Secuencia aritmética de números primos, como 3, 5, 7. Los más largos, como 7, 37, 67, 97, 127, 157. Si no recuerdo mal, la serie aritmética tiene sólo 26 términos, el número primo más largo conocido, por lo que el teorema G-T sigue siendo un resultado extraordinario.
Esta demostración se completa básicamente utilizando teoría de grafos y matemáticas combinatorias, basadas en el lema regular de Szemeredi y el teorema de Szemeredi. El propio Szemeredi ganó el Premio Abel por este teorema, Gowers ganó el Premio Fields por construir los límites de constantes en un lema regular mediante análisis armónico, y Tao también ganó el Premio Fields por popularizar este teorema. No es de extrañar que mi jefe dijera que dentro de 10 años, el lema de regularidad será una herramienta que todos utilizarán. (En particular, Frieze y Kannan dieron una versión debilitada del lema de regularidad, y la teoría de límites de grafos se ha utilizado ampliamente en computadoras teóricas).
Puede consultar la teoría más básica de límites de grafos. ¿Qué métricas pueden describir la similitud de dos gráficos? -Zhihu
No estamos interesados en el proceso de demostración específico del teorema G-T. Déjame darte una idea general. Ordos tiene una conjetura famosa, tengo un subconjunto A de números naturales, cuyos elementos son, si, entonces hay una secuencia aritmética arbitrariamente larga en A... Esta conjetura aún no se ha concluido y la gente ni siquiera puede probar que existe en A una sucesión aritmética de longitud 3... El teorema G-T es un caso especial de esta conjetura porque la suma de los recíprocos de todos los números primos es infinito. En cuanto a la situación general, ¿quién puede probarlo? Supongo que Tianye no se escapó.
Szemeredi resultó ser una versión debilitada. El llamado teorema de Szemeredi significa que si A es un subconjunto denso de números naturales, entonces hay una secuencia aritmética arbitrariamente larga en A. Denso significa que [N] se refiere al conjunto de los primeros N números naturales. Tenga en cuenta que los números primos no satisfacen esta propiedad (del teorema de los números primos), por lo que este teorema es más débil que el teorema G-T.
La herramienta que utilizó fue el lema de regularidad.
El lema de regularidad de Szemeredi describe que el caos total es imposible. Dame una imagen grande y puedo dividirla en m partes, lo que la hace muy regular entre cada dos partes. Los galos demostraron que m es al menos una función de torre.
El lema de conteo de gráficos se puede obtener mediante el lema regular. Tomaré el triángulo como ejemplo. El lema de eliminación de triángulos dice que si no hay muchos triángulos en una gráfica (), puedo eliminar bastantes lados () para que la gráfica no tenga triángulos. Los triángulos de la trilogía pueden corresponder a una secuencia aritmética de longitud 3. Básicamente, mediante el lema de conteo y un análisis cuidadoso podemos obtener el teorema de Szemeredi.
El núcleo del teorema G-T es demostrar el teorema relativo de Szemeredi. Debido a que el conjunto primo P es escaso en N, el contenido de este teorema es que si un subconjunto S de N satisface ciertas propiedades (el artículo original debe satisfacer dos condiciones, el último resultado se simplifica a una), A en S es denso, entonces hay una secuencia aritmética de cualquier longitud en A. Podemos considerar S como un conjunto de números con pocos factores primos, de modo que los números primos que contiene son densos. La idea específica es demostrar el lema de conteo en gráficos en el caso escaso.
Sin embargo, podemos ver que este último resultado aún está lejos de la conjetura de Ordos. . Esperando un gran avance del gran maestro.
Estoy comiendo fuera, así que no uso papel de referencia. Además, ¿alguien sabe por qué Tao salió al campo con la teoría de la "cerámica verde", pero Lu no? Debería estar en el puesto 41 de 18, sin ninguna esperanza.