Una lista de ecuaciones simples para resolver problemas prácticos
10x+1, por lo que hay
3 (105+x)= 10x+1,
7x=299999,
x=42857.
Respuesta: Estos seis El número de dígitos es 142857.
Nota: Hay dos puntos clave en esta solución:
Las investigaciones muestran que según las características de la pregunta, el método "holístico" de establecer elementos es muy distintivo.
(1) Bueno para analizar la relación cuantitativa entre números conocidos y números desconocidos en problemas (2) Es la conversión de la relación entre el lenguaje general y el lenguaje matemático formal. Por tanto, si quieres mejorar tu capacidad para resolver problemas de aplicaciones, debes trabajar duro en estos dos aspectos.
Ejemplo 2 Un equipo viaja a una velocidad de 1,4 m/s. Al final, un corresponsal informa algo al líder del pelotón, por lo que corre desde el final hacia el líder del pelotón a una velocidad de 2,6. m/s y regresa inmediatamente. * * * Fueron necesarios 10 minutos y 50 segundos. P: ¿Cuánto dura la fila?
Análisis: Se trata de "reencontrarse con el pasado". El corresponsal persigue desde el final hasta la cabeza, y la distancia entre él y la cabeza es la longitud del equipo. El regreso del corresponsal desde la cabeza hasta la cola es un problema de encuentro, y la distancia que recorre con la cola es la longitud; del equipo. Si al comunicador le toma X segundos ir del final a la cabeza, entonces al comunicador le toma (650-x) segundos ir de la cabeza a la cola. No es difícil hacer una ecuación como esta.
Solución: Supongamos que al periodista le toma x segundos ir desde el final de la fila hasta el frente.
2,6x-1,4x = 2,6(650-x)+1,4(650-x).
La solución es x = 500. Infiere que el líder del equipo es
(2.6-1.4)×500=600 (m).
a:La longitud del equipo es de 600 metros.
Nota: Hay dos formas de establecer incógnitas: una es establecer incógnitas directas, establecer lo que quieras y la otra es establecer incógnitas indirectas; Cuando sea difícil formular la ecuación directamente, establezca incógnitas indirectas relacionadas con los requisitos. Para problemas aplicados difíciles, suele ser más fácil formular ecuaciones eligiendo adecuadamente las incógnitas.
Ejemplo 3 En una pequeña carretera paralela a la vía férrea, un grupo de peatones y ciclistas viajaban hacia el sur al mismo tiempo. La velocidad del peatón era de 3,6 km/h y la del ciclista de 10,8 km/h cuando un tren venía detrás de ellos. El tren tardó 22 segundos en adelantar al peatón y al ciclista 26 segundos. ¿Cuál es la longitud total del tren?
Análisis: Esta pregunta es una pregunta de puesta al día. La velocidad de los peatones es 3,6 km/h = 1 m/s y la velocidad de los ciclistas es 10,8 km/h = 3 m/s. La longitud de la carrocería del tren es igual a la distancia entre la parte trasera del tren y la parte trasera del tren. peatón, y también es igual a la distancia entre la parte trasera del tren y el ciclista. Si se supone que la velocidad del tren es x metros/segundo, entonces la longitud de la carrocería del tren se puede expresar como (x-1)×22 o (x-3)×26, por lo que no es difícil formular la ecuación.
Solución: Supongamos que la velocidad de este tren es de x metros/segundo y haga una ecuación basada en el significado de la pregunta.
(x-1)×22=(x-3)×26.
La solución es x=14. Entonces la longitud del tren es
(14-1)×22=286 (m).
Azafato: La longitud total de este tren es de 286 metros.
Como se muestra en la figura, a lo largo de un cuadrado con una longitud de lado de 90 metros, en el sentido contrario a las agujas del reloj, A comienza desde A y camina 65 metros por minuto, y B comienza desde B y camina 72 metros por minuto. minuto. Cuando B alcanza por primera vez a A, ¿en qué lado del cuadrado se encuentra?
Análisis: Este es un problema de captura de bucle. Este tipo de problema puede considerarse primero como un problema de persecución en "línea recta", luego calcular el tiempo necesario para que B alcance a A y luego volver al "problema de persecución circular". Con base en la distancia recorrida por B durante este período, debemos calcular en qué lado del cuadrado se encuentra B.
Solución: Supongamos que B abandonó el punto X cuando alcanzó a A. Según el significado de la pregunta, A está delante de b.
3×90=270 (metros),
Entonces hay
72x=65x+270.
Porque este cuadrado tiene 90 metros de largo y tiene cuatro lados, por lo que
Se puede inferir que A y B deben estar en los bordes del cuadrado en este momento.
A: La primera vez que B alcanzó a A, fue en el lado del cuadrado de DA.
Ejemplo 5: Un barco viaja entre el Puerto A y el Puerto B, navega río abajo del Puerto A al Puerto B, y navega contra la corriente del Puerto B al Puerto B. Se sabe que cuando el barco está en agua estancada Cuando la velocidad es de 8 km/h, la relación de tiempo entre el movimiento hacia atrás y hacia adelante es de 2:1. Un día llovía mucho y ahora la velocidad es el doble que antes. El viaje en barco duró 9 horas. P: ¿Cuántos kilómetros hay entre el puerto A y el puerto B?
Análisis: Este es un problema de disparo en agua que fluye:
Velocidad aguas abajo = velocidad del agua estancada + velocidad del flujo de agua,
Velocidad del flujo = velocidad del agua estancada - velocidad del flujo de agua.
La clave para resolver este problema es encontrar primero la velocidad del flujo de agua.
Solución: suponga que la distancia entre el puerto A y el puerto B es de X kilómetros y que la velocidad actual original es de un kilómetro/hora. Según el significado de la pregunta, la relación entre la velocidad aguas arriba y la velocidad aguas abajo es 2: 1, es decir,
(8-a):8+a = 1:2,
Según el número de días de tormenta, cuando la velocidad del flujo de agua llega a 2a km/h, la solución es x=20.
R: La distancia entre el Puerto A y el Puerto B es de 20 kilómetros.
Ejemplo 6: Una escuela organizó a 150 profesores y alumnos para viajar al extranjero. Esta gente no puede salir hasta las 5 en punto. Para coger el tren, deberán llegar a la estación de tren a las 6:55. Sólo tienen un autobús con capacidad para 50 personas y viaja a 36 kilómetros por hora. La escuela está a 265.438+0 kilómetros de la estación de tren. Obviamente, viajaron todo el camino y no tuvieron tiempo, por lo que tuvieron que caminar mientras viajaban en el auto. Si puedes caminar 4 kilómetros por hora, ¿cómo deberías organizarlo para que todos puedan llegar a tiempo a la estación de tren?
Para llegar a la estación de tren, el tiempo de caminata y de viaje debe ser el mismo para todos. Si todos toman X, ¿puede el autobús terminar en 115 minutos?
Solución: Dividir a 150 personas en tres grupos, cada grupo tiene 50 personas. La velocidad al caminar es 4 km/h y la velocidad del auto es
La solución es x = 1,5 (horas), es decir, cada persona camina 90 minutos y monta en bicicleta 25 minutos. Tres grupos de personas partieron al mismo tiempo a las 5 en punto. El primer grupo de personas tomó un viaje de 25 minutos en autobús hasta el punto A, se bajó del autobús y caminó inmediatamente desde A, y se encontró con el segundo; grupo de personas a pie en B. Tomaron el autobús por 25 minutos, y el segundo grupo de personas tomó el autobús por 25 minutos. El grupo se bajó del autobús y caminó, y el autobús regresó inmediatamente. tercer grupo a pie, y luego fueron enviados directamente a la estación de tren.
No hay ningún problema en organizar que el primer y segundo grupo de personas lleguen a tiempo a la estación de tren. ¿Puede la tercera categoría de personas tomar el autobús durante 25 minutos? Debe calcularse.
El segundo tiempo de regreso del autobús es de 20 minutos, por lo que se puede calcular que el segundo tiempo de regreso del autobús debe ser de 20 minutos, por lo que cuando el autobús se encuentra con el tercer grupo de personas, el autobús tiene Ya se usaron 25 minutos × 2 + 20 × 2 = 90 (minutos) y 115-90 = 25 (minutos), que se pueden entregar al tercer grupo de personas a tiempo.
Por lo tanto, se puede organizar según el método anterior.
Nota: Después de resolver la ecuación, se puede arreglar caminando 90 minutos y tomando un autobús 25 minutos, pero el cálculo no se puede omitir porque afecta si el tercer grupo de personas puede llegar al estación a tiempo. Mediante cálculos sabemos que el tercer grupo de personas puede tomar el autobús durante exactamente 25 minutos y llegar a tiempo. Sin embargo, si el número de personas aumenta o la velocidad disminuye, aunque la ecuación se puede formular de manera similar, no hay garantía de que todos lleguen a tiempo a su destino.
En segundo lugar, introducir ecuaciones paramétricas para resolver problemas de aplicación.
Para problemas de aplicación con relaciones cuantitativas complejas o pocas condiciones conocidas, además de las incógnitas, también es necesario agregar algunas "suposiciones". sin buscar" Parámetros para facilitar la traducción de relaciones cuantitativas descritas en lenguaje natural a lenguaje algebraico, comunicar relaciones cuantitativas y crear condiciones para ecuaciones.
Ejemplo 7 Una persona camina por la carretera Cada 4 minutos un autobús lo encontrará de frente, y cada 6 minutos un autobús lo adelantará por detrás. Si las personas y los automóviles viajan a velocidad constante, ¿con qué frecuencia sale la parada del autobús?
Análisis: Parece que no es fácil encontrar una relación de igualdad en este problema. Caminar por la carretera y notar que alguien se encuentra con un automóvil que se aproxima es un problema de encuentro. La suma de las cuatro distancias entre una persona y un coche es exactamente la distancia entre dos autobuses que viajan en la misma dirección. Cada 6 minutos pasa un coche detrás de esta persona, es un problema de ponerse al día. La diferencia de distancia entre un coche y una persona en 6 minutos es exactamente la distancia entre dos coches.
Luego se introduce la velocidad constante desconocida como parámetro y se resuelve el problema.
Solución: Montamos una parada de autobús y asignamos autobuses cada x. La velocidad de las personas es v1 y la velocidad de los autobuses es v2.
De ① ②, obtenemos
Sustituye ③ en ① para obtener
Nota: esta pregunta introduce dos variables desconocidas v1 y v2, que se eliminan durante el cálculo. , es decir, la respuesta a esta pregunta no tiene nada que ver con la elección de los parámetros. Hay muchas soluciones a este problema. Consulte la Conferencia 26 de esta serie de lecciones de actividades de matemáticas de quinto grado.
La hierba crece igual de densa y con la misma rapidez en todo el pasto. Se sabe que 70 vacas comen pasto durante 24 días y 30 vacas necesitan 60 días. ¿Cuántas vacas se necesitarán para terminar todo el pasto del pasto en 96 días?
Análisis: ¿Cuál es la cantidad de pasto crudo en el pasto en esta pregunta? ¿Cuánta hierba puedes plantar cada día? En Niuyi, ¿cuánta hierba se come cada día? Si estas tres cantidades están representadas por los parámetros a, b, c, y el número de ganado a pedir es x, se pueden enumerar tres ecuaciones. Si se pueden eliminar a, b y c, el problema estará resuelto.
Solución: Supongamos que la cantidad original de pasto en todo el pasto es A, la cantidad de pasto que crece cada día es B y la cantidad de pasto que come una vaca todos los días es c. la hierba en el pasto en 96 días, habrá
②-①, obtendrá
36b=120C .④
③-②, sí
96xc=1800c +36b .⑤
Sustituye ④ en ⑤ para obtener
96xc=1800c+120c .
La solución es x =20.
R: Hay 20 vacas.
La carretera de A a B solo tiene pendientes de subida y bajada, no hay camino llano. El coche sube una cuesta a 20 kilómetros por hora y cuesta abajo a 35 kilómetros por hora. ¿Cuántos kilómetros tiene que recorrer un coche cuesta arriba desde el punto A al punto B?
Solución: El camino cuesta arriba de A a B es el camino cuesta abajo de B a A; el camino cuesta abajo de A a B es el camino cuesta arriba de B a A. Supongamos que el camino cuesta arriba de A a B es x kilómetros y el camino de bajada es y kilómetros.
①+②, obtiene
Sustituye y = 210-x en ① y obtiene
La solución es x = 140.
Respuesta: La carretera entre A y B tiene 210 kilómetros y se necesitan 140 kilómetros de camino cuesta arriba de A a B...
3.
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Algunos problemas de aplicación se resuelven utilizando ecuaciones algebraicas y, a veces, hay más incógnitas que las ecuaciones enumeradas. En este caso, la ecuación se llama ecuación indefinida. En este momento, la ecuación tiene múltiples soluciones, es decir, la solución no es única. Pero preste atención a los requisitos de solución de la pregunta. A veces, sólo se necesitan unas pocas soluciones o soluciones individuales.
Ejemplo 10 La clase 6 (1) realizó una prueba de matemáticas, utilizando un sistema de puntuación de cinco puntos (5 puntos es el más alto, 4 puntos es el segundo, y así sucesivamente). La puntuación media de los niños es 4, la puntuación media de las niñas es 3,25 y la puntuación media de toda la clase es 3,6. Si hay más de 30 estudiantes en la clase pero menos de 50 estudiantes, ¿cuántos niños y niñas tomaron el examen?
Solución: Supongamos que hay x niños e y niñas en esta clase, entonces hay
4x+3.25y=3.6(x+y),
Después de simplificar, obtenemos 8x=7y. Entonces hay estudiantes en toda la clase.
Entre los números naturales mayores que 30 y menores que 50, sólo 45 puede ser divisible entre 15, por lo que
Infiere que x = 21 e y = 24.
a: Hay 21 niños y 24 niñas en esta clase.
Ejemplo 11 Xiao Ming juega el juego del ring. La gallina en el ring obtiene 9 puntos, el mono en el ring obtiene 5 puntos y el perro en el ring obtiene 2 puntos. Xiao Ming * * * lo configuró 10 veces y quedó atrapado cada vez. Cada juguete pequeño quedó atrapado al menos una vez. Xiao Ming lo configuró 10 veces * * y obtuvo 61 puntos. Pregunta: ¿Xiao Ming puede atrapar pollos como máximo una vez?
Solución: Si la gallina queda atrapada x veces, el mono queda atrapado y veces y el cachorro queda atrapado (10-x-y) veces. Según la ecuación contable de 61 fracciones
9x+5y+2(10-x-y)=61,
se simplifica a 7x = 41-3y.
Obviamente, cuanto menor es y, mayor es x. Sustituyendo y=1, obtenemos 7x=38, que no tiene solución entera; si y=2, 7x=35, la solución es x=5;
Respuesta: Xiao Ming puede atrapar al pollo hasta cinco veces.
Ejemplo 12 Una empresa de costura tiene cuatro grupos A, B, C y D. El grupo A puede coser 8 blusas o 10 pares de pantalones cada día.
El grupo B puede coser 9 blusas o 12 pares de pantalones por día; el grupo C puede coser 7 blusas o 11 pares de pantalones por día; el grupo D puede coser 6 blusas o 7 pares de pantalones por día. La chaqueta y los pantalones ahora estarán cosidos juntos (cada conjunto es una chaqueta y un par de pantalones). P: ¿Cuántos conjuntos de ropa pueden coser estos cuatro grupos en 7 días?
Análisis: No se puede ordenar la producción en función únicamente de la cantidad de chaquetas o pantalones. Considere la eficiencia de cada grupo en la producción de chaquetas y pantalones y organice la producción con combinación.
Lo primero que hay que explicar es que las personas que son eficientes en la confección de abrigos deben organizarse para hacer más abrigos, y las personas que son eficientes en la confección de pantalones deben organizarse para hacer más pantalones, de modo que la mayor cantidad de conjuntos de ropa se puede hacer.
En términos generales, suponiendo que el grupo A puede coser la camisa de a1 o los pantalones de b1 todos los días, su proporción es que, bajo la condición de que el grupo A haga tantas camisas como sea posible y el grupo B haga tantos pantalones como sea posible, el acuerdo Apoyo a la producción. Esto es muy eficiente, por lo que estos dos grupos están organizados para producir un producto en estos siete días.
Si el grupo A produce chaquetas para x días y pantalones para 7-x días, y el grupo B produce chaquetas para y días y pantalones para 7-y días, entonces los cuatro grupos producen 6× 7+8x+ 9y respectivamente (piezas) y 11×7+65438 chaquetas y pantalones. Según el significado de la pregunta, obtenga
42+8x+9y = 77+70-10x+84-12y,
Supongamos u = 42+8x+9y, entonces
Obviamente, cuanto mayor es x, mayor es u. Por lo tanto, cuando x=7, el valor máximo de u es 125 y el valor de y es 3.
Respuesta: A los grupos A y D se les asignó producir chaquetas en 7 días, al grupo C hacer pantalones en 7 días y al grupo B hacer chaquetas en 3 días y pantalones en 4 días, por lo que produjeron el mayor número de conjuntos, un total de 125 conjuntos.
Nota: Este problema todavía consta de dos incógnitas y una ecuación, y es imposible tener una solución definitiva. En este problema, el número de conjuntos es el mayor, que es esencialmente el valor máximo de una "función univariada" dentro de un cierto rango. Tenga en cuenta el motivo para obtener el valor máximo.