1. Concepto de recta mediana:
(1) Definición de recta mediana de un triángulo: El segmento de recta que conecta los puntos medios de ambos lados de un triángulo se llama recta mediana de a. triángulo.
(2) Definición de la línea mediana de un trapezoide: El segmento de línea que conecta los puntos medios de las dos cinturas del trapezoide se llama línea mediana del trapezoide.
Nota:
(1) Es necesario distinguir la línea media del triángulo de la línea media del triángulo. La mediana de un triángulo es un segmento de recta que conecta un vértice con el punto medio de su lado opuesto, mientras que la mediana de un triángulo es un segmento de recta que conecta los puntos medios de ambos lados de un triángulo.
(2) La línea mediana de un trapecio es el segmento de línea que conecta los puntos medios de las dos cinturas en lugar del segmento de línea que conecta los puntos medios de las dos bases.
(3) La conexión entre las dos definiciones de la línea mediana: el triángulo puede considerarse como un trapezoide cuando la parte superior e inferior son cero. En este momento, la línea mediana del trapezoide se convierte en la mediana. línea del triángulo.
2. Teorema de la recta mediana:
(1) Teorema de la recta mediana del triángulo: La recta mediana de un triángulo es paralela al tercer lado e igual a la mitad del mismo.
(2) El teorema de la línea mediana de un trapezoide: La línea mediana de un trapezoide es paralela a las dos bases e igual a la mitad de la suma de las dos bases.
La recta mediana es un segmento de recta importante en triángulos y trapecios. Debido a sus propiedades, está estrechamente relacionada con el punto medio y las rectas paralelas del segmento de recta. Por lo tanto, tiene una amplia gama de aplicaciones. el cálculo y demostración de figuras geométricas.
El ejemplo 1 se muestra en la Figura 2-53. En △ABC, AD⊥BC es el área de D, E, F, △ABC.
Análisis Según las condiciones, EF y EG son las rectas medianas del triángulo ABD y del triángulo ABC respectivamente. Utilizando las propiedades de la línea mediana y las relaciones cuantitativas dadas en las condiciones, no es difícil encontrar la altura AD de △ABC y la longitud de la base BC.
La solución es conocida, E y F son los puntos medios de AB y BD respectivamente, por lo que EF es una recta del punto medio de △ABD, por lo que
Por la condición AD+EF= 12 (cm),
EF=4 (cm),
Por lo tanto AD=8 (cm),
Dado que E y G son AB y AC respectivamente. punto medio de , entonces EG es una línea media de △ABC, entonces
BC=2EG=2×6=12 (cm),
Obviamente, AD está en BC High, entonces
El ejemplo 2 se muestra en la Figura 2-54. En △ABC, las bisectrices BE y CF de ∠B y ∠C se cruzan en O, AG⊥BE en G y AH⊥CF en H.
(1) Demuestre: GH∥BC;
(2) Si AB=9 cm, AC=14 cm, BC=18 cm, encuentre GH.
Análisis Si AG se extiende, supongamos que la línea de extensión corta a BC en M. A partir de la simetría de la bisectriz del ángulo, se puede demostrar que △ABG≌△MBG, por lo que G es el punto medio de AM de manera similar, si AH se extiende para cruzar a BC en N, H es el punto medio de AN, por lo que GH es el; línea mediana de △AMN, por lo que GH∥BC; además, la longitud de GH se puede encontrar usando las longitudes de los tres lados de △ABC.
(1) Demuestre que AG se extiende respectivamente y AH cruza BC hacia M y N. En △ABM, se sabe que BG biseca a ∠ABM y BG⊥AM, por lo que
△ ABG≌△MBG(ASA)．
Así, G es el punto medio de AM. Se puede demostrar de la misma manera
△ACH≌△NCH(ASA),
Por lo tanto, H es el punto medio de AN. Por lo tanto, GH es la línea mediana de △AMN, por lo tanto, HG∥MN, es decir,
HG∥BC.
La solución a (2) es de (1), △ABG≌△MBG y △ACH≌△NCH, entonces
AB=BM=9 cm, AC=CN= 14 cm.
Y BC=18 centímetros, entonces
BN=BC-CN=18-14=4 (cm),
MC=BC-BM=18 -9=9(cm)．
Por lo tanto
MN=18-4-9=5 (cm),
Explicación (1) En el proceso de probar esta pregunta, en realidad probamos El teorema inverso del teorema de la propiedad: "Si la bisectriz de un ángulo de un triángulo es también la perpendicular al lado opuesto de la línea del ángulo, entonces esta bisectriz también es la línea media del lado opuesto, y este triángulo es
"Triángulo isósceles".
(2) La siguiente proposición inversa del "Teorema de las tres rectas de un triángulo isósceles" también es correcta: "Si la bisectriz de un ángulo de un triángulo es también la línea media de el lado opuesto al ángulo, entonces Este triángulo es un triángulo isósceles y esta bisectriz es perpendicular al lado opuesto". Es posible que los estudiantes deseen probarlo ellos mismos.
(3) Del proceso de prueba de esta pregunta , nos inspiramos: si la condición "∠B, la bisectriz de ∠C" se cambia a "la bisectriz del ángulo exterior de ∠B (o ∠C) y ∠C (o ∠B)" (como se muestra en la Figura 2-55), o a "la bisectriz de ∠B, ∠C "Bisectriz del ángulo exterior" (que se muestra en la Figura 2-56), y otras condiciones permanecen sin cambios, entonces la conclusión GH∥BC aún se mantiene. Es posible que los estudiantes también deseen pruébelo.
Ejemplo 3 Como se muestra en la Figura 2-57, P es un punto dentro del rectángulo ABCD, el cuadrilátero BCPQ es un paralelogramo y A′, B′, C′ y D′ son los puntos medios de AP, PB, BQ y QA respectivamente. Verifique: A. ′C′=B′D′ Análisis: Dado que A′, B′, C. ′ y D′ son respectivamente los puntos medios de los cuatro lados AP, PB, BQ y QA del cuadrilátero APBQ. Los estudiantes experimentados saben que A′B′C′D′ es un paralelogramo y A′C′ y B′ D′ son sus diagonales, por lo que el cuadrilátero A′B′C′D′ debe ser un rectángulo. Utilice ABCD para ser un rectángulo. No es difícil demostrarlo.
Demuestre que conecta A. ′B′, B′C′, C′D′, D′A′, estos cuatro segmentos de línea son △APB, △BPQ, △AQB, la línea mediana de △APQ. ′B′∥AB, B′C′∥PQ,
C′D′∥AB, D′A′∥PQ ,
Entonces, A′B′C′D ′ es un paralelogramo Como ABCD es un rectángulo, PCBQ es un paralelogramo, entonces
AB⊥BC, BC∥PQ
AB⊥PQ,<. /p>
Entonces A′B′⊥B′C′,
Entonces el cuadrilátero A′B′C′ D′ es un rectángulo, entonces
A′C ′=B′D′. ①
Muestra que en el proceso de resolución de problemas, la experiencia de las personas a menudo puede desencadenar asociaciones y abrir ideas, por ejemplo, en el análisis. En esta pregunta, la experiencia de que "la línea que conecta los puntos medios de los cuatro lados de un cuadrilátero es un paralelogramo" juega un papel importante en la búsqueda de ideas. Por lo tanto, preste atención al resumen y la acumulación de experiencia, lo que mejorará el análisis de. el problema. y la capacidad de resolución de problemas son muy beneficiosos.
El ejemplo 4 se muestra en la Figura 2-58. En el cuadrilátero ABCD, CD>AB, E y F son los puntos medios de AC y BD, respectivamente. :
En el análisis de la relación desigual de los polígonos, es fácil llevar a la gente a pensar que los lados del triángulo no tienen la forma para formar la línea mediana. Por esta razón, tome el punto medio AD <. /p>
Demostración. Tome el punto medio G de AD y conecte EG y FG. En △ACD, EG es su punto medio (se sabe que E es el punto medio de AC), entonces
Para. Por la misma razón, F y G respectivamente son el punto medio de BD y AD, por lo tanto, FG es la línea mediana de △ABD, entonces
En △EFG,
EF>EG- FG. ③
De ①, ②, ③
El ejemplo 5 se muestra en la Figura 2-59. En el trapecio ABCD, AB∥CD, E es el punto medio de BC, AD=DC+AB. Verificar: DE⊥AE.
Análisis Esta pregunta equivale a demostrar que △AED es un triángulo rectángulo, donde ∠AED=90°.
Inspirado en el hecho de que el punto E (es decir, el vértice rectángulo de un triángulo rectángulo) es el punto medio de un trapezoide, se añade la línea mediana del trapezoide como línea auxiliar. Si se puede demostrar, la línea mediana es el triángulo rectángulo AED. Si es la mitad de la hipotenusa (es decir, el otro lado del trapezoide), el problema está resuelto.
Certificamos que el punto medio F de la otra cintura AD del trapecio está conectado a EF, entonces EF es la línea mediana del trapezoide ABCD, entonces
Porque AD=AB+CD , entonces
p>
Así
∠1=∠2, ∠3=∠4,
Entonces ∠2+∠3=∠1 +∠4=90°(△ADE La suma de los ángulos interiores es igual a 180°). Por lo tanto
∠AED=∠2+∠3=90°,
Entonces DE⊥AE.
El ejemplo 6 se muestra en la Figura 2-60. Una línea recta l, D, E, F fuera de △ABC tiene tres lados respectivamente.
El punto medio AA1, FF1, DD1 y EE1 son todos perpendiculares a A1, F1, D1 y E1. Verificar:
AA1+EE1=FF1+DD1．
Análisis Obviamente ADEF es un paralelogramo El punto de intersección O de las diagonales biseca a las dos diagonales OO1 es exactamente la línea mediana común de los dos trapecios. Se puede demostrar utilizando el teorema de la línea mediana.
Certificado para conectar EF, EA, ED. Según el teorema de la línea mediana, EF∥AD, DE∥AF, entonces ADEF es un paralelogramo y sus diagonales AE y DF se bisecan entre sí. Supongamos que se cruzan en O y dibuja OO1⊥l en O1, entonces OO1 es un trapezoide. AA1E1E y la línea media común *** de FF1D1D, es decir, AA1+EE1=FF1+DD1.
Ejercicio 14
1. Se sabe que en △ABC, D es el punto medio de AB, E es un punto en AC, AE=2CE, CD y BE se cruzan en el punto O, OE=2 cm. Encuentra la longitud de BO.
2. Se sabe que en △ABC, BD y CE son las bisectrices de ∠ABC y ∠ACB respectivamente, AH⊥BD está en H y AF⊥CE está en F. Si AB=14 cm, AC=8 cm, BC=18 cm, encuentre la longitud de FH.
3. Se sabe que en △ABC, AB>AC, AD⊥BC en D, E, F y G son los puntos medios de AB, BC y AC respectivamente. Demuestre: ∠BFE=∠EGD.
4. Como se muestra en la Figura 2-61. En el cuadrilátero ABCD, AD=BC, E y F son los puntos medios de CD y AB respectivamente. Extiende AD y BC, y corta las líneas de extensión de FE en H y G respectivamente. Demuestre: ∠AHF=∠BGF.
5. En △ABC, AH⊥BC se encuentra en H, D, E y F, que son los puntos medios de BC, CA y AB respectivamente (como se muestra en la Figura 2-62). Demuestre: ∠DEF=∠HFE.
6． Como se muestra en la Figura 2-63. D y E están respectivamente en AB y AC. Los puntos medios de BD=CE, BE y CD son M y N respectivamente. La línea recta MN corta a AB y AC respectivamente en P y Q. Verificar: AP=AQ．
7. Se sabe que en el cuadrilátero ABCD, AD>BC, E y F son AB y CD respectivamente