Teoría de la probabilidad
Rama de las matemáticas que estudia las leyes cuantitativas de los fenómenos aleatorios. Los fenómenos aleatorios son relativos a los fenómenos deterministas. El fenómeno de que un determinado resultado ocurrirá inevitablemente bajo ciertas condiciones se llama fenómeno decisivo. Por ejemplo, bajo presión atmosférica estándar, si el agua pura se calienta a 100°C, inevitablemente hervirá. El fenómeno aleatorio se refiere al fenómeno en el que, bajo las mismas condiciones básicas, una serie de experimentos u observaciones producirán resultados diferentes. Antes de cada experimento u observación, no se sabe cuáles serán los resultados, lo que demuestra el azar. Por ejemplo, cuando se lanza una moneda, puede salir cara o cruz. La vida útil de las bombillas producidas en las mismas condiciones de proceso es desigual. La realización de fenómenos aleatorios y su observación se denominan experimentos aleatorios. Cada resultado posible de una prueba aleatoria se denomina evento básico, y un evento básico o un grupo de eventos básicos se denomina colectivamente evento aleatorio o simplemente evento. La probabilidad de un evento es una medida de la probabilidad de que ocurra un evento. Aunque la ocurrencia de un evento en un experimento aleatorio es accidental, aquellos experimentos aleatorios que pueden repetirse en grandes cantidades bajo las mismas condiciones a menudo muestran patrones cuantitativos obvios. Por ejemplo, si lanza una moneda par varias veces seguidas, a medida que aumenta el número de lanzamientos, la frecuencia de aparición de caras tenderá gradualmente a ser 1/2. Para otro ejemplo, cuando la longitud de un objeto se mide varias veces, a medida que aumenta el número de mediciones, el valor promedio de los resultados de la medición se estabiliza gradualmente en una constante. La mayoría de los valores de medición caen alrededor de esta constante y la distribución. muestra cierto grado de simetría. La ley de los grandes números y el teorema del límite central describen y demuestran estas leyes. En la vida real, la gente suele necesitar estudiar la evolución de un fenómeno aleatorio específico. Por ejemplo, las partículas diminutas de un líquido chocan aleatoriamente con las moléculas circundantes para formar un movimiento irregular (movimiento browniano), que es un proceso aleatorio. Las características estadísticas de los procesos aleatorios, el cálculo de la probabilidad de ciertos eventos relacionados con procesos aleatorios, especialmente el estudio de cuestiones relacionadas con la trayectoria muestral de procesos aleatorios (es decir, la realización única del proceso), son las principales Temas de la teoría de probabilidad moderna. La teoría de la probabilidad está estrechamente relacionada con la vida real y se utiliza ampliamente en las ciencias naturales, las ciencias técnicas, las ciencias sociales, la producción militar y industrial y agrícola.
El origen de la teoría de la probabilidad está relacionado con el juego. En el siglo XVI, los eruditos italianos comenzaron a estudiar algunos problemas simples del juego, como los dados. A mediados del siglo XVII, los matemáticos franceses B. Pascal, P. de Fermat y el matemático holandés C. Huygens estudiaron algunos problemas complejos del juego basados en métodos de permutación y combinación y resolvieron el problema de dividir las apuestas y de la pérdida de dinero de los jugadores. Con el desarrollo de la ciencia en los siglos XVIII y XIX, la gente notó algunas similitudes entre algunos fenómenos biológicos, físicos y sociales y los juegos de azar, por lo que la teoría de la probabilidad originada a partir de los juegos de azar se aplicó a estos campos. Al mismo tiempo, también promovió en gran medida el desarrollo de la propia teoría de la probabilidad. El fundador de la teoría de la probabilidad como rama de las matemáticas es el matemático suizo J. Bernoulli. Estableció el primer teorema del límite en la teoría de la probabilidad, a saber, la ley de los grandes números de Bernoulli, y explicó cómo ocurren los eventos: la probabilidad de que aquí se estabilice la frecuencia. Luego A. de de moivre y p s laplasse derivaron la forma original del segundo teorema del límite fundamental (el teorema del límite central). Laplace escribió la "Teoría de la probabilidad analítica" basada en un resumen sistemático de trabajos anteriores, que dio una definición clásica clara de probabilidad, introdujo herramientas analíticas más poderosas en la teoría de la probabilidad y llevó la teoría de la probabilidad a una nueva etapa de desarrollo. A finales de 1919, los matemáticos rusos P.L. Chebyshev, A.A. Markov, A.M. Lyapunov y otros utilizaron métodos analíticos para establecer la forma general de la ley de los grandes números y el teorema del límite central, explicando científicamente por qué en la práctica muchas variables aleatorias obedecen aproximadamente. una distribución normal. Estimulados por la física a principios del siglo XX, la gente comenzó a estudiar los procesos estocásticos. En este sentido, Andrei Kolmogorov, Weiner, Markov, Hinchin, Levi y Ferrer han realizado contribuciones destacadas.
Cómo definir la probabilidad y cómo basar la teoría de la probabilidad en una base lógica estricta son dificultades en el desarrollo de la teoría de la probabilidad. La exploración de este problema ha durado tres siglos. La medida de Lebesgue y la teoría integral completadas a principios del siglo XX, así como la medida abstracta y la teoría integral desarrolladas más tarde, sentaron las bases para el establecimiento del sistema de axiomas de la teoría de la probabilidad. En este contexto, el matemático soviético Andrei Kolmogorov dio por primera vez la definición de teoría de la medida y un sistema de axiomas estrictos de probabilidad en su libro "Fundamentos de la teoría de la probabilidad" en 1933. Su método axiomático se convirtió en la base de la teoría de la probabilidad moderna, convirtiéndola en una rama rigurosa de las matemáticas y desempeñando un papel positivo en el rápido desarrollo de la teoría de la probabilidad.