A principios de la década de 1980, para adquirir más conocimientos, nuestra generación de "jóvenes educados" ingresó sucesivamente a los "Cinco Grandes" y luego ingresó al "Autoestudio de adultos" para profundizar. estudiar. Cuando estudiaba economía en la Universidad de Finanzas y Economía del Suroeste, un tutor muy respetado nos dijo en una clase presencial de matemáticas avanzadas: el progreso de la civilización humana es directamente proporcional al desarrollo de las matemáticas. China también ha hecho contribuciones sobresalientes; Las contribuciones al desarrollo de las matemáticas humanas incluyen a Zu Chongzhi en la antigüedad y a Hua en la actualidad. En el siglo XXI, están todos ustedes aquí y jóvenes aspirantes de todo el país.
El instructor continuó diciendo: Hay tres problemas mundiales importantes en la historia de las matemáticas antiguas (cubo doble, círculo cuadrado y ángulo trigonométrico). La historia de las matemáticas modernas incluye el quinto postulado, el último teorema de Fermat y la suma de dos elementos de cualquier tabla de números pares. Todos estos han sido superados por sus predecesores, y aquellos que puedan hacerlo deben hacerlo. ¿Qué estudian los matemáticos de los países desarrollados modernos? ¿Qué están atacando las élites matemáticas en el siglo XXI?
El instructor luego habló sobre tres problemas difíciles de las matemáticas modernas: primero, hay 20 árboles, 4 árboles en cada fila; la antigua Roma y la antigua Grecia completaron la disposición de 16 filas en la conjetura de Gauss; Fue posible ordenar 18 líneas en el siglo XVIII; Lloyd en los Estados Unidos completó esta conjetura en el siglo XIX; dos expertos en informática completaron 20 líneas a finales del siglo XX.
En segundo lugar, los países de nuestro entorno tienen diferentes colores. ¿En cuántos colores se puede pintar cualquier mapa? Los cinco colores han sido certificados. Hasta ahora, sólo Appel y Haken han enumerado muchos mapas en los Estados Unidos, todos los cuales fueron teóricamente completados por computadoras electrónicas. Aún no se ha realizado una prueba exhaustiva del razonamiento lógico artificial.
En tercer lugar, debe haber dos del mismo sexo entre tres personas cualesquiera, y debe haber tres del mismo sexo entre seis personas cualesquiera que se conozcan o no (se utilizan líneas rojas para conocerse, y las líneas azules se utilizan para conocerse, es decir, entre los seis triángulos monocromáticos aparecerán en la línea de dos colores conexión de puntos de masa). La Olimpiada Internacional de Matemáticas de los últimos años también se ha centrado en temas tan candentes para seleccionar fuerzas de ataque de reserva. (Por ejemplo, diecisiete científicos discuten tres temas y dos personas trabajan en parejas en cada tema, lo que demuestra que al menos tres científicos discuten el mismo tema; dieciocho puntos están conectados con dos colores y aparecerá un cuadrilátero monocromático; dos colores y seis puntos deben tener dos triángulos monocromáticos, y así sucesivamente) En el estudio de triángulos monocromáticos, especialmente el estudio de diagramas extremos sin triángulos monocromáticos es el más difícil y popular.
Se puede resumir en el problema de plantar 20 árboles, el problema del mapa de cuatro colores y el problema del triángulo de un solo color. Conocidos como los tres grandes problemas de las matemáticas modernas.
En aquella época, los estudiantes universitarios podían escuchar a sus profesores menos de diez veces por semestre. Los tres problemas principales de matemáticas son las lecciones más inolvidables y emocionantes para nuestros estudiantes. El tiempo vuela, el tiempo vuela, y estamos en la primera década del siglo XX (distingamos la década siguiente y la décima). Aquí dedico la lección más apasionante e inolvidable de mis estudios universitarios a lectores de diferentes niveles y aficiones.
Uno de los "Problemas del Milenio": P (algoritmo polinómico) vs. NP (algoritmo no polinómico)
Un sábado por la noche, asististe a una gran fiesta. Es incómodo y te preguntas si hay alguien en este salón que ya conoces. Su anfitrión le recomienda que se asegure de conocer a la Sra. Rose, que está sentada en un rincón cerca del plato de postre. No te lleva ni un segundo echar un vistazo y comprobar que tu maestro tiene razón. Pero si no existe tal pista, debes mirar alrededor de todo el salón y mirar a cada persona una por una para ver si hay alguien que reconozcas. Generar una solución a un problema suele llevar más tiempo que validar una solución determinada. Este es un ejemplo de este fenómeno común. De manera similar, si alguien te dice que los números 13, 717 y 421 se pueden escribir como el producto de dos números más pequeños, quizás no sepas si creerle o no, pero si te dice que se pueden factorizar hasta 3607 veces 3803, entonces puedes verificarlo fácilmente con una calculadora de bolsillo. Independientemente de si somos competentes en escribir un programa, determinar si una respuesta se puede verificar rápidamente con conocimiento interno o si lleva mucho tiempo resolverla sin tales sugerencias se considera el problema más importante en lógica e informática. Lo afirmó Stephen Cook en 1971.
"Problema del Milenio" Parte 2: La conjetura de Hodge
Los matemáticos del siglo XX encontraron una forma eficaz de estudiar la forma de objetos complejos. La idea básica es preguntar hasta qué punto podemos dar forma a un objeto determinado pegando bloques de construcción geométricos simples de mayores dimensiones. Esta técnica se volvió tan útil que pudo generalizarse de muchas maneras diferentes; eventualmente condujo a algunas herramientas poderosas que permitieron a los matemáticos lograr grandes resultados en la clasificación de los diversos objetos que encontraron en su investigación. Desafortunadamente, en esta generalización, el punto de partida geométrico del programa se vuelve borroso. En cierto sentido hay que añadir algunas partes que no tienen ninguna explicación geométrica. La conjetura de Hodge afirma que para las llamadas variedades algebraicas proyectivas, un componente llamado cadena de Hodge es en realidad una combinación (lineal racional) de componentes geométricos llamados cadena algebraica.
"Misterio del Milenio" nº 3: La conjetura de Poincaré
Si estiramos una banda elástica alrededor de la superficie de una manzana, entonces podemos moverla lentamente y encogerla hasta convertirla en una punta sin romperlo o dejar que se desprenda de la superficie. Por otro lado, si imaginamos la misma banda de goma estirada en la dirección apropiada sobre la banda de rodadura del neumático, no hay forma de encogerla hasta cierto punto sin dañar la banda de goma o la banda de rodadura del neumático. Decimos que la superficie de una manzana está "simplemente conectada", pero la banda de rodadura de un neumático no. Hace unos cien años, Poincaré sabía que una esfera bidimensional podía caracterizarse esencialmente por una conexión simple, y planteó el problema correspondiente de una esfera tridimensional (todos los puntos están a una unidad de distancia del origen en un espacio de cuatro dimensiones). El problema se volvió inmediatamente increíblemente difícil y los matemáticos han estado luchando con él desde entonces.
El cuarto "problema del billón de billones": Hipótesis de Riemann
Algunos números tienen propiedades especiales y no pueden expresarse como el producto de dos números más pequeños. Por ejemplo, 2, 3, 5,. 7 etc Estos números se denominan números primos; desempeñan un papel importante en las matemáticas puras y sus aplicaciones. Entre todos los números naturales, esta distribución de números primos no sigue ninguna regularidad; sin embargo, el matemático alemán Riemann (1826~1866) observó que la frecuencia de los números primos está relacionada con el comportamiento de una función zeta de Riemann bien construida; z(s$) estrechamente relacionado. La famosa hipótesis de Riemann afirma que todas las soluciones significativas de la ecuación z(s)=0 se encuentran en una línea recta. Esto se ha demostrado en las primeras 1.500.000.000 de soluciones. Demostrar que funciona para todas las soluciones significativas revelará muchos misterios que rodean la distribución de los números primos.
"Cientos y cientos de misterios" No. 5: La existencia y brecha de calidad de Yang Mo Fang.
Las leyes de la física cuántica están establecidas para el mundo de las partículas elementales, del mismo modo que las leyes de Newton de la mecánica clásica están establecidas para el mundo macroscópico. Hace aproximadamente medio siglo, Chen Ning Yang y Mills descubrieron que la física cuántica revelaba relaciones sorprendentes entre la física de las partículas elementales y las matemáticas de los objetos geométricos. Las predicciones basadas en la ecuación de Young-Mills se han confirmado en los siguientes experimentos de alta energía realizados en laboratorios de todo el mundo: Brockhaven, Stanford, CERN y Tsukuba. Sin embargo, describen partículas pesadas y ecuaciones matemáticamente rigurosas sin soluciones conocidas. En particular, la hipótesis de la "brecha de masa", confirmada por la mayoría de los físicos y utilizada para explicar la invisibilidad de los quarks, nunca ha sido demostrada matemáticamente de forma satisfactoria. El progreso en este problema requiere la introducción de nuevos conceptos fundamentales en física y matemáticas.
El sexto "Problema del Milenio": la existencia y suavidad de la ecuación de Navier-Stokes
Las olas ondulantes seguían a nuestro barco mientras serpenteaba por el lago, y las turbulentas corrientes de aire lo seguían. nosotros Vuelo de aviones a reacción modernos. Los matemáticos y físicos están convencidos de que tanto las brisas como las turbulencias pueden explicarse y predecirse comprendiendo las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes. Aunque estas ecuaciones fueron escritas en el siglo XIX, todavía sabemos muy poco sobre ellas. El desafío es lograr avances sustanciales en la teoría matemática para que podamos desentrañar los misterios ocultos en las ecuaciones de Navier-Stokes.
“Misterio del Milenio” nº 7: Conjetura de Birch y Swinnerton-Dale.
A los matemáticos siempre les fascina la caracterización de todas las soluciones enteras de ecuaciones algebraicas como x^2 y^2 = z^2.
Euclides alguna vez dio una solución completa a esta ecuación, pero para ecuaciones más complejas, se vuelve extremadamente difícil. De hecho, como dice Yu. V. Matiyasevich señaló que el décimo problema de Hilbert no tiene solución, es decir, no existe un método general para determinar si dicho método tiene una solución entera. Cuando la solución es un punto de variedad abeliana, Bayhe y Swinorton-Dyer conjeturaron que el tamaño del grupo de puntos racional está relacionado con el comportamiento de la función zeta asociada z(s) cerca del punto s = 1. En particular, esta interesante conjetura sostiene que si z(1) es igual a 0, hay infinitos puntos racionales (soluciones; a la inversa, si z(1) no es igual a 0, sólo hay un número finito de tales puntos); .