En 1877, el matemático Cantor propuso un mapeo uno a uno de una dimensión a dos dimensiones. Posteriormente, esta conclusión fue apoyada por otros matemáticos, entre ellos Peano, Hilbert, etc. Pero también hay algunos matemáticos que se muestran escépticos o se oponen a esto. El más famoso es el matemático Deetkin (también traducido como Dedekind), que trabajó con Cantor para definir los números reales. Siempre se ha opuesto a las conclusiones de Cantor y ha señalado algunos errores en la demostración original de Cantor. Además, el matemático Juergens demostró más tarde que si la correspondencia entre un plano y una línea recta es continua, es imposible tener una correspondencia uno a uno.
La siguiente opinión es que las curvas de Peano, etc., son contradictorias con la incontabilidad de los números reales.
===1 Números decimales y la paradoja de Russell===
Con respecto a la teoría de conjuntos de Cantor, Russell propuso una paradoja en 1901, afirmando que un conjunto se contiene a sí mismo conducirá a una confusión lógica. El análisis encontró que la paradoja de Russell también está incluida en la definición de números reales de Cantor. La definición de Cantor de números reales es. Luego se utiliza un proceso recursivo para generar la curva de Peano, y los puntos de intersección de la curva de Peano y la línea mediana se numeran en el orden de generación durante el proceso recursivo. De esta manera cada intersección tiene un número. Si la curva de Peano cubre todo el cuadrado, entonces la intersección debe cubrir toda la línea mediana. Debido a que existe una correspondencia uno a uno entre los puntos del segmento de recta y los números reales entre ellos, y hay una correspondencia uno a uno entre las etiquetas y el conjunto de números naturales, esto significa que hay una Correspondencia uno a uno entre los números reales y los números naturales. Esto es contradictorio con la incontablebilidad de los números reales. Obviamente, el foco de la pregunta es si la intersección de la curva de Peano y la línea mediana cubre todo el intervalo, o solo los puntos del número racional en él.
Este tema se analiza más adelante en el sistema de coordenadas. Para facilitar la discusión en el sistema decimal, supongamos que cada cuadrado grande se divide en 100 cuadrados pequeños, es decir, cada cuadrado tiene 9 puntos de intersección con su línea de bits después de dividirse. Deje que el punto de intersección obtenido por la primera división se registre como s1, y el punto de intersección obtenido por la segunda división se registre como s2... Esto da como resultado una secuencia {s1, s2,..., sn,...} , cualquier Un elemento sn es una secuencia de números:
s1:
0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9
s2:
0,01, 0,02, 0,03, 0,04, 0,05, 0,06, 0,07, 0,08, 0,09
0,11, 0,12, 0,13, 0,14, 0,15, 0,16, 0,17, 0,18, 0,19
......
0,91, 0,92, 0,93, 0,94, 0,95, 0,96, 0,97, 0,98, 0,99
s3:
0,001, 0,002, 0,003, 0,004, 0,005, 0,006, 0,007, 0,008, 0,009
0,011, 0,012, 0,013, 0,014, 0,015, 0,016, 0,017, 8, 0,019
...
Si la intersección de la curva de Peano y la línea mediana cubre toda la línea mediana, entonces la secuencia {s1, s2,..., sn,... } también cubre la intervalo de números reales. Y como cada elemento sn de la secuencia contiene un número finito, después de sustituir la secuencia numérica representada por cada elemento, la secuencia {s1, s2,..., sn,...} es igual a todos los números reales en un intervalo .compuesto por una secuencia. Esto es contradictorio con la incontablebilidad de los números reales.
Una cosa que debe quedar clara es la relación entre el proceso de construcción de secuencias infinitas y el proceso de toma de límites de secuencias infinitas. Ya sabemos que hay números numerables infinitos de números racionales en el intervalo, y se puede utilizar un proceso infinito recursivo para generar estos números racionales y los números irracionales en el intervalo son todos puntos límite del conjunto de números racionales; Pero el conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales son obviamente diferentes.
Es decir, el proceso infinito de construir el conjunto de números racionales no incluye el proceso de tomar el límite, y no se puede considerar que el proceso de tomar el límite deba incluirse en el proceso infinito. De lo contrario, según lo explicado en la Sección 1, la definición de números irracionales incluirá la paradoja de Russell. De hecho, muchos ejemplos que afirman haber encontrado evidencia de números contables reales cometen el error de pensar que los procesos infinitos deben implicar procesos límite.
Para la curva de Peano, la gráfica obtenida tras tomar el límite es un cuadrado completo. Dado que el proceso de tomar la operación límite en el conjunto no puede mantener una correspondencia uno a uno, esto no es suficiente para demostrar que la curva de Peano establece un mapeo uno a uno de la curva al plano. Antes de tomar el límite, la intersección de la curva de Peano y la línea mediana contiene todos los números racionales en. En este momento, la curva de Peano completa el proceso de construcción de la secuencia básica. La gráfica es una curva pero no un plano; el límite, el gráfico cubrirá todo el plano, el punto de intersección de la línea mediana y el gráfico es el segmento de línea completo. Porque sabemos que antes de tomar el límite, hay un número contable e infinito de intersecciones entre la gráfica y la recta mediana, y después de tomar el límite, hay un número incontable e infinito de intersecciones. No hay uno a uno. correspondencia entre los dos, por lo que, a menos que haya un argumento especial, de lo contrario no se puede concluir que existe una correspondencia uno a uno entre curvas y planos por el hecho de que hay una curva antes de tomar el límite y hay un plano después de tomar el límite.
De hecho, dado que el proceso de generación de la curva de Peano es un proceso recursivo, y el proceso recursivo tiene una correspondencia uno a uno con los números naturales, en teoría la intersección entre la gráfica generada por esta proceso y la línea mediana es solo Puede haber un número infinito que sea contable, pero no puede ser un número infinito que sea incontable [3].
De esta forma, para un punto del plano cuyas coordenadas son un par de números irracionales, como por ejemplo (sqrt⑵-1, sqrt⑵-1), tampoco puede estar cubierto por el lado transversal de Peano. curva ni el lado vertical.
En esta sección se analiza que la curva de Peano no cubre todo el plano. El foco de esta cuestión es si la secuencia básica que define los números irracionales incluye puntos límite: si incluye puntos límite, entonces construir la secuencia básica es equivalente a construir todos los números racionales y números irracionales, si no incluye puntos límite, entonces construir; la secuencia básica es equivalente a construir sólo números racionales.
===3 Mapeo de codificación de la curva de Hilbert===
La sección anterior analizó que la curva de Peano no cubre todo el plano. Entonces, ¿podemos seguir el ejemplo de Cantor de partir del conjunto de números racionales para definir el conjunto de números irracionales y utilizar curvas de Peano para establecer una aplicación uno a uno de las curvas a los planos? El mapa de codificación de la curva de Hilbert es un ejemplo de ello.
La curva de Hilbert es una curva que se obtiene dividiendo un cuadrado en cuatro cuadrados más pequeños, y luego conectando los puntos centrales de los cuadrados pequeños, es decir, la curva de Hilbert [6]. La curva obtenida por la primera división se llama H-1, y la curva obtenida por la segunda división se llama H-2,... el punto de intersección de H-1 y el eje y (es decir, el punto medio de H-1) se llama La intersección de H-1 (1/2), H-2 y el eje y se llama H-2 (1/2)…. Como se muestra en la Figura 2. Tenga en cuenta que para facilitar la discusión, la sección anterior analizó la curva formada por los lados de cuadrados pequeños, mientras que esta sección analiza la curva obtenida al conectar los centros de cuadrados pequeños. Dado que existe una correspondencia uno a uno entre los lados del cuadrado y la línea media, los dos métodos de representación son idénticos hasta cierto punto.
Figura 2, curva de Hilbert
En el mapeo de codificación de la curva de Hilbert, los cuatro cuadrados pequeños divididos en dos se codifican binariamente en el sentido de las agujas del reloj, que es 0,00, 0,01, 0,10, 0.11. La división posterior también agrega 2 decimales binarios según la codificación anterior. Por ejemplo, después de la segunda división de la primera cuadrícula, los códigos de los cuatro cuadrados pequeños obtenidos son 0,0000, 0,0001, 0,0010 y 0,0011. De esta manera, a cada punto del cuadrado se le asigna un código, que consiste en completar el mapeo uno a uno desde el plano 1 × 1 al intervalo.
El análisis de este método de codificación en realidad utiliza una secuencia de puntos convergentes para definir un punto. Por ejemplo, el punto central de un cuadrado se compone de la secuencia {H-1 (1/2), H-2 (. 1/2),...,H-N(1/2),...}, es decir, el punto central del cuadrado correspondiente a es 1/2. Según el argumento de la Sección 1, este método conduce a errores al definir puntos en la secuencia básica.
Si estrictamente de acuerdo con la definición de límite, todos los elementos en la secuencia anterior, H-1 (1/2), H-2 (1/2),..., H-N (1/2),..., estos Los puntos son es el punto límite de una secuencia constante (es decir, una secuencia compuesta por un elemento de sí misma), que también debe corresponder a 1/2 pulg. Es decir, 1/2 no corresponde a un punto del plano, sino a una infinidad de puntos.
Además, se puede demostrar por contradicción que la curva de Hilbert no establece una correspondencia uno a uno de la curva al plano. Suponga que el intervalo de coordenadas de la curva es (es decir, suponga que la longitud de la curva es 1), y para un cierto punto p en el eje y de la línea mediana cuadrada, hay un número x en la curva que se asigna al punto p. Dado que la curva de Hilbert es simétrica, se puede obtener inmediatamente que el número (1-x) también se asigna al punto p. Y dado que este mapeo es uno a uno, x = 1-x = 1/2, es decir, 1/2 corresponde a un segmento de línea en el eje y, lo cual es inconsistente con el mapeo uno a uno anterior. un supuesto de correspondencia.
Esta sección analiza la imposibilidad de utilizar el mapeo de codificación de la curva de Hilbert para completar el mapeo uno a uno desde el plano 1 × 1 al intervalo.
===4 El mapeo de Cantor de una dimensión a dos dimensiones===
Cantor propuso un mapeo uno a uno de una dimensión a dos dimensiones[1] ：
Supongamos que y es un número real y:
y = 0.a1 b1 a2 b2 …… an bn ……
Entonces sea:
x1 = 0.a1 a2 …… an ……
x2 = 0.b1 b2 …… bn ……
Esto completa el proceso desde y hasta (x1, x2) cartografía.
De hecho, el proceso de prueba anterior utiliza un método recursivo. Como se analizó en la Sección 1, el método recursivo solo puede demostrar elementos en la secuencia básica, y los puntos límite de la secuencia básica no están necesariamente incluidos en la secuencia básica. Entonces esta prueba sólo es válida para números racionales.
===5 Resumen===
Esta vista señala que cuando Cantor usa la secuencia básica de números racionales para definir números reales, un número racional a en el campo de números reales es por definición igual a Sequence, que en realidad construye un conjunto que contiene autorreferencia: el número a es igual a un conjunto, y hay un elemento en este conjunto, que es el número a mismo. Tal conjunto contiene la paradoja de Russell. Este artículo también analiza ejemplos de mapeos unidimensionales a bidimensionales, como las curvas de Peano, señalando que en realidad contienen la paradoja anterior.