidad del evento, que es la definición de frecuencia de la probabilidad. La definición de frecuencia de la probabilidad teórica no es lo suficientemente rigurosa. Andrey Kolmogorov dio una definición axiomática de probabilidad en 1933.
Definición estricta de probabilidad
Supongamos que e es un experimento aleatorio y ω es su espacio muestral. Para cada evento A de E, asigne un número real, denotado como P(A), que se denomina probabilidad del evento A. Aquí p() es una función agregada, y p() debe satisfacer las siguientes condiciones:
(1) No negatividad: para cada evento A, existe P(A)≥0;
(2) Normalidad: para el evento inevitable S, existe P( S)=1;
(3) Aditividad contable: Supongamos que A1, A2... se convierten en eventos mutuamente excluyentes, es decir, para i≠j, Ai∩Aj=φ, (I, J = 1 , 2...), y luego P (A1.
La ocurrencia de eventos aleatorios es accidental, pero la posibilidad de eventos aleatorios sigue siendo diferente y mensurable. De hecho, en la vida En la producción y las actividades económicas , la gente suele preocuparse por la posibilidad de eventos aleatorios.
Por ejemplo:
(1) Al lanzar una moneda uniforme, la probabilidad de que salga cara y cara es 1/2 respectivamente.
(2) ¿Cuál es la probabilidad de ganar la lotería?
Las probabilidades positivas antes mencionadas, así como la probabilidad o tasa de acierto de la lotería, se utilizan para medir la Probabilidad de ocurrencia de eventos aleatorios. La probabilidad de un evento aleatorio A se llama probabilidad de este evento, representada por P (A). Cuanto mayor es la probabilidad, más probable es que ocurra. Cuanto mayor es la probabilidad; cuanto menor es la probabilidad, menos probable es que ocurra el evento. En particular, la probabilidad de un evento imposible es 0 y la probabilidad de un evento inevitable es 1, es decir:
Definición clásica de probabilidad
Si la prueba cumple dos requisitos:
(1) El experimento tiene solo un número limitado de resultados básicos.
(2) La probabilidad de cada resultado básico probado es la misma
Este experimento se convierte en un experimento clásico. >
Para experimentos clásicos. La probabilidad del evento A se define como:
P(A)=m/n, donde n representa el número total de todos los resultados básicos posibles en el experimento. el número de resultados de pruebas básicos incluidos en el evento A. .Este método de definir la probabilidad se llama definición clásica de probabilidad
Definición estadística de probabilidad
Bajo ciertas condiciones, el experimento se repite n veces, donde nA es el evento A en n. El número de ocurrencias en tiempos. Si la frecuencia nA/n se estabiliza gradualmente cerca de un cierto valor P a medida que N aumenta gradualmente, entonces el valor P se denomina probabilidad de que el evento A ocurra bajo este. condición, registrada como P (a) = P .. Esta definición se convirtió en la definición estadística de probabilidad
Históricamente, Jacob Bernoulli (1654 ~ 1705 d.C.), el erudito más importante en la historia temprana de la teoría de la probabilidad. , fue el primero en definir "cuándo el número de experimentos" Cuando N aumenta gradualmente, la frecuencia nA se estabiliza en su probabilidad P". Esta afirmación da un significado estricto y una prueba matemática.
Se puede ver a partir de la definición estadística de probabilidad que el valor p es un indicador cuantitativo que describe la posibilidad de que el evento A ocurra en estas condiciones.
Dado que la frecuencia nA/n siempre está entre 0 y 1, se puede ver a partir de la definición estadística de probabilidad que para cualquier evento A, 0≤P(A)≤1, p (ω) = 1, p (φ) = 0.
ω y φ representan respectivamente eventos inevitables (eventos que deben ocurrir bajo ciertas condiciones) y eventos imposibles (eventos que definitivamente no sucederán bajo ciertas condiciones).
Historia
La primera persona en calcular sistemáticamente la probabilidad fue Cardano en el siglo XVI. Esto está registrado en su libro. El contenido de probabilidad del libro fue traducido del latín por Gould.
Los escritos matemáticos de Cardano tienen muchos consejos para los jugadores. Estas sugerencias están escritas en artículos breves. Por ejemplo: "¿Quién y cuándo debería jugar?" ¿Por qué Aristóteles condenó el juego? ¿Las personas que enseñan a otros a jugar también son buenas jugando? "Espera.
Sin embargo, fue en una serie de cartas entre Pascal y Fermat donde se propuso por primera vez el estudio sistemático de la probabilidad. Estas correspondencias fueron propuestas originalmente por Pascal, quien quería hacerle a Fermat algunas preguntas sobre Chevalier de Mer. Chevalier de Mer fue un escritor famoso, una figura prominente en la corte de Luis XIV y un ávido jugador. Hay dos problemas: el problema de tirar los dados y el problema de la distribución de los premios del juego. p>La correlación de probabilidad clásica entre las dos categorías
El objeto de la discusión sobre la probabilidad clásica se limita a experimentos aleatorios. Todos los resultados posibles son finitos e iguales, es decir, el espacio básico consta de un número finito de elementos. o eventos básicos, cuyo número se denota por n, y la posibilidad de que cada evento básico sea la misma. Si el evento A contiene m eventos básicos, entonces el evento A contiene m eventos básicos. La probabilidad de A se define como p(A. )=m/n, es decir, la probabilidad del evento A es igual al número de eventos básicos contenidos en el evento A dividido por el número total de eventos básicos en el espacio básico. Esta es la probabilidad de P.-S. Definición clásica, o definición clásica de probabilidad Históricamente, la probabilidad clásica se generó estudiando problemas en juegos de azar como los dados. Para calcular la probabilidad clásica, se puede utilizar un método exhaustivo para enumerar todos los eventos básicos y luego contar uno. de eventos básicos contenidos en el evento se divide, es decir, el proceso de cálculo se simplifica combinando cálculos
Correlación de probabilidad geométrica
Si hay un número infinito de eventos básicos, cada evento básico tiene la misma posibilidad, entonces la probabilidad clásica no se puede usar, por lo que la idea básica de la probabilidad geométrica es asignar un evento a un área geométrica y usar la medida del área geométrica para calcular la probabilidad de un evento. El problema del lanzamiento de agujas es un ejemplo típico de aplicación de la probabilidad geométrica.
En los primeros días del desarrollo de la teoría de la probabilidad, se observó que para la probabilidad clásica no era suficiente considerar solo un número limitado de resultados de pruebas. Debido a esto, un área S determinada puede representar un número infinito de resultados de prueba, y los resultados de la prueba tienen la llamada propiedad de "distribución uniforme". La definición precisa de "distribución uniforme" es similar al concepto de "igual posibilidad" en la teoría de probabilidad clásica. Suponga que el área S y cualquier área pequeña A que pueda aparecer en ella son medibles, y los tamaños medidos están representados por μ (S). ) y μ(A), como el espacio unidimensional. La longitud del espacio bidimensional y el volumen del espacio tridimensional. Supongamos que esta medida tiene varias propiedades, como la no negatividad y la aditividad.
◆Definición estricta de probabilidad geométrica
Supongamos que el evento A (también un área determinada en S) contiene A y su tamaño métrico es μ(A) si P(A) representa la probabilidad de. evento A, considerando la "distribución uniforme", la probabilidad del evento A. Tome: P (A) = μ (A) / μ (S), y la probabilidad calculada se llama probabilidad geométrica
◆Si φ es un evento imposible, es decir, φ es un área vacía en ω, su tamaño métrico es 0, entonces su probabilidad p (φ) = 0.
Secuencia de prueba independiente
(1) Cada experimento tiene solo dos resultados, uno se marca como "éxito" y el otro se marca como "fracaso", P{éxito} =p, P{fracaso} = 1-p = q.
(2) En cada experimento, la probabilidad de éxito P permanece sin cambios.
(3) Los experimentos son independientes entre sí.
Entonces, esta serie de pruebas se denomina secuencia de prueba independiente, también conocida como probabilidad de Bernoulli.
Eventos inevitables y eventos imposibles
En un experimento aleatorio específico, cada resultado posible se denomina evento básico, y el conjunto de todos los eventos básicos se denomina espacio básico. Los eventos aleatorios (eventos para abreviar) constan de algunos eventos básicos. Por ejemplo, en un experimento aleatorio de tirar un dado dos veces seguidas, Z e Y representan el primer y segundo punto de aparición respectivamente. Z e Y pueden tomar valores de 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Cada punto (Z, Y) representa un evento básico, por lo que el espacio básico contiene 36 elementos. "La suma de los puntos es 2" es un evento, que consta de un evento básico (1, 1), que puede representarse mediante el conjunto {(1, 1)}. "La suma de los puntos es 4" también es un evento, que consta de (1,3). Si "la suma de los puntos es 1" también se considera un evento, entonces es un evento que no contiene ningún elemento básico. eventos, y se llama un evento imposible. Este evento no puede ocurrir en el experimento. Si "la suma de puntos es menor que 40" se considera un evento, contiene todos los eventos básicos y este evento debe ocurrir en el experimento. se llama evento inevitable, entonces "el evento A no ocurrió" también es un evento, llamado el evento opuesto del evento A. En la vida real, es necesario estudiar varios eventos y sus relaciones, varios subconjuntos de elementos en. el espacio básico y sus relaciones.
Por ejemplo, si Xiao Ming quiere poner cinco bolas en cuatro cajones, uno de los cajones tendrá dos bolas
Otro ejemplo: Xiao Ming. quiere poner cinco bolas en cinco cajones. Pon tres bolas en cada cajón, entonces este es un evento imposible, eventos básicos y otros eventos posibles, eventos mutuamente excluyentes. y bajo ciertas condiciones, un evento que puede ocurrir o no se llama evento aleatorio.
Cada resultado posible de un experimento se llama evento básico. El experimento consta de eventos básicos. Si un experimento tiene n resultados posibles, es decir, el experimento consta de n eventos básicos y todos los resultados tienen la misma probabilidad de ocurrir, entonces este tipo de evento se denomina evento igual. p>Dos eventos no pueden ocurrir al mismo tiempo. Los eventos se llaman eventos mutuamente excluyentes
Debe haber un evento mutuamente excluyente llamado evento antagónico
Es decir, p(. evento necesario)=1 >p(evento posible)=(0-1)(puede usar fracciones)
p(evento imposible)=0
Natural
<. p>Atributo 1. p (φ) = 0.Característica 2 (aditividad limitada). Cuando n eventos A1,..., An son mutuamente excluyentes. +P(An).
Propiedad 3. Para cualquier evento, a: p (a) = 1-p (no a).
Propiedad 4. Cuando los eventos A y B satisfacen que A está incluido en B: P(B-A)=P(B)-P(A), p (a) ≤ p (b).
Propiedad 5. Para cualquier evento A, p(a) ≤ 1.
Propiedad 6. Para dos eventos cualesquiera A y B, p (b-a) = p (b)-p (ab).
Atributo 7 (fórmula de suma). Para dos eventos cualesquiera A y B, p(A∪B)= p(A)+p(B)-p(A∪B).
(Nota: la n después de los números 1, 2,...A representan subíndices.)
Frecuencia y probabilidad
La probabilidad se introduce en el Evento Se están cuantificando las posibilidades.
"Regularidad estadística"
El número total de experimentos repetidos independientes n, la frecuencia de ocurrencia del evento a μ,
La frecuencia del evento A Fn(A )=μ /n, ¿la frecuencia Fn(A) del evento A tiene un valor estable?
Por ejemplo, la prueba anterior de lanzamiento de moneda (página 44 de la tabla siguiente)
Si la hay, el valor estable P de frecuencia μn se denomina probabilidad de que ocurra el evento A. P(A)=p [Definición estadística de probabilidad]
P(A) es objetivo, mientras que Fn(A) es empírico.
En estadística, el valor de Fn(A) a veces se utiliza como una aproximación de la probabilidad cuando n es grande.
Tres atributos básicos
1. [No negativo]: Para cualquier evento A, P(A)≥0.
2.[Completitud]: p (ω) = 1
3.[Ley de la Adición] Si los eventos A y B son incompatibles, es decir, AB=φ, entonces P (A+B)=P(A)+P(B).
Regla de la suma
Si los eventos A y B son incompatibles, cuando ocurre A+B, uno de ellos debe y sólo puede ocurrir. Repita el experimento n veces de forma independiente. Por ejemplo, recuerde que las frecuencias del evento A son μA y Fn(A), las frecuencias del evento B son μB y Fn(B), y las frecuencias del evento A+B son μA+B y Fn(A+B) . Es fácil saber que μA+B =μA +μB, ∴ Sus valores estables también deben ser: P(A+B)=P(A)+P(B) [Regla adicional] Si los eventos A. y B son incompatibles, es decir, AB=φ, entonces P (a+b) = p (a)+p (b), es decir, la suma de las probabilidades de dos eventos mutuamente excluyentes es igual a la suma de sus probabilidades. Piénselo: ¿Qué pasa si A y B son incompatibles o compatibles? Investigaciones adicionales muestran: P (A + B) = P (A) + P (B) -P (AB), ¡este es el llamado "reembolsar más y complementar menos"!
Difusa y Probabilidad
1. ¿La incertidumbre es aleatoriedad? ¿Los índices de verosimilitud y las probabilidades representan todas las incertidumbres?
Campamento bayesiano: La probabilidad es un conocimiento previo subjetivo, no una frecuencia y una medida objetiva.
Lindley: La probabilidad es la única descripción válida y suficiente de la incertidumbre, y todos los demás métodos son inadecuados.
Similitud: La incertidumbre está representada por un número entre el intervalo unitario [0, 1], y existen proposiciones como conjunto, correlación, conexión y distribución.
Diferencia: tratar. La teoría clásica de conjuntos,
representa un evento probabilísticamente imposible. La ambigüedad se basa en
¿(1) es siempre cierto?
Considere si es posible violar lógica o parcialmente el "teorema de no contradicción" (uno de los tres "teoremas del pensamiento" de Aristóteles; el teorema del medio también es el mismo.
Sexo Teoremas Estos son teoremas clásicos en blanco y negro. La ambigüedad (contradicción) es el fin de la lógica occidental.
(2) ¿Se puede derivar el operador de probabilidad condicional?
En teoría de conjuntos clásica:
Teoría difusa: Se considera que un superconjunto es un proceso de subconjunto de su subconjunto.
Este es un problema exclusivo de los conjuntos difusos.
2. Borrosidad y probabilidad: ¿si y cuánto?
La ambigüedad es el grado en que ocurre un evento. La aleatoriedad es la incertidumbre de si ocurrirá un evento.
Ejemplo: Hay un 20 % de probabilidad de lluvia ligera mañana (incluida la incertidumbre compuesta).
Problema de plaza de aparcamiento
Hay una manzana en el frigorífico, y la probabilidad de que haya media manzana en el frigorífico.
Los acontecimientos se invierten, y la evolución de la tierra vuelve a su punto de partida original.
La borrosidad es una incertidumbre determinista y una característica de los fenómenos físicos. Usar la ambigüedad para expresar incertidumbre
Los resultados serán impactantes y requerirán un reexamen de los modelos de la realidad.
El concepto económico de probabilidad
[1] La probabilidad se refiere a la posibilidad de producir un resultado determinado. La introducción es un concepto difícil de formalizar porque su formación depende de la naturaleza de eventos inciertos y de los juicios subjetivos de las personas. La medida objetiva introducida se deriva de la frecuencia de eventos similares en el pasado. En situaciones en las que el juicio no puede basarse en experiencias pasadas, la formación de probabilidad se basa en un juicio subjetivo basado en la intuición. En este momento, diferentes personas formarán juicios diferentes y tomarán decisiones diferentes.