Por ejemplo, desde que el grupo de preguntas del examen de ingreso a la universidad en mayo llamó la atención sobre la aplicación de las matemáticas, en 1993 apareció en el periódico nacional de artes liberales una pregunta de aplicación sobre la predicción del mercado de cría de peces de agua dulce. y preguntas del examen de ingreso a la universidad de ciencias en junio. Esta es una buena pregunta en la aplicación de las matemáticas, especialmente hoy en día, cuando se establece el nuevo sistema de economía socialista de mercado, ha atraído la atención de todos.
Los llamados problemas de matemáticas económicas consisten en utilizar métodos matemáticos para estudiar algunos problemas en economía, como problemas en la economía nacional en términos de tasa de crecimiento económico y tasa de crecimiento demográfico, problemas bancarios, problemas del mercado de valores. , problemas de cálculo de seguros, cuestiones de previsión de consumo y mercado, cuestiones de input-output, etc. Entre los problemas anteriores, debemos prestar atención a algunos problemas básicos que pueden resolverse utilizando métodos matemáticos elementales aceptables para los estudiantes de secundaria.
A continuación se muestran algunos ejemplos.
Ejemplo 1: ¿La demanda del mercado de un determinado producto es P (10.000 piezas)? , la oferta de mercado q y el precio de mercado x (unidad/unidad) satisfacen aproximadamente la siguiente relación: p =-x+70 Q = 2x-20 Cuando p = q, el precio de mercado se denomina precio de equilibrio del mercado; La demanda en este momento se llama Equilibrar la demanda.
(1) Equilibrar el precio y la demanda
(2) Si cada artículo paga un impuesto de 3 yuanes, encuentre un nuevo precio de equilibrio
( 3) Si la demanda de equilibrio aumenta en 40 000 unidades, ¿cuánto subsidio debería otorgar el gobierno a cada bien?
Solución: (1) El precio de equilibrio es 30 yuanes/unidad y la demanda de equilibrio es 400.000 unidades.
(2) Supongamos que el nuevo precio de equilibrio del mercado es X yuanes/pieza, que es el precio pagado por los consumidores, y el precio obtenido por los proveedores es (X-3) yuanes/pieza. de la pregunta: -X+70 = 2 (X-3)-20, obteniendo así un nuevo precio de equilibrio de 32 yuanes/pieza.
(3) Supongamos que el gobierno proporciona un subsidio de T yuanes/pieza, y el precio de equilibrio del mercado en este momento, es decir, el precio pagado por los consumidores es X yuanes/pieza, entonces el precio recibido por el proveedor es (X+T ) elemento/pieza, según el significado de la pregunta, el sistema de ecuaciones es -X+70 = 44.
2 (x+t)-20 = 44 x = 26 t = 6.
Ejemplo 2: la producción diaria de un determinado producto es de 20 unidades y el precio de cada unidad es de 90 yuanes. Si la producción diaria aumenta en 1 unidad, el precio unitario disminuye en 3 yuanes. ¿Cómo diseñar la producción para maximizar los ingresos diarios totales?
Solución: si se producen X unidades todos los días, los ingresos totales son Y yuanes. Según el significado de la pregunta, Y = (90-3x) (2x). Cuando la producción diaria es de 25 unidades, el ingreso total es el mayor.
Ejemplo 3: una fábrica pidió prestado 6,5438+0 millones de yuanes a principios de este año, con interés compuesto, y la tasa de interés anual es 654,38+00% (es decir, el interés de este año se incluirá en interés principal del año siguiente). Calcule el monto fijo a reembolsar cada año a partir de finales de este año, 654,38+02 a reembolsar al final del año. ¿Cuáles son los pagos anuales?
Solución: Supongamos que el monto de reembolso anual es X millones de yuanes Según el significado de la pregunta: X+X(1+10%)+X(1+10%)2+…+X. (1+10) .
12-09-18 |Añadir un comentario|Recompensa
hellomydram11
Por ejemplo:
Solución extrema
1. Sustitución directa
Aplica al numerador cuando el límite del denominador no es cero o diferente.
Ejemplo 1. aparecer.
Análisis:
Por tanto, se utiliza el método de sustitución directa.
Resuelve la fórmula original =
2. Utiliza los cuatro algoritmos del límite para encontrar el límite.
Para facilitar la descripción, omitimos un determinado proceso de cambio de la variable independiente y marcamos el límite en un determinado proceso de límite. Entonces los cuatro algoritmos del límite se pueden describir con precisión como:
Teorema En el mismo proceso de cambio, si todos los supuestos existen, entonces
(1)
(2)
(3) Cuando el denominador tiene
En términos generales, los límites de la suma, diferencia, producto y cociente de una función son iguales a la suma, diferencia, producto y cociente del límite de la función.
Por favor.
Solución
3. El método de separación de cantidades infinitesimales
es aplicable al numerador y el denominador tiende al mismo tiempo, es decir, al indefinido. forma.
Ejemplo 3.
En el análisis de una función dada, los límites del numerador y denominador no existen, por lo que la ley no se puede aplicar directamente. Tenga en cuenta que tanto el numerador como el denominador tienden a ser iguales.
Primero deforme la función usando métodos elementales, es decir, divida la potencia más alta del numerador y denominador para separar cantidades infinitesimales, y luego encuentre el límite según el algoritmo.
¿Por qué el numerador y el denominador de una función dada tienden a estar al mismo tiempo y cuándo? Para ilustrar: porque, pero la velocidad de la tendencia es más rápida que la tendencia, así que no pienses que es estática (porque hay pros y contras).
Resolver la fórmula original (el numerador y el denominador se dividen por lo mismo)
(Algoritmo)
Por supuesto, todos se inclinan. El recíproco del infinito es infinitesimal.
4. Método de eliminación del factor cero
Aplicable al numerador, el límite del denominador también es 0, es decir, el tipo es indeterminado.
Ejemplo 4.
En el análisis de las dos funciones, los límites del numerador y del denominador son ambos 0, por lo que la cuarta regla no se puede utilizar directamente, por lo que se utiliza el método de eliminación del factor cero.
Resolver la fórmula original = (factorización)
= (reduciendo la eliminación de factores cero)
= (reglas de aplicación)
=
5. Utiliza las propiedades de cantidades infinitesimales
Ejemplo 5. Encuentra el límite
Debido a que el análisis no existe, el algoritmo no se puede usar directamente, por lo que primero se debe deformar la función para que sea consistente.
Resolver la fórmula original = (deformación idéntica)
Porque cuando, es decir, infinitesimal, y ≤ 1, es decir, cuando es una función acotada, desde la perspectiva de las propiedades infinitesimales : Ya sea que la función delimitadora se multiplique por infinitesimal o por infinitesimal,
Obtenga =0.
6. Consejos para utilizar el método de división de proyectos
Ejemplo 6:
Análisis: porque=
Fórmula original=
7. Sustitución de variables
El ejemplo 7 encuentra el límite.
Al analizar el tiempo, el numerador y el denominador tienden a ser iguales, por lo que la ley no se puede aplicar directamente y puede sustituirse por variables.
Resolver la fórmula original =
=(Secuencia, introducir nuevas variables, convertir el límite original aproximadamente en el límite aproximadamente.)
=.(Escribir, La potencia en el denominador es la más alta)
8. Límite de la función por partes
El ejemplo 8 supone que el límite del punto de discusión existe.
La función dada es una función por partes y un punto por partes. Para saber si existe debemos partir de las condiciones necesarias y suficientes para la existencia del límite.
Solución al motivo
Entonces no existe.
Nota: 1 tiende a ser de izquierda, por lo tanto.
Nota 2 Porque tiende a la derecha, entonces, por lo tanto.
Escuela en línea Jiejun Hongzhi
1. Utilice definiciones para encontrar el límite.
2. Utilice el criterio de Cauchy para encontrar. Criterio de Cauchy: La condición necesaria y suficiente para que {xn** tenga límite es que para ε>0, exista un número natural n, de modo que cuando n> cuando n, exista |xn-XM|<ε.
3. Utilice las propiedades de operación de límites y límites conocidos para encontrar límites. Por ejemplo: lím(x+x 0,5)0,5/(x+1)0,5 = lím(x 0,5)(1+1/x 0,5)0,5/(x 0,5).
4. Utiliza desigualdades, que es el teorema del pellizco.
5. Utilice la sustitución de variables para encontrar el límite. Por ejemplo, lim(x 1/m-1)/(x 1/n-1) puede hacer que x = y Mn: = n/m.
6 Utilice dos límites importantes para encontrar el límite. . (1)lim senx/x = 1->0 (2) lim (1+1/n) n = e ->∞ 7. Utilice el límite necesario acotado monótono para encontrar.
8. Utiliza la propiedad de continuidad de la función para encontrar el límite.
9. Utilizar la ley de Lópida, que es la más utilizada.
10 se calcula mediante la fórmula de Taylor, que también es muy utilizada.
Una secuencia de números ordenados en un orden determinado se llama secuencia. Cada número en una secuencia se llama elemento de la secuencia. El número uno se llama el primer término de esta secuencia (a menudo también se llama el primer término), el número dos se llama el segundo término de esta secuencia... El número n se llama el enésimo término de esta secuencia. Por lo tanto, la forma general de la secuencia se puede escribir como
a1, a2, a3,..., an,...
Abreviada como {an}, la secuencia de términos finitos es una "secuencia finita", infinita Una secuencia de términos es una "secuencia infinita".
A partir del segundo elemento, una secuencia en la que un elemento es mayor que el anterior se denomina secuencia creciente.
A partir del segundo elemento, una secuencia en la que cada elemento; es más pequeño que el elemento anterior se llama secuencia creciente. Es una secuencia decreciente;
A partir del segundo elemento, algunos elementos son más grandes que el elemento anterior y algunos elementos son más pequeños que el elemento anterior. que se llama secuencia de oscilación;
Tiene periodicidad. Una secuencia cambiante se llama secuencia periódica (como una función trigonométrica);
Una serie con términos iguales se llama serie constante. .
Fórmula general: La relación entre el enésimo término an de una secuencia y el número ordinal n del término se puede expresar mediante una fórmula. Esta fórmula se denomina fórmula general de esta secuencia.
El número total de números de una serie es el número de elementos de la serie. En particular, esta secuencia puede considerarse como una función an=f(n), cuyo dominio es el conjunto de números enteros positivos N* (o su subconjunto limitado {1, 2,..., n}).
Si se puede expresar mediante una fórmula, su fórmula general es a(n)=f(n).
[Editar este párrafo] Método de representación
Si la relación entre el enésimo elemento de la secuencia {an} y el número de secuencia n se puede expresar mediante una fórmula, entonces esta fórmula es llamada fórmula general. Como un =(-1)(n+1)+1.
Si la relación entre el enésimo término de la serie {an} y su término o términos anteriores se puede expresar mediante una fórmula, entonces esta fórmula se llama fórmula de recursividad de la serie. Por ejemplo, an = 2a(n-1)+1(n & gt; 1)
[Editar este párrafo] Secuencia aritmética
Definición
Generalmente Digamos que si una secuencia comienza con el segundo término y la diferencia entre cada término y el término anterior es igual a la misma constante, la secuencia se llama secuencia aritmética y esta constante se llama zona de tolerancia de la secuencia aritmética. la tolerancia suele estar representada por la letra d.
Abreviatura
A.P. (La secuencia aritmética se puede abreviar como A.P.).
Mediana aritmética
La secuencia aritmética compuesta por tres números A, A, B se puede llamar la secuencia aritmética más simple. En este momento A se llama media aritmética de A y b.
Esto es importante: a = (a+b)/2
Fórmula del término general
an=a1+(n-1)d
an = Sn-S(n-1)(n & gt;=2)
Suma de los primeros n términos
sn = n(a 1+an) / 2 = n * a 1+n(n-1)d/2
Natural
La relación entre dos am y an es:
an =am+(n-m)d
puede considerarse como la fórmula general de la secuencia aritmética.
De la definición de la secuencia aritmética, la fórmula general y las n primeras fórmulas, también podemos deducir:
a 1+an = a2+an-1 = a3+ an -2 =…= AK+an-k+1, k∈{1, 2,…, n}
Si m, N, p, q∈N*, m+n=p+ q, entonces lo hay.
am+an=ap+aq
Sm-1=(2n-1)an, S2n+1 =(2n+1)an+1
Sk, S2k-Sk, S3k-S2k,…, Snk-S(n-1)k…o secuencia aritmética, etc.
Suma = (primer artículo + último artículo) × número de artículos ÷ 2
Número de artículos = (último artículo - primer artículo) ÷ tolerancia + 1
p>
El primer elemento = 2, el número de elementos: el último elemento
El último elemento = 2, el número de elementos: el primer elemento
Supongamos que A1 , A2, A3 son secuencias aritméticas. Entonces a2 es la media aritmética, entonces 2 por a2 es igual a a1+a3, es decir, 2a2=a1+a3.
Aplicación de la aplicación
En la vida diaria, las personas suelen utilizar secuencias aritméticas, por ejemplo, para clasificar los tamaños de varios productos.
Cuando el tamaño máximo y el tamaño mínimo no son muy diferentes, se suelen clasificar según la secuencia aritmética.
Si es una secuencia aritmética, y an = m, am = n, entonces a (m+n) = 0.
[Editar este párrafo]Serie geométrica
Definición
En términos generales, si una secuencia comienza con el segundo término, cada término está relacionado con el término anterior. La relación es igual a la misma constante y esta secuencia se llama serie geométrica. Esta constante se llama razón común de la serie geométrica y suele representarse con la letra q.
Abreviaturas
Las series geométricas se pueden abreviar como G.P.
Media geométrica
Si se inserta un número G entre A y B de modo que A, G y B se convierten en una serie geométrica, entonces G se llama relación entre A y B Mediana. .
Existe una relación: G2 = ab; G= (ab)^(1/2)
Nota: La proporción de dos números reales distintos de cero con el mismo signo es igual Dos términos en son opuestos, por lo que G 2 = AB es la condición necesaria y suficiente para que a, G y B se conviertan en una serie geométrica.
Fórmula de términos generales
an=a1q^(n-1)
an=Sn-S(n-1) (n≥2)
p>
La suma de los primeros n términos
Cuando q≠1, la fórmula para la suma de los primeros n términos de la serie geométrica es
sn=a1(1-q^n )/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)(q≠1)
Natural
Entre dos elementos cualesquiera am y an La relación es an = am q (n-m).
(3) De la definición de serie geométrica, la fórmula general, los primeros n términos y la fórmula, se puede deducir que a 1 An = A2 An-1 = A3 An-2 =…= AK An-K+ 1, k ∈ {1.
(4) Término mediano de razón igual: aq ap = ar * 2, ar es ap, aq es el término mediano de razón igual.
Si π n = A1 A2 … an, entonces π2n-1=(an)2n-1, π2n+1 =(an+1)2n+1.
Además, una serie geométrica cuyos términos son todos números positivos, tomando la misma base, forma una sucesión aritmética en cambio, tomando como base cualquier número positivo C, utilizando los términos de una aritmética; secuencia La construcción de una energía potencia como exponente es una serie geométrica. En este sentido decimos que una serie geométrica positiva y una serie aritmética son "isomorfas".
Natural:
(1) Si m, N, p, q∈N* y m+n = p+q, entonces am an = AP AQ;
②En una serie geométrica, cada k términos se suma en secuencia y aún así se convierte en una serie geométrica.
G es el término medio en la proporción de A y B, G 2 = AB (G ≠ 0).
(5) La suma de los primeros N términos de la sucesión geométrica Sn = a 1(1-q N)/(1-q).
En las series geométricas, el primer término A1 y la razón común Q no son cero.
Nota: En la fórmula anterior, una n representa la enésima potencia de a.
Aplicación de aplicación
Las series geométricas se utilizan a menudo en la vida.
Por ejemplo, los bancos tienen una forma de pagar intereses: el interés compuesto.
Es decir, el interés anterior y el precio del oro de Hepburn se cuentan como capital.
Calcular el interés del siguiente periodo, lo que comúnmente se denomina interés rodante.
La fórmula para calcular la suma del principal y los intereses basada en el interés compuesto: suma del principal y los intereses = principal * (1 + tasa de interés) período de depósito.
Si una secuencia comienza con el segundo término y la razón de cada término con el término anterior es igual a la misma constante, la secuencia se llama serie geométrica. Esta constante se llama razón común de la serie geométrica, generalmente representada por la letra Q (q≠0).
La fórmula general de las series geométricas es: an = a1 * q (n-1).
Si la fórmula general se transforma en an = a1/q * q n (n ∈ n *), cuando q > 0, an puede considerarse como una función de la variable independiente n, y el punto ( n, an) es un conjunto de puntos aislados en la curva y = a1/q * q x.
(2)Fórmula de suma: Sn=nA1(q=1)
sn=a1(1-q^n)/(1-q)
=(a1-a1q^n)/(1-q)
= a 1/(1-q)-a 1/(1-q)* q n (es decir, a-AQ n)
(Premisa: Q no es igual a 1)
La relación entre dos elementos cualesquiera am y an es an = am q (n-m).
(3) De la definición de serie geométrica, la fórmula general, los primeros n términos y la fórmula, se puede deducir que a 1 An = A2 An-1 = A3 An-2 =…= AK An-K+ 1, k ∈ {1.
(4) Término medio de igual razón: aq ap = ar^2, Ar es AP, AQ término medio de igual razón.
Si π n = A1 A2 … an, entonces π2n-1=(an)2n-1, π2n+1 =(an+1)2n+1.
Además, una serie geométrica cuyos términos son todos números positivos, tomando la misma base, forma una sucesión aritmética en cambio, tomando como base cualquier número positivo C, utilizando los términos de una aritmética; secuencia La construcción de una energía potencia como exponente es una serie geométrica. En este sentido decimos que una serie geométrica positiva y una serie aritmética son "isomorfas".
[Editar este párrafo] La secuencia general de soluciones generales
En términos generales, existen:
an=Sn-Sn-1 (n≥2)
Suma acumulada (an-an-1 =...an-1-an-2 =...A2-A1 =...Suma los elementos anteriores para obtener uno).
Multiplicación total cociente por cociente (para secuencias que contienen números desconocidos en el cociente del último término y del término anterior).
Método de reducción (deformar la secuencia de manera que el recíproco de la secuencia original o la suma de una determinada constante sea igual a la diferencia o serie geométrica).
Especial:
En la secuencia aritmética, siempre hay Sn S2n-Sn S3n-S2n.
2(S2n-Sn)=(S3n-S2n)+Sn
Es decir, las tres son sucesiones aritméticas y sucesiones geométricas. Serie geométrica del tres por ciento.
Método de punto fijo (comúnmente utilizado en relaciones de recurrencia fraccionaria generales)
[Editar este párrafo] ¿Cómo escribir el nombre general de una serie especial?
1,2,3,4,5,6,7,8....- an=n
1,1/2,1/3, 1/4 ,1/5,1/6,1/7,1/8...- an=1/n
2,4,6,8,10,12, 14..... ..- an=2n
1,3,5,7,9,11,13,15....- an=2n-1
-1,1, -1,1,-1,1,-1,1...an=(-1)^n
1,-1,1,- 1,1,-1,1,- 1,1...——un=(-1)^(n+1)
1,0,1,0,1, 0,1,01,0,1,0,1 ....an=[(-1)^(n+1)+1]/2
1,0,-1,0 ,1,0,-1,0,1,0 ,-1,0...- an=cos(n-1)π/2=sinnπ/2
9,99,999 ,9999,99999,..........an =(10^n)-1
1,11,111,1111,11111....an=[(10^ n)-1]/9
1,4, 9,16,25,36,49,....an=n^2
1,2 ,4,8,16,32...——an=2^(n-1 )
[Editar este párrafo] Soluciones y fórmulas para los primeros n términos de la serie
1. Series aritméticas:
La fórmula general an=a1+(n-1)d, el primer término a1, la tolerancia d, el enésimo término de an.
An=ak+(n-k)d ak es el késimo elemento.
Si A, A y B forman una sucesión aritmética, entonces A=(a+b)/2.
2. La suma de los primeros n términos de la serie aritmética:
Supongamos que la suma de los primeros n términos de la secuencia aritmética es Sn.
Es decir, Sn=a1+a2+...+an;
Entonces Sn=na1+n(n-1)d/2.
= dn ^ 2 (es decir, la segunda potencia de n)/2+(a1-d/2)n
También existen los siguientes métodos de suma: 1, incompleto Resume 2, suma 3 y suma inversamente.
(2) 1. Serie geométrica:
Fórmula general an = a1 * q (n-1) (es decir, n-1 potencia de q) a1 es el primer término, an es el enésimo elemento.
an=a1*q^(n-1),am=a1*q^(m-1)
Entonces an/am = q (n-m)
(1)an=am*q^(n-m)
(2) Si a, g y b forman el término medio de igual proporción, entonces g 2 = ab (a, b, g no son iguales a 0).
(3) Si m+n=p+q, am×an=ap×aq.
2. Las primeras N sumas de series geométricas