Cuando Cauchy era joven, su padre lo llevaba a menudo a la oficina del Senado francés para guiarlo en sus estudios, por lo que tuvo la oportunidad de conocer a dos grandes matemáticos, el senador Laplace y el senador LaGrange. Tenían sentido común acerca de sus talentos; Lagrange creía que se convertiría en un gran matemático en el futuro, pero aconsejó a su padre que no estudiara matemáticas antes de dominar las artes liberales.
Cauchy ingresó a la escuela secundaria en 1802. En la escuela secundaria obtuvo excelentes resultados en latín y griego y ganó numerosos concursos. Los profesores también elogian mucho los logros en matemáticas. En 1805 ingresó en una escuela integral de ingeniería, donde estudió principalmente matemáticas y mecánica. Fue admitido en la Bridge Highway School en 1807, se graduó con honores en 1810 y fue a Cherburgo para participar en el proyecto de construcción del puerto marítimo.
Cauchy fue a Cherburgo con la teoría analítica de funciones de Lagrange y la mecánica celeste de Laplace. Posteriormente, recibió algunos libros de matemáticas enviados desde París o prestados de la zona. En su tiempo libre, leía libros sobre todas las ramas de las matemáticas, desde la teoría de números hasta la astronomía. Siguiendo el consejo de Lagrange, estudió poliedros y presentó dos artículos a la Academia de Ciencias en 1811 y 1812. Los principales resultados son los siguientes:
(1) Se demuestra que solo hay 5 poliedros regulares convexos (el número de caras es 4, 6, 8, 12, 20 respectivamente) y solo hay 4 poliedros regulares en forma de estrella (el número de caras es 12), el número de lados es 20).
(2) Obtuvo y generalizó otra prueba de la relación de Euler entre el número de vértices, el número de caras y el número de aristas de un poliedro.
(3) Está demostrado que un poliedro de caras fijas debe ser fijo, de lo que se puede derivar un teorema de Euclides que nunca ha sido demostrado.
Estos dos artículos tuvieron un gran impacto en la comunidad matemática. Cauchy enfermó mientras trabajaba en Cherburgo y regresó a la casa de sus padres en París en 1812.
Cauchy fue nombrado ingeniero del Proyecto del Canal de París en 1813. Mientras descansaba y trabajaba como ingeniero en París, continuó estudiando matemáticas y participando en actividades académicas. Sus principales contribuciones durante este período son:
(1) Estudió teoría de la sustitución y publicó artículos básicos sobre teoría de la sustitución y teoría de grupos en la historia.
(2) Demuestre la conjetura de Fermat sobre los números poligonales, es decir, cualquier entero positivo es la suma de los números de los ángulos. Esta conjetura había sido propuesta durante más de cien años en ese momento y no había sido resuelta después de muchos estudios por parte de los matemáticos. Ambos estudios comenzaron mientras Cauchy estaba en Cherburgo.
(3) Calcular integrales reales utilizando integrales de funciones de variables complejas es el punto de partida del teorema integral de Cauchy en la teoría de funciones de variables complejas.
(4) Estudió la propagación de ondas superficiales líquidas, obtuvo algunos resultados clásicos en mecánica de fluidos y ganó el Premio de Matemáticas de la Academia Francesa de Ciencias en 1815.
La publicación de los destacados resultados anteriores le dio a Cauchy una gran reputación y se convirtió en un joven matemático de fama internacional en ese momento.
Napoleón francés fracasó, los Borbones fueron restaurados y Luis XVIII se convirtió en rey de Francia. Cauchy fue nombrado académico de la Academia Francesa de Ciencias y profesor de la Escuela de Ingeniería General en 1816. En 1821 fue nombrado profesor de mecánica en la Universidad de París y también enseñó en el Collège de France. Sus principales contribuciones durante este período fueron:
(1) Enseñar cursos de análisis en escuelas integrales de ingeniería, establecer la teoría de límites básica del cálculo y desarrollar la teoría de límites. Antes de eso, los conceptos de cálculo y series eran vagos. Debido a que el discurso de Cauchy era diferente del tradicional, los profesores y estudiantes de la escuela hicieron muchas críticas sobre él.
Los trabajos de Cauchy publicados durante este período incluyen "Un curso de análisis algebraico", "Un esquema de curso de análisis de infinitesimales" y "Un curso de aplicación del cálculo en geometría". Estos trabajos sentaron las bases del cálculo, promovieron el desarrollo de las matemáticas y se convirtieron en un modelo para los cursos de matemáticas.
(2) Cauchy volvió a estudiar mecánica del continuo después de trabajar como profesor de mecánica en la Universidad de París. En un artículo del 65438 al 0822, estableció las bases de la teoría de la elasticidad.
(3) Continuar estudiando el cálculo de integrales y residuos en el plano complejo y aplicar resultados relevantes para estudiar ecuaciones diferenciales parciales en física matemática.
Un gran número de sus artículos han sido publicados en las Actas de la Academia Francesa de Ciencias y en su propia revista Mathematical Problems.
En 1830, la revolución que derrocó a la dinastía Borbón estalló en Francia y el rey Carlos de Francia huyó presa del pánico por décima vez. ¿Luis, duque de Orleans? Felipe sucedió como rey de Francia. Se estipuló que debía jurar lealtad al nuevo rey cuando ocupara cargos públicos en Francia. Como Cauchy pertenecía a la facción ortodoxa que apoyaba a los Borbones, se negó a jurar lealtad y abandonó Francia. Primero fue a Suiza y luego se desempeñó como profesor de física matemática en la Universidad de Turín en Italia de 1832 a 1833, y participó en las actividades académicas de la Academia de Ciencias local. En esa época estudió la expansión en series y las ecuaciones diferenciales de funciones complejas (método de las series fuertes), y realizó importantes contribuciones a este fin.
De 1833 a 1838, Cauchy trabajó primero en Praga y luego como profesor en Gorz para el príncipe heredero de Borbón y el duque de Burdeos, y finalmente obtuvo el título de baronet. Durante este período, realizó menos trabajos de investigación.
Cauchy regresó a París en 1838. Como no juró lealtad al rey de Francia, sólo podía participar en las actividades académicas de la Academia de Ciencias y no podía dedicarse a la docencia. Publicó una gran cantidad de artículos importantes sobre funciones complejas, mecánica celeste, mecánica elástica, etc. en el informe de la Academia Francesa de Ciencias "Y sus propios ejercicios de análisis periódico y física matemática".
La revolución estalló en Francia en 1848, ¿Louis? Felipe fue derrocado, se restableció la república y los funcionarios públicos abolieron el juramento de lealtad al rey francés. Cauchy se convirtió en profesor de astronomía matemática en la Universidad de París en 1848 y reanudó la docencia en la École Supérieure francesa, donde la había dejado en 1848.
En 1852, Napoleón lanzó su tercer golpe de estado, transformando a Francia de una república a un imperio, y restableció a los funcionarios públicos para que juraran lealtad al nuevo régimen. Cauchy renunció inmediatamente a la Universidad de París. Más tarde, Napoleón los eximió a él y al físico Arago por tercera vez de su juramento de lealtad. Cauchy pudo continuar su labor docente hasta su muerte en los suburbios de París en 1857. Cauchy continuó participando en actividades académicas y publicando artículos científicos hasta su muerte.
Cauchy fue un prolífico matemático. Sus obras completas fueron publicadas desde 1882 hasta 1974, editándose el último volumen, haciendo un total de 28 volúmenes. Sus principales aportaciones son las siguientes:
(1) Funciones complejas simples
La obra más importante y creativa de Cauchy es la teoría de funciones complejas simples. Los matemáticos del siglo XVIII utilizaban integrales definidas con límites superior e inferior imaginarios. Pero no existe una definición clara. Cauchy aclaró por primera vez conceptos relacionados y utilizó este tipo de integral para estudiar diversas cuestiones como el cálculo de integrales definidas, la expansión de series y productos infinitos, y la solución de ecuaciones diferenciales expresadas por integrales con variables paramétricas.
(2) Fundamentos del Análisis
Los cursos de análisis de Cauchy y los materiales didácticos relacionados en la Escuela de Ingeniería Integral tuvieron un gran impacto en las matemáticas. Desde que Newton y Leibniz inventaron el cálculo (denominado análisis infinitesimal), la base teórica de este tema ha sido vaga. Para seguir desarrollándonos, debemos establecer una teoría rigurosa. Cauchy fue el primero en establecer con éxito la teoría de los límites.
No existe un lenguaje común en la obra de Cauchy y sus afirmaciones parecen ser inexactas, conduciendo en ocasiones a errores como los que surgen al no establecer los conceptos de continuidad consistente y convergencia consistente. Pero en lo que respecta a los principios del cálculo, sus conceptos eran en su mayoría correctos y su claridad no tenía precedentes. Por ejemplo, su definición de funciones continuas y sus integrales es precisa. Primero demostró con precisión la fórmula de Taylor y dio la definición de convergencia de series y algunos métodos de discriminación.
③Ecuaciones diferenciales ordinarias
La contribución más profunda de Cauchy al análisis se encuentra en el campo de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Primero demostró la existencia y unicidad de la solución de la ecuación. Nadie antes que él había hecho semejante pregunta. En términos generales, los tres métodos principales de Cauchy, a saber, el método de Cauchy-Lipschtz, el método de aproximación por pasos y el método de series fuertes, se utilizaron en el pasado para aproximar cálculos y estimar soluciones. La mayor contribución de Cauchy fue ver que al calcular series fuertes era posible demostrar que el paso de aproximación convergía, cuyo límite era la solución de la ecuación.
(4) Otras contribuciones
Aunque Cauchy estudió principalmente análisis, realizó contribuciones en diversos campos de las matemáticas. En cuanto a otras materias que utilizan las matemáticas, sus logros en astronomía y óptica son secundarios, pero es uno de los fundadores de la teoría matemática de la elasticidad. Además de lo anterior, sus otras contribuciones en matemáticas son las siguientes:
1. Análisis: el concepto básico de líneas características viajeras en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales de primer orden en la realización de la transformada de Fourier; resolución de ecuaciones diferenciales, etc. función.
2. Geometría: Fundó la geometría integral y obtuvo la fórmula para expresar la longitud de una curva plana convexa mediante unas proyecciones ortogonales sobre una recta plana.
3. Álgebra: En primer lugar, se demuestra que las matrices con órdenes superiores a 1 tienen valores propios; en primer lugar, se propone claramente el concepto de grupo de permutación y se obtienen algunos resultados no convencionales en la teoría de grupos. Descubrió de forma independiente la llamada "esencia del álgebra", el principio de álgebra externa de Grassmann.