Quedarse significa que alguien se queda en un lugar determinado.
Por ejemplo: Vive en
En casa de baja por enfermedad (se queda en casa cuando está enfermo)
Salir suele significar dejar algo donde está o dejárselo a alguien.
Dejó las llaves en el coche. (Dejó las llaves en el coche)
Su padre le dejó una cuantiosa herencia. (Su padre dejó un enorme legado)