Arquímedes (287 a. C. - 212 a. C.) logró muchos logros en matemáticas, entre los que estaba más interesado en la derivación de la fórmula del volumen esférico. Para encontrar un método para calcular el volumen de una esfera, primero utilizó un cilindro equilátero hueco (es decir, el diámetro del círculo en la parte inferior del cilindro es exactamente igual a la altura del cilindro), lleno de agua. Luego se coloca suavemente una bola con un diámetro igual a la altura de este cilindro en el recipiente y se recoge con cuidado el agua que desborda. El volumen del agua que se mide es el volumen de la pelota. Después de muchos experimentos similares, descubrió que el volumen de la bola era exactamente igual al volumen del recipiente cilíndrico. Como se conoce el volumen del cilindro, se deriva una fórmula para el volumen de la esfera.
Arquímedes se tomó muy en serio este descubrimiento y pidió a otros que grabaran este número en su lápida tras su muerte. Este es el patrón grabado en la antigua lápida mencionada anteriormente.
2. ¿Cómo demostrar la fórmula del volumen de una esfera? Puedes usar integrales dobles en cálculo para encontrar el volumen de una esfera. Sin embargo, no importa si no sabes cálculo. Hay otra manera. El principio detrás de este método es el principio Zulú. El contenido específico es: la geometría intercalada entre dos planos paralelos es cortada por un plano paralelo a los dos planos. Si las áreas de la sección transversal son siempre iguales, entonces los volúmenes de la geometría intercalados entre los dos planos también son iguales. para poder aplicar el grupo. (Supongamos que el radio de la bola es R, pi representa Pi y "x y" representa x elevado a la yésima potencia) 1. Primero divida la pelota en dos hemisferios. El volumen de la pelota se puede calcular excediendo el volumen de un hemisferio; 2. Haga un plano paralelo al suelo del hemisferio en la parte superior del hemisferio; dos planos, de modo que el radio de la base alta sea igual al radio de la esfera 4. Luego retire del cilindro construido el volumen del cono con la parte superior inferior del cilindro como base y la altura del cilindro como; la altura. El volumen restante es 2 (pi * r 3)/3,5. El área de la sección transversal de un hemisferio es s 1 = pi(r ^ 2-h. El área de la sección transversal de un cilindro con la misma base y altura eliminada es S2 = pi(r ^ 2-h ^ 2), por lo que estos dos cuerpos geométricos son paralelos a estos dos. El área de la sección transversal cortada por el tercer plano de dos planos es siempre s 1 = S2, según el principio zulú, los volúmenes de estas dos figuras geométricas son iguales; el volumen del hemisferio v/2 = 2(pi * R3)/3 Entonces la fórmula para el volumen de una esfera es: v = 4 (pi * r 3)/3o (∩ _ ∩) oRecuerda adoptarla, muchas gracias
Tres.
Comparación entre la prueba del volumen de una esfera de Arquímedes y Zu Chongzhi El famoso matemático griego antiguo Arquímedes (287 a. C. - 212 a. C.) utilizó el "método de equilibrio" para resolver el volumen en "Métodos para tratar problemas mecánicos", es decir, "Matemáticamente, significa separar cantidades (área, volumen, etc.), lo que requiere multiplicarlas por muchas unidades pequeñas (como pequeños segmentos de línea, rebanadas, etc.) y luego compararlas con otro conjunto de unidades pequeñas.
La comparación de estos dos grupos de oligoelementos se logra con la ayuda del principio de equilibrio de palanca en mecánica.”[4] Por lo tanto, se puede decir que el método de equilibrio de Arquímedes encarna la idea básica del moderno método integral. El propio Mead lo utilizó para resolver una serie de problemas de cálculo del área y volumen de figuras geométricas.
Por ejemplo, Arquímedes utilizó el "método de la balanza" para demostrar la fórmula del volumen de una esfera, es decir, el volumen de una esfera es igual a 4 veces el volumen de un cono con un círculo grande. en la parte inferior y un radio de altura. Este método está cerca del método de Zu Xuan, el hijo de Zu Chong, que es el cálculo integral moderno. Utilizando el teorema de Zu "Los potenciales son los mismos, los productos no se pueden diferenciar" y el "Principio de entrada y salida complementarias", sobre la base de la cobertura cuadrada, Liu Hui resolvió el problema del volumen esférico en el que Liu Hui se devanaba los sesos y obtuvo la fórmula correcta para el volumen esférico.
Se puede observar que el método de cálculo en China no implica resolver las propiedades de la pelota. El método básico para resolver el problema del producto esférico es el método de construcción, que iguala el problema original mediante modelado matemático y resuelve el problema geométrico con la ayuda de fuerzas externas.
Y Liu Zu y Liu Zu fueron los primeros en calcular el volumen de la pelota. La superficie de la pelota se convirtió en una cuestión histórica que no se resolvió del todo hasta la dinastía Qing.
4. ¿Cómo utilizar los conocimientos matemáticos del primer año de secundaria para demostrar la fórmula del volumen de la pelota? El libro de texto de la escuela secundaria proporciona el proceso de prueba de la fórmula del volumen de la esfera. ¿Cómo probar la fórmula del volumen del elipsoide? De hecho, podemos usar el conocimiento que aprendimos en la escuela secundaria para demostrar la fórmula del volumen del elipsoide. La siguiente prueba se basa en el método de prueba de la fórmula del volumen de la esfera en los libros de texto de la escuela secundaria. Se espera que el segundo método de prueba también pueda introducirse en los libros de texto de la escuela secundaria. Método de prueba uno: [Nota: este método de prueba es solo para estudiantes de primer año de secundaria. Fue hecho sin aprender ecuaciones elípticas, etc. Este método de prueba utiliza la fórmula de presión del líquido P=ρgh y la fórmula de definición de presión P=F/S en física. La derivación de la fórmula del volumen del elipsoide se originó a partir de las dudas de los estudiantes de secundaria sobre la fórmula de la presión del líquido. Este método de prueba no se proporciona aquí por el momento. ] Método de prueba dos: como se muestra en (1), el diámetro inferior es 2b. Un hemisferio elipsoidal de altura A y un cilindro al que se le ha quitado el cono se colocan en el mismo plano β. A cualquier altura D desde el plano β, se pueden obtener dos secciones transversales del círculo S y del anillo S cortando un plano paralelo al plano β. Hay S ciclo = π (m2-d2) 1 S ciclo = πb2 - πr2 = π (b2 - r2) porque r/b = d/a (R/B = D/A). A2) 2 Sustituyendo el valor de las coordenadas del punto M en la ecuación elíptica x2/b2+y2/a2=1, entonces tenemos (m2-d2)/b2+d2/a2=1, es decir, m2-d2=b2- b2d2/a2 3, luego sustituye 1 y 2 en 3 para obtener S círculo = S anillo, que se puede conocer según el principio de constancia ancestral. Estos dos son geométricamente iguales, es decir, V elipse/2 = V cilindro - V cono = πab2 - πab2/3, es decir, V elipse = 4πab2/3. Cuando la sección transversal del elipsoide no es un círculo sino una elipse, podemos derivar la fórmula del volumen del elipsoide como 4πabc/3. La siguiente prueba ha sido obtenida por Xinhuanet Forum y otros internautas, apodados Nonsense wdzg168. [Haga clic para leer].
Verbo (abreviatura de verbo) ¿Cómo demostrar la fórmula 1 del volumen de la esfera? Derivación de la fórmula para el volumen de una esfera
Método de pensamiento básico:
Primero intercepte la esfera con el plano donde se encuentra el centro de la esfera y use la sección transversal para divide la esfera en dos hemisferios de igual tamaño. La sección transversal se llama ⊙ es la base del hemisferio resultante.
Paso uno: segmentación.
Corta el hemisferio en capas utilizando un conjunto de planos paralelos a la base.
(2) El segundo paso: encontrar la suma aproximada.
Cada capa es un "pequeño disco" aproximadamente cilíndrico. Usamos el volumen del cilindro pequeño para aproximar el volumen del "disco pequeño", y su suma es el volumen aproximado del hemisferio.
(3) El tercer paso: convertir la suma aproximada en una suma exacta.
Al aumentar infinitamente, el volumen aproximado del hemisferio tiende al volumen exacto.
(Consulte el libro de texto para conocer procedimientos específicos)
2. Teorema: La fórmula del volumen de una esfera con radio es:.
3. Aplicación de la fórmula del volumen
Solo existe una condición para encontrar el volumen de una pelota, que es el radio de la pelota.
El cubo de la razón de los radios de dos esferas es igual a la razón de los volúmenes de las dos esferas.
La esfera está inscrita en el cubo, y el diámetro de la esfera es igual a la longitud del lado del cubo; en el cubo está inscrita una bola, y el radio de la bola es igual al doble; longitud del lado del cubo (es decir, la mitad de la diagonal de la esfera). Los radios de las esferas inscritas y circunscritas de un tetraedro regular de longitud son .
También puedes usar el cálculo para encontrarlo, pero no es fácil de escribir.