¿Qué es el método de análisis de elementos finitos?

En el diseño mecánico moderno, el método de análisis de elementos finitos es un medio importante e indispensable. En 1956, M. J. Turner, R. W. Clough, H. C. Martin y L. J. Topp introdujeron un nuevo método de cálculo en la reunión anual de la Sociedad Aeronáutica en Nueva York y ampliaron el método de desplazamiento matricial para resolver problemas de tensiones planas. Dividieron el modelo geométrico continuo en "unidades" triangulares y rectangulares, asignaron funciones de desplazamiento aproximadas a las unidades utilizadas y luego obtuvieron la matriz de rigidez unitaria de la relación entre la fuerza del nodo y el desplazamiento del nodo. De 1954 a 1955, J. H. Argyris publicó una serie de artículos sobre principios energéticos y análisis estructural en el Journal of Aeronautical Engineering. En 1960, Clough propuso por primera vez el término elemento finito en un famoso artículo titulado "Elementos finitos en análisis de tensión plana", que luego fue ampliamente citado y se convirtió en el nombre estándar para este método numérico. Al mismo tiempo, los matemáticos desarrollaron soluciones aproximadas a ecuaciones diferenciales, incluido el método de diferencias finitas, el principio de variación y el método del valor residual ponderado, sentando una base matemática y teórica para el desarrollo futuro del método de elementos finitos. Alrededor de 1963, gracias al trabajo de J. F. Besseling, R. J. Melosh, R. E. Jones, R. H. Gallaher, T. H. H. Pian y muchos otros, la gente se dio cuenta de que el método de los elementos finitos es una variación de la aproximación de Ritz en el principio de variación, y se desarrollaron varios métodos en consecuencia. Principio de variación. En 1965, O. C. Zienkiewicz y Y. K. Cheung descubrieron que todos los problemas de campo se pueden resolver utilizando los mismos pasos que el método de elementos finitos de la mecánica de sólidos, siempre que se puedan convertir a la forma variacional correspondiente. 1969 B. A. Szabo y G. C. Lee señalaron que el método del resto ponderado, especialmente el método de Galerkin, se puede utilizar para derivar el proceso estándar de elementos finitos para resolver problemas no estructurales. Los trabajadores de la mecánica chinos han hecho muchas contribuciones al desarrollo inicial del método de los elementos finitos. Entre ellos, los más famosos son Chen Boping (método de matriz estructural), Qian Lingxi (principio de energía combinada), Qian Weichang (principio variacional generalizado) y Hu Haichang. (principio variacional generalizado) Principio), Feng Kang (teoría del método de elementos finitos).

La idea básica del método de elementos finitos es transformar el objeto de investigación en un modelo matemático similar a la estructura original mediante discretización, y luego resolver el método de cálculo numérico de tensión, desplazamiento, deformación y otros. parámetros a través de una serie de pasos estandarizados, como los que se muestran en la Figura 4-19. Suponga que una función simple representa aproximadamente la ley de distribución del desplazamiento dentro de la unidad, utilice la teoría mecánica (como el principio variacional o el principio de movimiento virtual) u otros métodos para establecer la relación característica mecánica entre la fuerza nodal y el desplazamiento, y obtenga un conjunto de funciones nodales. desplazamientos como cantidades desconocidas. Un sistema de ecuaciones algebraicas para resolver las componentes de desplazamiento de los nodos. Luego, la función de interpolación se utiliza para determinar la función de campo sobre el conjunto de celdas. Obviamente, si la unidad cumple con los requisitos de convergencia del problema, a medida que el tamaño de la unidad disminuye y aumenta el número de unidades en el área de solución, la aproximación de la solución continuará mejorando y la solución aproximada eventualmente convergerá a la solución exacta. .

Con el rápido desarrollo de la tecnología informática, el método de elementos finitos se ha convertido en un método y medio eficaz para el análisis estructural. Los campos de aplicación del método de los elementos finitos han incluido la ingeniería mecánica, la ingeniería civil, las estructuras aeroespaciales, la conducción de calor, los campos electromagnéticos, la geomecánica y muchos otros campos. Es aplicable a casi todos los problemas de campo y medios continuos y se ha convertido en una herramienta de análisis numérico indispensable para la investigación científica y el diseño de ingeniería.

Figura 4-19 Pasos generales para establecer un modelo de elementos finitos Los pasos de cálculo del método de elementos finitos se pueden resumir en tres pasos básicos: división de malla, análisis unitario y análisis general.

(1) División de malla.

El enfoque básico del método de los elementos finitos es reemplazar el continuo original con un conjunto de elementos finitos. Por lo tanto, primero es necesario simplificar el cuerpo elástico y luego dividirlo en cuerpos discretos compuestos por un número limitado de unidades. Estas unidades están conectadas a través de nodos. El conjunto de unidades, nodos y líneas de nodos se denomina cuadrícula, como se muestra en la Figura 4-20.

Figura 4-20 Análisis de elementos de malla de elementos finitos (2).

Para la mecánica elástica, el análisis unitario consiste en establecer la relación entre el desplazamiento nodal y la fuerza nodal de cada unidad. Dado que el desplazamiento nodal de la unidad se utiliza como variable básica, primero es necesario determinar la expresión aproximada del desplazamiento interno de la unidad, luego calcular la deformación y tensión de la unidad y luego establecer la relación entre la fuerza nodal y el desplazamiento nodal en la unidad.

(3) Análisis general.

La Figura 4-21 analiza el rápido crecimiento de la capacidad de las computadoras electrónicas en su conjunto. Hoy en día, los programas comerciales de elementos finitos son cada vez más aceptados y la gente no tiene que gastar mucha energía en programación. No solo eso, el desarrollo de programas comerciales de elementos finitos también libera a los usuarios del mallado manual, simplifica el proceso de preprocesamiento y omite el proceso de ingresar las coordenadas de los nodos y la información de conexión de las unidades punto por punto. Además, se puede obtener un buen entorno de diálogo entre personas y computadoras a través del método del menú en pantalla y se puede obtener un análisis claro de la estructura de la computadora. Los programas comerciales limitados más conocidos incluyen NASTRAN, ADFNA/ADINAT, ANSTS, Cosmos/MSAP, etc. El alcance del análisis y las funciones de estos programas son diferentes. Al usarlos, debe elegir un programa razonable de acuerdo con los diferentes alcances del análisis.