Raíz característica: El método de la raíz característica también se puede utilizar para encontrar la fórmula del término general a través de la fórmula recursiva de la secuencia (es decir, la ecuación diferencial, que debe ser lineal), y su esencia es la igual que la ecuación diferencial. ?Denominada ecuación en diferencias lineales homogéneas de segundo orden: ?Ecuación característica ponderada.
Vector propio: A es una matriz de n orden. Si el número λ y el vector columna x n-dimensional distinto de cero satisfacen Ax=λx, entonces el número λ se llama valor propio de A, y x. se llama característica correspondiente de A. Vector propio de valores λ.
Ax=λx también se puede escribir como (A-λE)x=0, y |λE-A| se llama polinomio característico de A. Cuando el polinomio característico es igual a 0, se llama ecuación característica de A. La ecuación característica es un sistema de ecuaciones lineales homogéneas. El proceso de resolver el valor propio es en realidad resolver la solución de la ecuación característica.
Sea |A-λE|=0 y encuentre el valor de λ.
A es una matriz de orden n, Ax=λx, entonces x es el vector propio y λ es el valor propio.
Información ampliada:
Ecuación de vector propio
Matemáticamente, si el vector v y la transformación A satisfacen Av=λv, entonces se dice que el vector v es la transformación A Un vector propio de , λ es el valor propio correspondiente. Esta ecuación se llama "ecuación de valores propios".
Suponiendo que es una transformación lineal, entonces v puede expresarse mediante un conjunto de bases del espacio vectorial en el que se ubica como:
donde vi es la proyección de la vector sobre el vector base (es decir, la coordenada), aquí se supone que el espacio vectorial es n-dimensional. Por tanto, se puede expresar directamente como un vector de coordenadas. Utilizando vectores base, las transformaciones lineales también se pueden representar mediante una simple multiplicación de matrices. La ecuación de valores propios anterior se puede expresar como:
Sin embargo, a veces no es natural o incluso imposible escribir la ecuación de valores propios en forma matricial. Por ejemplo, cuando el espacio vectorial es de dimensión infinita, el caso de cadena anterior es un ejemplo.
Dependiendo de la transformación y de las propiedades del espacio sobre el que actúa, en ocasiones es mejor expresar la ecuación de valores propios como un conjunto de ecuaciones diferenciales. Si es un operador diferencial, su vector propio generalmente se denomina función propia del operador diferencial. Por ejemplo, la diferenciación en sí misma es una transformación lineal porque (si M y N son funciones diferenciables, y a y b son constantes).
Consideremos el diferencial respecto al tiempo t. Su función propia satisface la siguiente ecuación de valor propio:
donde λ es el valor propio correspondiente a la función. Tal función del tiempo no cambia si λ = 0, crece proporcionalmente si λ es positiva y decae proporcionalmente si λ es negativa. Por ejemplo, la población idealizada de conejos se reproduce más rápido donde hay más conejos, satisfaciendo así una ecuación de valor propio con una lambda positiva.
Enciclopedia Baidu: método raíz característico
Enciclopedia Baidu: vector característico