Estructura de enseñanza
1. Números positivos y negativos
Sabemos que los números que ya conocemos en matemáticas están abstraídos de la práctica social de . Los números enteros positivos, las fracciones positivas y el cero aprendidos en la escuela primaria representan una determinada cantidad. La introducción de números positivos y negativos se debe a que hay una gran cantidad de cantidades con significados opuestos en la vida real y las situaciones opuestas no se pueden expresar claramente utilizando los números aprendidos en la escuela primaria. Por ejemplo, a cierta hora de un día determinado, la temperatura en la ciudad A es de 10 ℃ por encima de cero y la temperatura en la ciudad B es de -10 ℃. La diferencia de temperatura entre los dos lugares no se puede describir solo con "10". Para otro ejemplo, A camina 5 kilómetros al norte y B camina 5 kilómetros al sur. Esta distancia "5" no puede describir las direcciones de A y b. Llamamos a las dos cantidades opuestas "X grados sobre cero y X grados bajo cero" y "5 kilómetros al norte y 5 kilómetros al sur" como "5". Si una cantidad con un significado se define como una cantidad positiva, otra cantidad con el significado opuesto se define como una cantidad negativa. Si "10 ℃ por encima de cero se define como más 10 ℃, entonces menos 10 ℃ es menos 10 ℃. Elimina las unidades de cantidades positivas y negativas y obtendrás el concepto de números positivos y negativos. Los números mayores que 0 se llaman 5 , 1,5, 10, 9840 es un número positivo. Los números precedidos por un "-" (leído como un número negativo), como -5, -1,5, -10, -9840, se denominan números negativos. delante de un número positivo se puede ignorar. p>
¿Existe una situación como "ni arriba ni abajo" o "ni norte ni sur" en la cuestión de cantidades con significados opuestos? El punto entre "cantidad positiva" y "cantidad negativa" no es ni correcto ni incorrecto. No es irresponsable, debería representarse por el "cero" que aprendimos en la escuela primaria. Entonces el cero no es ni positivo ni negativo. números negativos y es el único número neutro verdadero. En el pasado, cero significaba "nada". Después de aprender el significado opuesto, sabemos que todavía tiene un rico significado práctico. Por ejemplo, 0 ℃ no significa que no haya temperatura. pero una temperatura fija como el punto de congelación.
Aunque hay muchas cantidades con significados opuestos, no todas las cantidades pueden tener significados opuestos. Por ejemplo, "el camino tiene 2 metros de ancho". tienen el significado opuesto.
Cabe señalar que los símbolos "+" en la escuela primaria, "-" son solo símbolos para sumas y restas, como números positivos y negativos, "+" y ". Los símbolos -" también son símbolos naturales de los números.
Llamamos números enteros positivos y fracciones positivas aprendidas en la escuela primaria. Números racionales. Sumar un signo negativo antes de un entero positivo da un entero negativo. Enteros negativos y fracciones negativas se denominan colectivamente números racionales negativos. Los números racionales positivos y el cero se denominan colectivamente números racionales. 0 también se denomina número no negativo
Entero positivo (número natural)
Número racional positivo. fracción positiva
Número racional cero
Número racional negativo entero negativo
Fracciones negativas
Los números racionales también se pueden clasificar de la siguiente manera:
Enteros positivos (números naturales)
Entero cero
Números racionales enteros negativos
Fracciones fracciones positivas
Fracciones negativas
Es decir, "los números enteros y las fracciones se denominan colectivamente números racionales". Cabe señalar que, a veces, para la investigación, los números enteros también se pueden considerar como fracciones con un denominador de 1. En este caso, las fracciones incluyen números enteros.
También preste atención a la relación entre decimales y fracciones: las fracciones se pueden convertir en decimales (los decimales finitos o los decimales infinitamente recurrentes pueden ser decimales); dividido en componentes, que son todos números racionales. Los decimales infinitamente recurrentes no son fracciones, no son números racionales, como π
2. encontrar equipos de medición digitales, como básculas, termómetros, básculas, etc. Marcar números en objetos tan rectos nos dará más investigación.
Para etiquetar números racionales en línea recta, primero determine el. posición del cero, el punto divisorio entre números positivos y negativos, que se llama origen. Luego especifica la dirección positiva y la unidad. Esto da como resultado una línea recta que se puede marcar con números racionales.
La línea recta que define el origen, la dirección positiva y la longitud unitaria se llama eje numérico. Como
-2-1 0 1 2(A)1 0-1(B)
1
0 grados Celsius
- 1
Todos son ejes. Pero se acostumbra dibujar una figura (a) y trazar una línea recta horizontalmente, estipulando que la dirección de izquierda a derecha es la dirección positiva.
(La dirección derecha desde el origen es la dirección positiva y la dirección izquierda desde el origen es la dirección negativa), es decir, el número a la derecha del origen representa positivo, el número a la izquierda del origen representa negativo, y el origen representa cero. Debes recordar que el origen, la dirección positiva y la unidad de longitud son los tres elementos del eje numérico, y uno de los tres es indispensable.
La introducción del eje numérico conecta números con puntos en el gráfico. Todos los números racionales se pueden representar mediante puntos en el eje numérico, que es una combinación de números y formas. La combinación de números y formas es un método importante para aprender matemáticas.
3. Números inversos
Las distancias entre las imágenes 2 y -2 al origen del eje numérico son las mismas. Sólo los signos difieren, por eso llamamos a estos dos números recíprocos.
Si sólo hay dos números con signos diferentes, decimos que uno es opuesto al otro. El antónimo de 0 es 0.
Al observar la posición de las antípodas en el eje numérico, encontramos que cada conjunto de antípodas está a ambos lados del origen, y la distancia al origen es la misma, pero con diferentes signos. De esta forma se obtiene el significado geométrico del recíproco:
A ambos lados del origen en el eje numérico, los dos números representados por dos puntos a la misma distancia del origen se llaman recíprocos. El recíproco de 0 es cero.
En términos generales, el recíproco del número a es -a, donde a representa cualquier número, que puede ser un número positivo, un número negativo o 0. Por ejemplo, cuando a=+7, -a =-7, porque el inverso de 7 es -7. Cuando a =-5, -A =-(-5) a=-5, porque el inverso de -5 es 5. Cuando a=0, -a =-0 = 0, porque el recíproco de 0 es 0.
4. Valor absoluto
Desde la perspectiva del eje numérico (es decir, el significado geométrico de valor absoluto), el valor absoluto de un número A es la distancia entre los puntos. representando el número A en el eje numérico y la distancia al origen. El valor absoluto de un número a se denota |a|.
A partir del significado geométrico de los valores absolutos anteriores, es fácil saber que |2|=2, |-2 = 2, |0|=0. La descripción en lenguaje escrito es:
El valor absoluto de un número positivo es él mismo; el valor absoluto de un número negativo es su recíproco;
Expresamos la relación anterior con una fórmula, a saber
a(a & gt; 0)a(a≥0)a(a & gt; 0 )
|a|= 0 (a=0) o |a|= o |a|=
-a(a & lt; 0)-a(a & lt; 0 ) -a ( a≤0)
Estudiando el valor absoluto desde los tres ángulos diferentes anteriores, encontramos que el valor absoluto de un número racional no puede ser un número negativo, pero puede ser un número positivo o 0, es decir, el valor absoluto es un número no negativo.
5. Comparación de números racionales
A partir del tamaño de los números racionales positivos, podemos saber que "de los dos números representados en el eje numérico, el número de la derecha siempre es el mayor que el número de la izquierda." Por lo tanto, se estipula que "el número en el eje numérico El número representado por el punto superior derecho es mayor que el número representado por el punto izquierdo "
Según. Según esta regla, podemos saber que los números positivos son mayores que 0; los números negativos son menores que 0;
La magnitud de dos números positivos ya la conocemos en la escuela primaria. Aunque podemos determinar el tamaño comparativo de dos números negativos en función de sus posiciones en el eje numérico, queremos convertirlos en números positivos para compararlos, lo que simplificará el cálculo. Por ejemplo, |-3 | = 3, |-2 | = 2, porque 3 > 2, entonces |-3 | > |-2 | Puntos clave para resolver el problema
Ejemplo (1) Si el nivel del agua del depósito aumenta 5 cm, se registra como +5 cm, y luego el nivel del agua baja 3 cm, ¿qué se registra? ¿Qué significa una subida de -2 cm?
Análisis: debido a que la subida y bajada del nivel del agua son cantidades opuestas, se sabe que un aumento de 5 cm se registra como +5 cm, y una caída de 3 cm en el nivel del agua debe registrarse como -3 cm. . Un aumento de -2 cm significa que el nivel del agua bajó 2 cm.
Solución: El nivel del agua baja 3 cm, registrado como -3 cm. Un aumento de -2 cm significa que el nivel del agua bajó 2 cm.
Ejemplo (2) Determine si es verdadero o falso (lo correcto se representa con "√", lo incorrecto se representa con "×").
1. 10 m hacia adelante y 10 m hacia la derecha son cantidades opuestas.
Un gasto de 2,8 yuanes es lo opuesto a un ingreso de 100 yuanes.
3. Caminar 15 km hacia el este y caminar 1 km hacia el oeste son cantidades opuestas.
4. Un aumento del precio de un artículo de 25 yuanes es exactamente lo opuesto a una disminución del precio de 20 yuanes.
Análisis: En la pregunta 1, caminar 10 m hacia adelante y caminar 10 m hacia la derecha son la misma cantidad, pero adelante y hacia la derecha no pueden considerarse cantidades opuestas. En las preguntas segunda y tercera, el gasto y el ingreso son cantidades opuestas para Oriente y Occidente, son la misma cantidad. Aunque el aumento y la disminución de la pregunta 4 tienen significados opuestos, no son la misma cantidad y no pueden considerarse cantidades opuestas.
Solución: 1.×; 2.√; 3.√; 4.×
Pregunta: ¿Cuáles son las características de las cantidades con significados opuestos?
El número de antónimos debe tener dos características: ① antónimos; ② la misma cantidad.
Ejemplo (3) Utilice números positivos y negativos para representar los siguientes grupos de cantidades con significados opuestos y señale sus puntos de división.
1.400 metros sobre el nivel del mar y 256 metros sobre el nivel del mar.
2. 44 grados de latitud norte y 33 grados de latitud sur.
Análisis: Generalmente, utilizamos números positivos para representar la altitud y números negativos para representar alturas bajo el nivel del mar. Aunque también podemos expresar la altura bajo el nivel del mar como un número positivo.
Solución: 1. Si utiliza un número positivo para expresar la altitud, entonces 400 metros sobre el nivel del mar significa +400 metros o 400 metros, y 256 metros sobre el nivel del mar significa -256 metros. El nivel del mar es su punto divisorio, representado por 0 metros.
2. Si se utiliza un número positivo para representar el grado de latitud norte, entonces 44 grados de latitud norte significan +44 grados o 44 grados, y 33 grados de latitud sur significan -33 grados. El ecuador es su punto divisorio, representado por la línea de latitud 0 grados.
Ejemplo (4) Complete los siguientes números entre las llaves correspondientes: +6, 0.003, 1, 43, 0, (2.3, -2, -5.01, -25, -0.21.
p>
El conjunto de los enteros positivos:…
El conjunto de los enteros negativos:…
El conjunto de las fracciones positivas:…
El conjunto de fracciones negativas:…
Un conjunto de números positivos:…
Un conjunto de números enteros:…
Análisis: 0,003 y 12,3 son decimales finitos Ambos se pueden dividir en componentes y ambos deben completarse en el conjunto de fracciones positivas. -0,21 es un número decimal que se repite infinitamente y que también se puede convertir en un valor fraccionario y debe pertenecer al conjunto de fracciones negativas. un número entero, porque los números enteros son el nombre colectivo de los números enteros positivos, 0, y los números enteros negativos. No ignore "0" al considerar el conjunto de números enteros. Además, debe quedar claro que 0 no es ni positivo ni negativo. /p>
Solución: Conjunto de enteros positivos: +6, 1, 43,...
Conjunto de enteros negativos: -2, -25,…
Conjunto de puntuaciones positivas : 0,003,…
Conjunto de puntuaciones negativas: -, -5,01, -0,21,…
Un conjunto de números positivos: +6, 0,003, 1, 43, 12,3,…
Conjunto de enteros: +6, 1, 43, 0, -2, -25,…
Pregunta: ¿Es -(-3) un número negativo
Ejemplo (5) Dibuje un eje numérico, usando los puntos A, B, C y D para representar 2, -1 y - respectivamente.
Análisis: El eje del dibujo debe tener tres elementos: origen, dirección positiva y longitud unitaria. Los números representados en el eje deben marcarse con puntos sólidos (puntos negros) y luego agregarse con letras.
Solución: D<. /p>
-3 -2 -1 0 1 2 3
Problema: Cualquier número racional se puede representar mediante puntos en el eje numérico. ¿Son números racionales? No, porque los puntos en la recta numérica representan no solo números racionales, sino también números irracionales. Tienes que esperar hasta el segundo grado de la escuela secundaria para aprender esto.
Elige la respuesta correcta, por ejemplo. 6). Sólo una de las cuatro respuestas a cada pregunta es correcta)
1 Entre los números racionales, el número cuyo valor absoluto es igual a sí mismo es ()
(a) Número positivo (B )0 (C) Número no negativo (d) Número negativo
2.-A no es un número negativo, por lo que A debe ser ()
. (a) Número negativo (b) Número positivo o 0 ( C) Número positivo (d) Número negativo o 0.
3. Los números iguales en los siguientes logaritmos son ()
(a)-(+7,5) y -(-7,5)
(B) +
(c)-(1.2) y +(+1.2)
(d)-(-100) y -100
4. siguiente En la fórmula, la correcta es ()
(A)-31.123 >-31.12
(B)>-0.33
(三)
(4)
Análisis: 1. Debido a que los valores absolutos de los números positivos y 0 son ambos en sí mismos, los números positivos y 0 se denominan colectivamente números no negativos, así que elija (c).
2. Porque -a no es negativo, -a ≥ 0, es decir, si -a es positivo o 0, entonces a es negativo o 0.
3. Porque -(-1.2) = 1.2, +(+1.2)=1.2, entonces -(-1.2) =+(+1.2).
4. c;; 2.d; 3.c; 4.B
Ejemplo (7) como se muestra en la figura, b 0 a a y B son dos números racionales, encuentre el valor de |a+b| +|un|
Análisis: Se puede ver en la figura que a & gt0, b & lt0 y | b |a|, entonces a+b
Solución: | B |+A | =-(A+B)+A =-A-B+A =-B
Pensamientos después de clase
Ese es 1. ¿Es 0 un número par? ¿Es -12 un número natural?
¿Es 2.0 un número natural? ¿Es un número positivo? ¿Es negativo? ¿Es un número entero? ¿Es un número racional?
3. ¿Los números naturales son siempre positivos? ¿Tiene que ser un número entero?
4. ¿Los números enteros tienen que ser números positivos? ¿Tiene que ser un número natural? ¿Tiene que ser un número racional?
5. ¿Existe el número más pequeño entre los números enteros positivos? ¿Hay un número máximo?
6. ¿Dos puntos diferentes en la recta numérica representan el mismo número racional? ¿Existe algún punto que represente dos números racionales diferentes?
7. ¿Existe un punto que represente un número racional entre dos puntos de números racionales en la recta numérica, por muy cerca que estén?
8. ¿Es π un número racional? ¿Por qué?
9.El recíproco de x es 5, entonces ¿cuánto es x? El recíproco de -8 es y, entonces, ¿cuánto es y? El número opuesto es su propio número. ¿Cuántos de ellos hay?
10. ¿Qué valor absoluto de un número es igual a su recíproco?
11. ¿Qué número tiene un valor absoluto mayor que él mismo?
12. ¿El valor absoluto de qué número es menor que él mismo?
13. ¿El recíproco de qué número es mayor que él mismo?
14.¿El recíproco de qué número es menor que él mismo?
15. ¿Qué número tiene el valor absoluto mayor que su recíproco?
Práctica sincrónica
1. Utilizar números positivos y negativos para representar cantidades con significados opuestos en los siguientes grupos.
(1) 3 toneladas en almacén y 5 toneladas en almacén.
(2) Una ganancia de 500.000 yuanes y una pérdida de 3 millones de yuanes.
(3) 10km al este y 1km al oeste.
(4) Los ingresos son 1.000 yuanes y los gastos son 1.000 yuanes.
(5) La producción de cemento disminuyó en 12 toneladas y aumentó en 21 toneladas.
Responde las preguntas
(1) ¿Existe el número más pequeño entre los números positivos? ¿Hay un número máximo? ¿Qué pasa con los números negativos? ¿Qué pasa con los números racionales?
(2) ¿Existe algún número racional que sea a la vez positivo y negativo?
(3) ¿Existe algún número racional que no sea ni positivo ni negativo?
(4) El nivel del agua sube 5 cm y luego sube -3 cm. ¿Cuántos centímetros sube el nivel del agua * * *?
(5)¿Es 0 el número racional más pequeño?
3. Determina si está bien o mal:
(1) La fracción es un número racional. ( )
(2) Un número mayor que un número negativo es un número positivo. ( )
(3) Los números racionales son positivos o negativos. ( )
(4) ¿No existe el número entero más pequeño? No existe un número entero más grande. ( )
(5)El origen en el eje numérico y el punto a la derecha del origen representan números no negativos.
( )
Rellena los espacios en blanco
(1) "12 menos 5 en el fútbol" es lo más opuesto.
(2) Si se estipula que ir hacia el norte es positivo, entonces el significado de +10 y - 15 m es la suma, y un * * * desaparece.
m.
(3) Si la altitud del puerto es de 5 m y la altitud del fondo de las aguas del puerto es de - 50 m, la diferencia entre ambos es m.
(4) Entre los siguientes números racionales: -21, -3.11,, +2, -1, 3.3, -0.732, 1.
Hay números positivos;
Hay números negativos;
Hay números enteros;
Hay números enteros no negativos.
(5) El número en el eje numérico que está a 6 unidades de longitud desde el origen es.
(6) Usa un símbolo de desigualdad para conectar sí.
(7) Si el punto en el eje numérico que representa -2 es A, entonces el número representado por el punto a una distancia de 3 en el eje numérico es
.
(8)
-4-3-2-1012345 Como se muestra en la figura, está representado por el punto A en el eje numérico su distancia al origen es; distancia desde el eje numérico hasta el origen Un punto igual a la distancia desde el punto A hasta el origen.
(9) El número opuesto de cualquiera es positivo y el número opuesto de cualquiera es negativo.
El inverso de (10)+2 es; el recíproco es -; el recíproco del recíproco de un número es
.
(11)El valor absoluto de cualquier número racional no lo es.
(12) El valor absoluto y recíproco de un número es él mismo, este número es.
(13) El valor absoluto de varios números es cierto.
(14) Un número entero cuyo valor absoluto es menor que 3,2 es.
El recíproco de (15)-2 es, el recíproco es y el valor absoluto es.
(16) Mantenga el valor de x en |x-2| = 5.
(17) Supongamos que A y B son números racionales y | A+3 |+(B-1) 2 = 0, entonces a+b=.
(18) El producto de todos los números naturales cuyo valor absoluto es menor que 5 es igual a .
(19) Tamaño comparativo:-|-1,7 |-(-1,7);-|-2 |
(20) Si A y B son recíprocos, M y N son recíprocos, y A y B no son 0, entonces 5 (a+b)-
.
Revisión de la unidad
1. Preguntas del examen unitario
(1) Completa los espacios en blanco
1 Los números racionales incluyen y.
2. Un número que no es ni positivo ni negativo lo es.
3. Reescribe las siguientes oraciones para que no contengan números negativos: - 0,3 m es marea baja; el coche viajó 20 kilómetros hacia el este. Sí.
4. Simplifica -(-27)=;-(+)=.
5. Si la diferencia entre el número A y el número B es negativa, entonces el punto en la recta numérica que representa el número A está a un lado del punto que representa el número B.
6 .|-8 | es la distancia entre los puntos de la recta numérica que representan -8.
7. El valor absoluto de dos números opuestos.
8. El entero positivo más pequeño es; el entero negativo más grande es.
9. Por favor escriba todos los números enteros negativos mayores que -4.
10. Si ab=1, la relación entre estos dos números es.
11. Si t
12. Utilice ">", "=", "& lt para completar los espacios en blanco: -100 0.0438+0; -2 -2.
13.
14. Calcula |+2 |-98 |-| 66 | =
15.
(2) Dibuja los siguientes puntos 2, -4-1.5, 5, 0 en el eje dado.
-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6
(3) Preguntas de opción múltiple (solo una de las cuatro respuestas a cada pregunta es correcta)
1. Si m y n son recíprocos y m≠0, entonces debe ser ().
(A)>0 (B) =1 (C) =-1 (D) =0
2. ).
(a) Número negativo (b) Número no positivo (c) Número positivo o negativo (d) Cualquier número racional.
(4) Compara los tamaños de los siguientes grupos.
1.-Segundo. -0,65 y -
2. Comentarios:
El ítem de 1 punto de la pregunta (4) tiene dos fracciones negativas y primero se debe cambiar el denominador al mismo denominador. El proceso es el siguiente:
Solución: ∵|-| =, |-| = =
∴- & gt;-.
(4) El segundo subelemento del problema, una fracción negativa y un decimal negativo, deben convertirse en dos fracciones negativas con el mismo denominador para comparar.
Respuesta
Pensamientos después de clase
1. Sí; número
2.
3. Sí;
4. No necesariamente; no necesariamente;
5. Sí; número
6.
8. No, π es un decimal infinito no cíclico y no se puede dividir en fracciones, y los números enteros y las fracciones se denominan colectivamente números racionales.
9. x =-5; y = 8; hay uno, que es 0.
10. Números negativos y 0.
11. Números negativos. 12. Número 13. número negativo. 14. Números positivos. 15. Números positivos.
Práctica sincronizada
1. (1) 3 toneladas que ingresan al almacén se marcan como +3 toneladas y 50 toneladas que salen del almacén se marcan como -50 toneladas.
(2) Un excedente de 500.000 yuanes se registra como +500.000 yuanes, y una pérdida de 3 millones de yuanes se registra como -3 millones de yuanes.
(3) 10 km al este se registra como +10 km y 1 km al oeste se registra como -1 km.
(4) Un ingreso de 1000 yuanes se registra como +1000 yuanes y un gasto de 1000 yuanes se registra como -1000 yuanes.
(5) Una disminución de 12 toneladas de cemento se registra como -12 toneladas, y un aumento de 21 toneladas se registra como +21 toneladas.
2. (1) Ninguno; no; no (2) no (3) sí. (4)2 cm.(5)No.
3. (1)√; (2)×; (3)×;
4. (1) Ganar; (2) 10 m al norte;; 15 m al sur; (3) 55 metros.
(4). 2, 3,3,1; los números negativos son -21, -3,11, -1, -0,732; los números enteros no negativos son +2, 0, 1; ⑸6 y -6
(6)-<-<-. (7)-5 y 1. (8)3;3 unidades;-3. (9) Número negativo; número positivo. (10)-2;; en sí mismo. (11) Números negativos. (12)0. (13) Dos, suma y resta. (14)-3,-2,-1,0,1,2,3. (15)2 ;- ;2. (16)7 y -3. (17)-2. (18)24(19)<;<. (20)2.
Preguntas del test unitario
1.1. Enteros y fracciones. 2.0.3. La marea subió 0,3 metros; el coche viajó 20 kilómetros hacia el oeste.
4.27;-. 5,2 segundos.6. 7. Igualdad. 8.1;-1.
9.-3, -2, -1 10. Reciprocidad. 11.t .12.<<.
13.-9<-6<-3<0<<2.14.34;15..
Segundo,
-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6
Tercero, 1. C2. B.
4.1.2.-0.65>-.