Las seis fórmulas básicas de la desigualdad de Cauchy se derivan de la siguiente manera:
1. Producto interno de los vectores: El producto interno de los vectores a y b se puede expresar como: a, b? =∣∣a ∣∣?∣∣b∣∣?cos(θ)
Donde, θ representa el ángulo entre los vectores a y b.
2. Norma del vector: La norma del vector a se puede expresar como:
∣∣a∣|=√(?a, a?)
3. Norma cuadrática: La norma cuadrática del vector a se puede expresar como:
∣∣a∣∣2=?a, a?
4. vectores: El coseno del ángulo entre dos vectores a y b.
5. La forma básica de la desigualdad de Cauchy: Según la fórmula del coseno del ángulo incluido, podemos obtener la forma básica de la desigualdad de Cauchy:
∣∣?a, b?∣≤∣ ∣a∣∣?∣∣b∣∣
Esta desigualdad nos dice que el valor absoluto del producto interno de dos vectores no excederá el producto de sus normas.
6. Derivación: Ahora, derivemos la forma básica de la desigualdad de Cauchy.
Primero, consideremos un número real t. Podemos sumar los vectores a y t * b y calcular su norma cuadrática:
∣∣a?t?b∣∣ 2
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Según la definición de norma cuadrada, tenemos:
∣∣a?t?b∣∣2=?a?t?b, a?t?b?
Usando la propiedad lineal del producto interno, la fórmula anterior se puede expandir a: a?t?b, a?t?b?=?a, a?2?t?a, b?t2?b? , b?
A continuación, considere la función f(t) = ||a - t * b||^2, podemos ver que es una función cuadrática de t. Para obtener el valor mínimo de f(t), podemos tomar la derivada y hacerla igual a cero:
f′(t)=?2?a, b?2?t? b, b?=0
Esta desigualdad tiene amplias aplicaciones en espacios de productos internos y se utiliza para demostrar la ortogonalidad de vectores, la relación de proyección entre vectores, etc. Es un resultado fundamental importante en álgebra lineal.