1. Las secuencias acotadas no necesariamente convergen;
(1) ¿Da un ejemplo? A={1,-1,1,-1,1,-1,....? }?Ahora mismo. An = (-1) n (1 negativo elevado a la enésima potencia)
Cuando n→∞, An salta entre 1 y -1 y no converge a un determinado valor.
¿Qué pasa con cualquier n? |An|≤1, por lo que la secuencia A está acotada.
Esto muestra que hay una secuencia acotada pero no converge.
②¡La secuencia de convergencia debe estar acotada!
Supongamos que la secuencia Bn converge a b cuando n→∞
Demuestre que la secuencia Bn está acotada;
Mediante prueba por contradicción: suponiendo que la secuencia Bn es ilimitada, tenemos:
Según la convergencia de Bn, existen:
Entonces, ¡la secuencia Bn es ilimitada!
¡Entonces la secuencia de convergencia debe ser acotada!
Solo da un ejemplo que sea convergente y acotado: (Reemplaza la parte 2, es demasiado difícil para ti)
Si Bn=0, constante en 0, entonces | < 1 es obviamente acotado, y cuando n→∞, Bn=0, obviamente converge.
Así que las secuencias acotadas no necesariamente convergen.
2.
Supongamos que la función g(x)=f(x)-f(-x)
Y el dominio de f(x) es ( -∞, +∞).
Así que el dominio de g(x) también se puede establecer en (-∞, +∞).
∫g(-x)= f(-x)-f(-(-x))= f(-x)-f(x)=-g(x)
Entonces, si g(x) es una función impar, su imagen es simétrica respecto al origen (0, 0), y debido a que x=0 está dentro del dominio de g(x), entonces g(x) debe pasar a través del origen.
3.
Por lo tanto, la función y=x+4/x disminuye monótonamente en los intervalos de (-2, 0) y (0, 2) respectivamente.