Demostración del teorema del límite medio de Cauchy

Se puede ver de xn→A(n→∞) que la secuencia {xn} está acotada, es decir, hay un número positivo m tal que

|xn|≤M

Y para cualquier Dado ε>0, ¿hay un número entero positivo n? , cuando n >>;

n? A veces, a veces

| xn-A | lt;ε

|(x? x? ... xn)/n-A|

=1 /n *|

x? ¿incógnita? ... xn

–n * A |

=1/n*|(

x? x? ... x{N?}- N? *A)

(x{N? 1}-A)

(x{N? 2}-A) ...

( xn-A)

|

≤1/n * |

x? |

x? |... |x{norte? }

|

n? *|A|)

1/n*(|

x{

n? 1}-A

| |

x{

n?2}-A

|... |

xn-A

|)

≤1/n*(

n?*

M

n?*A)

1/n*(n-

n?)*ε

lt

n? /n(M A) ε

Tomar n? =[N? /ε], N=máx{

n? ,

n? }, entonces cuando n gtn veces

|(x? x? ... xn)/n-A lt; (M A)*ε ε=(M A 1)*ε

Entonces hay lim{n→∞}(x? x? ... xn)/n=A

Nota: ¿Cuándo n gtn, n gt

n? , es decir, n≥[N? /ε] 1 gt;

n? /ε, entonces n? /nlt；ε