En un conjunto R no vacío, si se definen dos operaciones algebraicas suma (no necesariamente suma y multiplicación), y satisfacen:
Axioma1: El conjunto R se forma bajo la operación Grupo de Abel.
Axioma2: Respecto a la ley asociativa, es decir, los pares de R forman un semigrupo.
Axioma3: La ley distributiva y la ley asociativa son verdaderas, es decir, existen:
El sistema algebraico se dice que es un anillo (Ring). Sin causar confusión, se abrevia como.
El elemento de identidad del grupo aditivo superior se llama elemento cero, registrado como 0, y para el Axioma3, pero no satisface la ley asociativa del Axioma2, entonces R se llama anillo no asociativo. En este momento, hay un elemento cero único θ en R, de modo que α θ = α para α∈R cada α en R tiene un elemento negativo único -α, de modo que α (-α) = θ, que puede ser abreviado como α (-b) es α-b. La ley distributiva se puede generalizar como: α(b±с)=αb±αс, (b±с)α=bα±сα se puede demostrar por inducción matemática:
En el no asociativo; anillo R, siempre hay: αθ=θα=θ; α(-b)=(-α)b=-αb; (-α)(-b)=αb; , donde α y b son cualquier elemento en R, n es cualquier número entero.
Si el anillo no asociativo R también tiene la propiedad: α2=θ (α∈R), y se cumple la identidad jacobiana, es decir, siempre existe (αb)с (bс)α (сα )b= en R θ, entonces R se llama anillo de Lie.
Si la multiplicación del anillo no asociativo R es conmutativa, y siempre hay: (αα)b, α=(αα)(bα) en R, entonces R se llama anillo de Jordan.
En el estudio de los anillos no vinculantes, los anillos de Lie y los anillos de Jordan son las dos ramas más abundantes. Si la multiplicación de un anillo no asociativo R se ajusta a la ley asociativa, entonces R se llama anillo o anillo asociativo. Si se especifica la siguiente nueva multiplicación "." (llamada operación de transposición) en el anillo R: α. b=αb-bα, entonces R es un anillo de Lie para la suma original y la nueva multiplicación si la nueva multiplicación especificada es "·" (llamada operación simétrica): α·b=αb bα, entonces R se convierte en Ruoer; un anillo.
Supongamos que S es un subconjunto no vacío del anillo no asociativo R. Si S también forma un anillo no asociativo para la suma y multiplicación de R, entonces S se llama subanillo de R. Un subanillo de un anillo verdaderamente no asociativo (es decir, uno en el que tres elementos no se ajustan a la ley asociativa cuando se multiplican) puede ser un anillo asociativo. La intersección de varios subanillos de un anillo no asociativo R sigue siendo un subanillo de R. Cuando T es un subconjunto no vacío de R, la intersección de todos los subanillos que contienen T en R es obviamente el subanillo más pequeño que contiene T en R, que se denomina subanillo de R generado por T. Si el subanillo generado por tres elementos cualesquiera en el anillo no vinculante R es siempre un anillo vinculante, entonces R ya es un anillo vinculante; si el subanillo generado por dos elementos cualesquiera en R es siempre un anillo vinculante, entonces R se denomina anillo vinculante; anillo escalonado;
Si el subanillo generado por cualquier elemento en R es siempre un anillo de unión, entonces R se llama anillo de unión de poder. En el anillo de combinación de potencias, la primera y segunda leyes exponenciales siempre están establecidas.
Si la multiplicación de un anillo al tresbolillo es conmutativa, entonces se llama anillo conmutativo al tresbolillo. En el anillo conmutativo escalonado no sólo se establecen la primera y segunda ley exponencial, sino que también se establece la tercera ley exponencial: (n es cualquier número entero positivo también está el teorema del binomio);
Ejemplos típicos de anillos asociativos y anillos conmutativos son: un anillo de matriz completa de orden n en F, es decir, una matriz de orden n compuesta por todas las matrices de orden n en el campo (o campo) numérico F bajo la suma y multiplicación de matrices. Anillo; el anillo de transformación lineal completo de V, es decir, un anillo formado por todas las transformaciones lineales de un espacio vectorial V sobre F bajo la suma y multiplicación de transformaciones sobre F; , es decir, el polinomio total de una o varias palabras en F constituye un anillo de conmutación.
Un anillo de enteros es un anillo conmutativo compuesto por todos los números enteros; todos los números pares constituyen un subanillo del mismo, que se denomina anillo par completo de orden n en R son todas las matrices de orden n en cualquier anillo R. Para simulación Normalmente, el anillo compuesto de suma y multiplicación definido por operaciones matriciales se denota como Rn el anillo de todas las funciones reales en 0,1, es decir, todas las funciones reales definidas en el intervalo 0,1, es un intercambio formado por la suma y multiplicación de funciones. Anillo; el anillo de números enteros módulo n, es decir, la clase de resto módulo n, un anillo conmutativo formado por la suma y multiplicación de la clase de resto. Es un ejemplo típico de anillo conmutativo que contiene sólo un número finito de elementos.
Si un anillo R contiene un elemento distinto de cero e≠θ, tal que ex=xe=x para cada x∈R, entonces e se llama elemento unitario de R. Si un anillo tiene elementos de identidad, debe ser único. Supongamos que R es un anillo que contiene elementos unitarios, α es un elemento en R, si hay un elemento b en R y αb=bα=e, entonces b se llama elemento inverso de α. Cuando α tiene un elemento inverso, su elemento inverso debe ser único, lo que se registra como α-1 también tiene un elemento inverso, y es α, es decir, (α-1) -1 = α. El elemento cero θ de R no debe tener ningún elemento inverso. Si cada elemento distinto de cero de R tiene un elemento inverso, entonces R se llama cuerpo o anillo divisible. El álgebra de cuaterniones es un cuerpo típico. En la definición del cuerpo se estipula además que su multiplicación es adecuada a la ley conmutativa, que es la definición del campo.