El período matemático moderno se refiere al período comprendido entre 65438 y la década de 1920. Durante este período, las matemáticas estudiaron principalmente las relaciones cuantitativas y las formas espaciales más generales. Los números y las cantidades son sólo casos muy especiales, y las habituales imágenes geométricas de espacios unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales también son sólo casos especiales. El álgebra abstracta, la topología y el análisis funcional son partes importantes de todas las ciencias matemáticas modernas. Son cursos para estudiantes universitarios de matemáticas, y los estudiantes que no son de matemáticas también deben estar familiarizados con ellos. Muchas disciplinas nuevas se desarrollaron vigorosamente durante el período de las matemáticas variables, y sus contenidos y métodos se enriquecieron, ampliaron y profundizaron constantemente.
A finales del siglo XVIII y XIX, las matemáticas alcanzaron una situación rica e intensiva. Parece que el tesoro de las matemáticas se ha agotado y no hay mucho margen de desarrollo. Sin embargo, esto es sólo la calma antes de la tormenta. En la década de 1920 finalmente llegó la ola de la revolución matemática y las matemáticas iniciaron una serie de cambios esenciales. Desde entonces, las matemáticas han entrado en un nuevo período: el período de las matemáticas modernas.
En la primera mitad del siglo XIX se produjeron dos descubrimientos revolucionarios en matemáticas: la geometría no euclidiana y el álgebra no conmutativa.
Hacia 1826 se descubrió la geometría no euclidiana, que era diferente de la geometría euclidiana habitual pero que también era correcta. Esto fue propuesto por primera vez por Robachevsky y Rier. El surgimiento de la geometría no euclidiana ha cambiado la opinión de la gente de que la geometría euclidiana sólo existe por sentado. Sus ideas revolucionarias no sólo allanaron el camino para la nueva geometría, sino que también fueron el preludio y la preparación para el surgimiento de la teoría de la relatividad en el siglo XX.
La liberación de la mente causada por la geometría no euclidiana resultó más tarde de gran importancia para las matemáticas y la ciencia modernas, porque el hombre finalmente comenzó a romper las limitaciones de los sentidos y penetrar en la naturaleza más profunda. En este sentido, Lobachevsky, que dedicó su vida al establecimiento y desarrollo de la geometría no euclidiana, es digno de ser un pionero de la ciencia moderna.
En 1854, Riemann popularizó el concepto de espacio y creó un campo más amplio de la geometría: la geometría riemanniana. El descubrimiento de la geometría no euclidiana también impulsó debates en profundidad sobre los métodos axiomáticos, estudió los conceptos y principios que pueden utilizarse como base y analizó la integridad, compatibilidad e independencia de los axiomas. Desde 65438 hasta 0899, Hilbert hizo grandes contribuciones a esto.
En 1843, Hamilton descubrió un álgebra, el álgebra de cuaterniones, en la que la ley conmutativa de la multiplicación no se cumple. La aparición del álgebra no conmutativa cambió la opinión de la gente de que era impensable tener un álgebra diferente del álgebra aritmética ordinaria. Sus ideas revolucionarias abrieron la puerta al álgebra moderna.
Por otro lado, debido a la exploración de las condiciones fundamentales de una ecuación de una variable, se introdujo el concepto de grupo. Desde la década de 1920 hasta la de 1930, Abel y Galois fueron pioneros en el estudio del álgebra moderna. El álgebra moderna es relativa al álgebra clásica y el contenido del álgebra clásica se centra en discutir las soluciones de las ecuaciones. Después de la teoría de grupos, se establecieron varios sistemas algebraicos (anillos, campos, celosías, álgebra de Boole, espacios lineales, etc.). En este momento, los objetos de investigación del álgebra se expandieron a vectores, matrices, etc., y gradualmente se dirigieron al estudio de la estructura del propio sistema algebraico.
Los dos acontecimientos anteriores y su desarrollo se denominan la liberación de la geometría y el álgebra.
En el siglo XIX se produjo el tercer acontecimiento matemático de gran alcance: la aritmética del análisis. En 1874, Wilstrass defendió de manera convincente la necesidad de una comprensión más profunda de los fundamentos del análisis. Planteó un punto famoso llamado "aritmética analítica". El sistema de números reales en sí debe ser primero riguroso y luego todos los conceptos analíticos deben derivarse de este sistema de números. Él y sus sucesores básicamente realizaron esta idea, de modo que todo análisis actual puede derivarse lógicamente de un conjunto de postulados que muestran las características del sistema de números reales.
Los matemáticos modernos han ido mucho más allá de la suposición de que el sistema de números reales es la base del análisis. La geometría euclidiana también se puede ubicar en el sistema de números reales mediante su interpretación analítica; si la geometría euclidiana es compatible, entonces la mayoría de las ramas de la geometría son compatibles. El sistema de números reales (o alguna parte de él) se puede utilizar para resolver muchas ramas del álgebra de grupos; puede hacer que muchas compatibilidades algebraicas dependan de la compatibilidad del sistema de números reales.
De hecho, se puede decir que si el sistema de números reales es compatible, todas las matemáticas existentes también lo son.
A finales del siglo XIX, gracias al trabajo de Dedekind, Cantor y Peano, estos fundamentos matemáticos se habían establecido sobre un sistema de números naturales más simple y básico. Es decir, demostraron que el sistema de números reales (del que se derivan muchos tipos de matemáticas) puede derivarse del conjunto de postulados que establecen el sistema de números naturales. A principios del siglo XX se demostró que los números naturales se pueden definir utilizando los conceptos de la teoría de conjuntos, por lo que todo tipo de matemáticas se pueden describir sobre la base de la teoría de conjuntos.
La topología fue originalmente una rama de la geometría, pero no se hizo popular hasta el segundo cuarto del siglo XX. La topología se puede definir vagamente como el estudio matemático de la continuidad. Los científicos se dan cuenta de que cualquier conjunto de cosas, ya sea un conjunto de puntos, un conjunto de números, un conjunto de entidades algebraicas, un conjunto de funciones o un conjunto de objetos no matemáticos, puede en cierto sentido formar un espacio topológico. Los conceptos y teorías de la topología se han aplicado con éxito al estudio del electromagnetismo y la física.
En el siglo XX, muchos trabajos matemáticos se dedicaron a examinar cuidadosamente el fundamento lógico y la estructura de las matemáticas, lo que condujo al surgimiento de los axiomas, es decir, el estudio de los conjuntos de postulados y sus propiedades. Muchos conceptos matemáticos han sufrido grandes cambios y popularización, y también se han desarrollado ampliamente temas básicos profundos como la teoría de conjuntos, las matemáticas modernas y la topología. Algunas paradojas que surgen de la teoría de conjuntos general (o abstracta) son de gran alcance, desconcertantes y necesitan ser abordadas con urgencia. La lógica misma, como herramienta en matemáticas para sacar conclusiones basadas en el conocimiento, ha sido examinada cuidadosamente, dando como resultado la lógica matemática. La relación entre lógica y filosofía ha propiciado el surgimiento de diferentes escuelas de filosofía matemática.
Desde los años 1940 hasta los años 1950, ocurrieron tres acontecimientos trascendentales en la historia de la ciencia mundial: la utilización de la energía atómica, la invención de las computadoras electrónicas y el surgimiento de la tecnología aeroespacial. Además, surgieron muchas situaciones nuevas que provocaron cambios dramáticos en las matemáticas. Estas situaciones son: los objetos de la investigación científica y tecnológica moderna están cada vez más fuera del alcance de los sentidos humanos y se están desarrollando en la dirección de altas temperaturas, alta presión, alta velocidad, alta intensidad, larga distancia y automatización. Tomando como ejemplo la unidad de longitud, puede ser tan pequeña como 1 polvo (femtomicrómetro, es decir, de 10 a 15 metros) y tan grande como 1 millón de pársecs (3,258 millones de años luz). Estas mediciones y estudios no pueden basarse en la experiencia directa de los sentidos, sino que se basan cada vez más en la guía de cálculos teóricos. En segundo lugar, la escala de los experimentos científicos se ha ampliado sin precedentes y un experimento a gran escala consumirá mucha mano de obra y recursos materiales. Para reducir el desperdicio y evitar la ceguera, se necesita urgentemente una extensión teórica y un diseño precisos. En tercer lugar, la ciencia y la tecnología modernas tienden a ser cuantitativas y se necesitan herramientas matemáticas en todos los campos de la ciencia y la tecnología. Las matemáticas han penetrado en casi todos los departamentos científicos, dando lugar a muchas disciplinas matemáticas de vanguardia, como la biomatemática, la bioestadística, la biología matemática, la lingüística matemática, etc.
La situación anterior ha provocado que el desarrollo de las matemáticas muestre algunas características obvias. Estas características se pueden resumir simplemente en tres aspectos: la formación de la informática, el surgimiento de muchas nuevas ramas de las matemáticas aplicadas y algunas. Grandes avances en matemáticas puras.
Después del nacimiento de la primera computadora electrónica en 1945, debido a su amplia aplicación y enorme influencia, naturalmente se formó una gran ciencia a su alrededor. En términos generales, la informática es la ciencia que explora y estudia teóricamente sistemas informáticos, software y algunas aplicaciones especiales. Las matemáticas computacionales pueden clasificarse como ciencias de la computación, pero también pueden considerarse como una forma de matemáticas aplicadas.
La mayoría de los trabajos en diseño y fabricación de computadoras suelen ser en ingeniería informática o ingeniería eléctrica. Software se refiere a programas, lenguajes de programación, métodos de programación, etc. que resuelven problemas. La investigación de software requiere el uso de lógica matemática, álgebra, lingüística matemática, combinatoria, teoría de grafos, métodos de cálculo y otras herramientas matemáticas. Actualmente existen miles de aplicaciones para ordenadores electrónicos y hay una tendencia creciente. Pero sólo algunas aplicaciones especiales se clasifican como informáticas, como la traducción automática, la inteligencia artificial, la revisión automática, el reconocimiento de patrones, el procesamiento de imágenes, etc.
Nunca existe una frontera estricta entre las matemáticas aplicadas y las matemáticas puras (o teoría básica). En términos generales, la matemática pura es aquella parte de la matemática que no se aplica directamente a otras áreas del conocimiento o práctica productiva.
Promueve indirectamente el desarrollo de disciplinas afines o encuentra su aplicación directa algunos años después. Se puede decir que las matemáticas aplicadas son el puente entre las matemáticas puras y la ciencia y la tecnología.
Después de la década de 1940, surgieron un gran número de nuevas disciplinas de matemáticas aplicadas, con contenidos, aplicaciones y tipos sin precedentes. Por ejemplo, teoría de juegos, teoría de la planificación, teoría de colas, métodos de optimización, investigación de operaciones, teoría de la información, teoría del control, análisis de sistemas, teoría de la confiabilidad, etc. Es difícil aclarar el alcance de la investigación y la relación entre estas ramas. Algunas pueden considerarse nuevas aplicaciones o ramas de la estadística de probabilidad porque utilizan muchas herramientas de probabilidad y estadística, y otras pueden clasificarse en informática, etc.
Después de la década de 1940, la teoría básica también se desarrolló rápidamente y aparecieron muchos trabajos innovadores que resolvieron algunos problemas fundamentales. En este proceso se introducen nuevos conceptos y métodos, lo que promueve el desarrollo de las matemáticas en su conjunto. Por ejemplo, algunas de las 23 cuestiones pendientes planteadas por Hilbert en la Conferencia Internacional de Educadores de 1990 ya se han resuelto parcialmente. Desde la década de 1960, han surgido algunas nuevas ramas de las matemáticas, como el análisis no estándar, las matemáticas difusas y la teoría de catástrofes. Además, en las últimas décadas se han logrado grandes avances en las matemáticas clásicas, como la teoría de la probabilidad, la estadística matemática, la teoría analítica de números, la geometría diferencial, la geometría algebraica, las ecuaciones diferenciales, la teoría de factores, el análisis funcional, la lógica matemática, etc.
Los resultados de la investigación matemática contemporánea están a punto de explotar. Antes de finales del siglo XVII, sólo había 17 revistas que publicaban artículos matemáticos (originalmente de 1665 había 210; en el siglo XIX, 950); Las estadísticas aumentaron aún más durante el siglo XX. A principios de este siglo, sólo se publicaban 1.000 artículos matemáticos cada año; en 1960, el número de resúmenes publicados en la American Mathematical Review era 7.824, en 1973 era 20.410 y en 1979 llegó a 52.812, lo que muestra un crecimiento exponencial. tendencia de crecimiento. Las tres características de las matemáticas (alta abstracción, amplia aplicación y sistema riguroso) son más obvias.
Hoy en día, casi todos los países tienen su propia sociedad matemática, y muchos países también tienen grupos dedicados a la educación matemática en todos los niveles. Se han convertido en uno de los factores poderosos que impulsan el desarrollo de las matemáticas. En la actualidad, las matemáticas tienen una tendencia de desarrollo acelerado, que no tiene comparación con ningún período del pasado.
Aunque las matemáticas modernas presentan una situación colorida, sus principales características se pueden resumir de la siguiente manera: (1) Los objetos y contenidos de las matemáticas se han desarrollado mucho en profundidad y amplitud. Análisis, álgebra Las ideas, teorías y métodos. Las matemáticas y la geometría han sufrido cambios tremendos y la tendencia a la diferenciación y síntesis continuas de las matemáticas se está intensificando. (2) La entrada de las computadoras electrónicas en el campo de las matemáticas ha tenido un impacto enorme y de largo alcance. (3) Las matemáticas han penetrado en casi todos los campos científicos y desempeñan un papel cada vez más importante. Las matemáticas puras se han ido desarrollando en profundidad, y la lógica matemática y los fundamentos matemáticos se han convertido en los cimientos de todo el edificio matemático.
Lo anterior presenta brevemente la situación de las matemáticas en los tres períodos principales de desarrollo: la antigüedad, la época moderna y la época moderna. Si se compara el estudio de las matemáticas con el estudio del "vuelo", entonces el primer período estudia principalmente varias fotografías de pájaros (inmóviles y sin cambios); el segundo período estudia principalmente varios videos de pájaros (movimiento, variables); se centra en aprender los atributos generales (abstracción y ensamblaje) de aves, aviones, naves espaciales, etc.
Este es un proceso de desarrollo de lo simple a lo complejo, de lo concreto a lo abstracto, de lo bajo a lo alto, de lo especial a lo general. Desde un punto de vista geométrico, la geometría euclidiana, la geometría analítica y la geometría no euclidiana pueden considerarse logros representativos de los tres principales períodos de desarrollo de las matemáticas. Euclides, Descartes y Lobachevsky pueden considerarse representantes de cada período.