Respuestas de referencia del Concurso Nacional de Matemáticas de la Escuela Secundaria "Copa Semanal de Matemáticas" 2010
Preguntas de opción múltiple (***5 preguntas, 7). puntos cada uno, ***35 puntos. Solo una opción es correcta. Por favor, coloque el código de la opción correcta entre paréntesis después de la pregunta. Se otorgarán 0 puntos por no completar, completar más o completar incorrectamente).
1. Si , entonces el valor es ().
(A) (B) (C) (D)
Solución: Fijada por el problema.
2. Si se satisfacen los números reales A y B, entonces el rango de valores de A es ().
(A)a≤ (B)a≥4 (C)a≤o a≥4 (D) ≤a≤4.
Solución
Debido a que b es un número real, el discriminante de la ecuación cuadrática de b
es ≥0, y la solución es a≤ o a ≥ 4 .
3. Como se muestra en la figura, en el cuadrilátero ABCD, ∠ B = 135, ∠ C = 120, AB=, BC=, CD =, entonces la longitud del lado AD es ().
(A) (B)
(C) (D)
Solución: d
Como se muestra en la figura, el Los puntos de intersección A y D son AE, DF es perpendicular a la línea BC y los pies verticales son E y F respectivamente.
Disponible conocido
BE=AE=, CF=, DF=2,
Entonces ef = 4.
El punto de intersección a es AG⊥DF y el pie vertical es g. En Rt△ADG, se obtiene según el teorema de Pitágoras.
ANUNCIO=.
4. En una secuencia de números, se sabe que cuando k ≥ 2,
(El símbolo de número entero representa el número entero más grande que no excede un número real, por ejemplo, ) es igual a ().
1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
Solución: b
Proporcionada por la suma
, , , ,
, , , ,
......
Porque 2010=4×502 2, entonces = 2.
5. Como se muestra en la figura, en el sistema de coordenadas plano rectangular xOy, las coordenadas del vértice del trapezoide isósceles ABCD son A (1, 1), B (2, -1), C (- 2, - 1), D (-1). El punto P1 gira 180 grados alrededor del punto B, el punto P2 gira 180 grados alrededor del punto C, el punto P3 gira 180 grados alrededor del punto D,..., repita la operación para obtener los puntos P1, P2,..., y luego el punto P20655.
(A)(2010, 2) (B)(2010,)
(C)(2012), (D)(0, 2)
Solución: De lo que sabemos, podemos obtener B, las coordenadas del punto y son (2, 0), (2, 0) respectivamente.
Recuerda, entre ellos.
Según la relación de simetría, podemos obtener:
, , , .
En orden, también podemos obtener que la coordenada del punto es ( ), es decir () ,
Dado que 2010=4 502 2, las coordenadas de este punto son (2010,).
En segundo lugar, completa los espacios en blanco
6. Dado a =-1, el valor de 2a3 7a2-2a-12 es igual a.
Solución: 0
Se sabe que (A 1) 2 = 5, entonces A2 2A = 4, entonces
2 a3 7 a2-2a- 12 = 2 a3 4a 2 3 a2-2a-12 = 3 a2 6a-12 = 0.
7. Un autobús, un camión y un coche viajan en la misma dirección a velocidad constante por una carretera recta. En un momento determinado, el autobús está delante, el coche detrás y la minivan está en medio del autobús y el coche. Diez minutos más tarde, el coche alcanzó a la furgoneta. Después de otros 5 minutos, el automóvil alcanza al autobús; después de otros t minutos, el camión alcanza al autobús, y luego t =.
2010-3-21 12:41 Responder
122.76.166.*Segundo Piso
Solución: 15
En un determinado En un momento, la distancia entre el camión, el autobús y el automóvil es de s kilómetros, y la velocidad del automóvil, el camión y el autobús es (km/min) respectivamente. El camión está configurado para alcanzar al autobús en x minutos. .
, ①
, ② .③
De ① ②, obtienes, entonces, x = 30. Entonces (punto).
8. Como se muestra en la figura, en el sistema de coordenadas plano rectangular xOy, las coordenadas del vértice del polígono OABCDE son O (0, 0), A (0, 6), B (4, 6). , C (4,4), D (6,4), E (6,0). Si la recta L pasa por el punto M (2, 3)
Solución:
Como se muestra en la figura, extienda el eje X de la intersección BC hasta el punto F; CE, DF e Intersección en n puntos.
Se sabe que el punto M (2, 3) es el punto medio de OB y AF, es decir, el punto M es el centro del rectángulo ABFO, por lo que la recta divide el rectángulo ABFO en dos partes. con áreas iguales. Debido a que el punto N (5, 2) es el centro del rectángulo CDEF,
La línea recta que pasa por el punto n (5, 2) divide el rectángulo CDEF en dos partes de igual área.
Entonces, la recta es la recta buscada.
Supongamos que la expresión funcional de la recta es, entonces
Solución, entonces la expresión funcional de la recta es.
9. Como se muestra en la figura, los rayos AM y BN son perpendiculares al segmento de línea AB. El punto E es un punto sobre AM. La línea vertical AC que pasa por el punto A se cruza con BN, respectivamente. puntos F y C. La recta perpendicular CD de C es d, si CD = CF, entonces.
Solución:
Vea la imagen de la pregunta y configúrela.
Porque Rt△AFB∽Rt△ABC, entonces.
Y porque fc = DC = ab, es decir,
Resolver, o (renunciar).
Rt delta ∽ es Rt delta nuevamente, entonces, eso es =.
10. Para i=2, 3,...,k, el resto obtenido al dividir un entero positivo n por I es I-1. Si se satisface el valor mínimo de, entonces el valor mínimo de un entero positivo es.
Solución: Al ser múltiplo de , se satisface el valor mínimo de.
Que representa el mínimo común múltiplo.
Porque
Por tanto, el valor mínimo del entero positivo que satisface es.
3. Responde las preguntas (***4 preguntas, 20 puntos cada una, ***80 puntos)
11. Como se muestra en la figura, △ABC es un triángulo isósceles. , AP es la altura sobre la base BC, el punto D es el punto sobre el segmento PC, BE y CF son los diámetros de los círculos circunscritos de △ABD y △ACD respectivamente, que conectan EF. verificar:.
Prueba: Como se muestra en la figura, conecte ED y FD. Debido a que BE y CF son ambos diámetros,
ED⊥BC, FD⊥BC,
Por lo tanto, la línea de tres puntos * * * de D, E, F.... .............(5 puntos)
Conecta la exposición automática, el enfoque automático y luego
Por lo tanto, △ ABC ∽△ AEF. .... .......(10 puntos)
Supongamos que AH⊥EF y el pie vertical son h, entonces AH=PD. Se puede obtener de △ABC∽△AEF.
Por tanto,
Por tanto......(20 puntos)
2010-3-21 12:41 Responder
p>
122.76.166.*Tercer Piso
12. Como se muestra en la figura, la parábola (a 0) y la hipérbola se cortan en los puntos A y B. Se sabe que las coordenadas de El punto A es (1, 4), el punto B está en el tercer cuadrante y el área de △AOB es 3 (O es el origen de coordenadas).
(1) Los valores de los números reales A, B y K;
(2) Tomando el punto A de la parábola como la recta AC‖eje x. , intersecta la parábola en otro punto C. Encuentra las coordenadas de todos los puntos E que satisfacen △EOC∽△AOB.
Solución: (1) Debido a que el punto A (1, 4) está en una hipérbola,
Por lo tanto, k=4. Entonces la expresión funcional de la hipérbola es.
Si el punto B(t,), la expresión funcional de la recta donde se encuentra AB es, entonces
La solución es,.
Por lo tanto, las coordenadas de la intersección de la recta AB y el eje Y son, por lo
, organizadas,
solución, o t = (redondeada ). Entonces las coordenadas del punto B son (,).
Debido a que el punto A y el punto B están ambos en la parábola (a 0), la solución es………………(10 puntos).
(2) Como se muestra en la figura, debido a que AC‖eje x, entonces C(, 4), entonces Co = 4. BO=2 entonces.
Supongamos que la parábola (a 0) intersecta el semieje negativo del eje X en el punto D, entonces la coordenada del punto D es (, 0).
Porque ∠ DQO = ∠ DBO =, ∠COB=.
(I) Gira △ en el sentido de las agujas del reloj alrededor del punto O para obtener △. En este momento el punto (2) es el punto medio de CO, y la coordenada de este punto es (4,).
Extender al punto tal que =, entonces el punto (8,) es el punto calificado.
(ii) Haga una figura simétrica δ con respecto al eje X para obtener un punto (1,); extienda hasta el punto tal que =, entonces el punto E2 (2,) es el punto calificado.
Entonces, las coordenadas de este punto son (8,), o (2,)......................... ................................................. ................ .................................... ................................. ....................
13. Encuentra todos los números primos P y enteros positivos M que satisfagan.
Solución: Determinada por el problema,
Por lo tanto, dado que P es un número primo, o...(5 puntos)
(1 )Si, suponiendo que k es un número entero positivo, entonces,
Por lo tanto, por lo tanto.
Entonces la solución es......(10 puntos)
(2) Si, sea, k es un número entero positivo.
Cuando, cuando,
Por tanto, por lo tanto, sigue siendo 2.
Porque es raro, entonces, entonces.
Por lo tanto
Esto es imposible.
Cuando,,; si,, no hay solución entera positiva; cuando, no hay solución entera positiva.
Resumiendo, el número primo p=5, el entero positivo M = 9.............(20 puntos).
¿Cuál es el mayor número que se puede sacar de los 2010 enteros positivos de 14.1, 2,..., 2010, de modo que la suma de tres números cualesquiera sea divisible por 33?
Solución: En primer lugar, el siguiente número es 61: 11,,,, (es decir, 1991) cumple las condiciones de la pregunta............. ... ..(5 puntos)
Por otro lado, supongamos que es un número que cumple las condiciones enumeradas en 1, 2, ..., 2010. Para cuatro de estos n números, porque
, ,
así.
Entonces la diferencia entre dos números cualesquiera es múltiplo de 33 (10 puntos).
Supongamos que i=1, 2, 3,...,n.
De, de,
Por lo tanto, eso es ≥ 11............(15 puntos)
≤ ,
p>
Entonces ≤60. Por tanto, n≤61.
Resumiendo, el valor máximo de n es 61.............(20 puntos).