Definición
Una elipse es una sección cónica (también llamada sección cónica)
1. La suma de las distancias a dos puntos del plano es una valor constante Un conjunto de puntos (el valor fijo es mayor que la distancia entre dos puntos, generalmente llamado 2a) (estos dos puntos fijos también se denominan foco de la elipse, y la distancia entre los focos se llama distancia focal);
2. Plano Un conjunto de puntos cuya distancia a un punto fijo es una relación constante con la distancia a una línea recta fija (el punto fijo no está en una línea recta fija y la constante es positiva número menor que 1) (el punto fijo es el foco de la elipse y la línea recta se llama directriz de la elipse)). Estas dos definiciones son equivalentes;
[Editar este párrafo] Ecuación estándar
El libro de texto de la escuela secundaria usa ecuaciones para describir la elipse en el sistema de coordenadas cartesiano plano en la ecuación estándar. elipse El "estándar" se refiere al centro en el origen y al eje de simetría como eje de coordenadas.
Existen dos ecuaciones estándar de elipses, dependiendo del eje de coordenadas donde esté el foco:
1) Cuando el foco está en el eje X, la ecuación estándar es: x ^2/a^2 y ^2/b^2=1 (agt; bgt; 0)
2) Cuando el foco está en el eje Y, la ecuación estándar es: x^2/b ^2 y^2/a^2=1 (agt; bgt; 0)
Donde agt; El mayor de a y b es la longitud del semieje mayor de la elipse, y el más corto es la longitud del semieje menor (la elipse tiene dos ejes de simetría y el eje de simetría es interceptado por la elipse). Hay dos segmentos de línea, y sus mitades se llaman longitudes de la elipse (semieje y semieje menor o semieje mayor y semieje menor). Cuando agt;b, el foco está en el eje x. la distancia focal es 2*(a^2-b^2)^0.5, la distancia focal es la misma que la del eje largo y semi-menor La relación: b^2=a^2-c^2, las ecuaciones de directriz son x=a^2/c y x=-a^2/c
Además: si el centro está en el origen, pero cuando la posición del foco no está clara en el eje X o En el eje Y, la ecuación se puede establecer en mx^2 ny^2=1 (m>0, n>0, m≠n). Esa es la forma unificada de la ecuación estándar.
El área de la elipse es πab. La elipse puede considerarse como el estiramiento del círculo en una determinada dirección. Su ecuación paramétrica es: x=acosθ, y=bsinθ
La recta tangente de la elipse estándar en los puntos x0 e y0 es: xx0/a^ 2 yy0/b^2=1
[Editar este párrafo] Fórmula
Fórmula del área de la elipse
S=π(pi)× a×b( donde a y b son los ejes mayor y menor de la elipse respectivamente).
O S=π(pi)×A×B/4 (donde A y B son los ejes mayores de la elipse respectivamente). , la longitud del eje menor).
La fórmula del perímetro de una elipse
No existe una fórmula para el perímetro de una elipse, existe una fórmula integral. o una expansión de términos infinitos.
El cálculo preciso del perímetro de la elipse (L) requiere el uso de integrales o la sumatoria de series infinitas.
Por ejemplo
L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*coste)^2)dt≈2π√((a^2 b^2)/2) [ Elipse Perímetro aproximado], donde a es el semieje mayor de la elipse, e es la excentricidad
La excentricidad de la elipse se define como la distancia desde un punto de la elipse hasta un foco y la distancia desde el punto hasta la directriz correspondiente al foco La relación de distancias, suponiendo que la distancia desde el punto P en la elipse hasta un determinado punto focal es PF, y la distancia a la directriz correspondiente es PL, entonces
e=PF/PL
La ecuación directriz de la elipse
x=±a^2/C
Fórmula de excentricidad de la elipse
e=c/a(elt; 1, porque 2agt; 2c)
p>Distancia focal de la elipse: la distancia entre el foco de la elipse y su directriz correspondiente (como el foco (c, 0) y la directriz x = a^2/C), valor = b^2/c
Fórmula del radio focal de la elipse |PF1|=a ex0 |PF2|=a-ex0
El radio de la elipse que pasa por el foco derecho r=a-ex
El radio que pasa por el foco izquierdo Radio r=a ex
El diámetro del elipse: la distancia entre la línea recta perpendicular al eje x (o al eje y) que pasa por el foco y los dos focos A y B de la elipse, valor = 2b^2/ a
Posición relación entre punto y elipse punto M (x0, y0) Elipse x^2/a^2 y^2/b^2=1
Punto dentro del círculo: x0 ^2/a^2 y0^ 2/b^2<1
Punto en el círculo: x0^2/a^2 y0^2/b^2=1
El punto está fuera del círculo: x0 ^2/a^2 y0^2/b^2>1
Relación posicional entre recta y elipse
y=kx m ①
x^ 2/a^2 y^2/b^2=1 ②
De ①② podemos deducir x^2/a^2 (kx m)^2/b^2=1
Tangente △=0
Separado de △<0, sin intersección
Intersectado △>0 Se puede utilizar la fórmula de longitud de cuerda: A(x1, y1) B( x2 , y2)
|AB|=d = √(1 k^2)|x1-x2| = √(1 k^2)(x1-x2)^2 = √(1 1/ k ^2)|y1-y2| = √(1 1/k^2)(y1-y2)^2
Trazado de elipse (definición: en una sección cónica (excepto círculos), a través del foco y perpendicular a la cuerda del eje) fórmula: 2b^2/a
[Editar este párrafo] Aplicación de ecuaciones paramétricas elípticas
Resolver la distancia desde un punto de la elipse a un punto fijo o a una línea recta fija En el valor máximo, el problema se puede transformar en un problema de función trigonométrica usando coordenadas de parámetros
Propiedades relacionadas
Dado que la figura obtenida por un plano truncado El cono (o cilindro) puede ser una elipse, pertenece a una sección cónica.
Por ejemplo: hay un cilindro, que se corta en una sección transversal. Lo siguiente demuestra que es una elipse (usando la primera definición anterior):
Sean los dos. Los radios serán iguales al radio del cilindro. Los hemisferios se comprimen desde ambos extremos del cilindro hacia la mitad, y se detienen cuando tocan la sección. Entonces se obtendrán dos puntos comunes, que obviamente son los puntos tangentes entre la sección y. la pelota.
Sean los dos puntos F1 y F2
Para cualquier punto P de la sección transversal, dibuja la generatriz Q1 y Q2 del cilindro que pasa por P, y los círculos máximos tangentes a la la esfera y el cilindro se cruzan en Q1 respectivamente, Q2
Entonces PF1=PQ1, PF2=PQ2, entonces PF1 PF2=Q1Q2
De la definición 1, sabemos: la sección transversal es. una elipse, con F1 y F2 como foco
Usando el mismo método, también se puede demostrar que la sección oblicua de un cono (que no pasa por la base) es una elipse
La elipse tiene algunas propiedades ópticas: un espejo elíptico (con el eje mayor de la elipse como eje, una figura tridimensional formada al girar una elipse 180 grados, con todas sus superficies exteriores convertidas en superficies reflectantes (huecas), que pueden reflejar toda la luz emitida desde un determinado foco a otro foco; las lentes elípticas (algunas secciones transversales son elípticas) pueden condensar la luz (también llamadas lentes convexas), las gafas para leer, las lupas y las gafas para hipermetropía son todas esas lentes (estas propiedades ópticas) puede demostrarse mediante prueba por contradicción).
-----Un poco de historia sobre el truncamiento de conos: El descubrimiento y la investigación del truncamiento de conos comenzaron en la antigua Grecia. Maestros de la geometría como Euclides, Arquímedes, Apolonio y Pappus están interesados en el estudio de las secciones cónicas y todos tienen monografías que analizan sus propiedades geométricas. Entre ellas, los ocho volúmenes "Sobre las secciones cónicas" escritos por Apolonio son la culminación. de él, que se puede decir que es el más completo. Una obra maestra de la geometría griega antigua en su apogeo. En aquella época, el estudio de esta simple y perfecta línea curva era puramente desde un punto de vista geométrico, estudiar este tipo de línea curva muy relacionada con el círculo, era una extensión natural de la geometría del círculo, que en ese momento; El tiempo fue una exploración puramente conceptual, sin ninguna esperanza o expectativa de que realmente desempeñaran un papel importante en la estructura básica de la naturaleza. No fue hasta finales de los siglos XVI y XVII, con el descubrimiento de las tres leyes del movimiento planetario de Kepler, que nos dimos cuenta de que la órbita del planeta alrededor del Sol es una elipse con el Sol como foco. Las tres leyes de Kepler son un gran avance en la ciencia moderna. No sólo marcaron el comienzo de una nueva era de la astronomía, sino que también son la fuente de la ley de gravitación universal de Newton. Se puede ver que el tronco de un cono no es sólo una cosa simplificada preferida por los geómetras, sino que también es una de las esencias naturalmente seleccionadas de las leyes básicas de la naturaleza.
Se sabe que la excentricidad de la elipse C: x^2/a^2 y^2/b^2=1 (a>b>0) es √6/3, y uno de los extremos de el eje menor está a la derecha La distancia del foco es √3 (1) Encuentre la ecuación de la elipse C. (2) La línea recta l: y=x 1 corta la elipse en dos puntos a y b, y P. es un punto en la elipse. Encuentre el valor máximo del área de △PAB (3) Suponga que la línea recta l cruza la elipse C en dos puntos A y B. La distancia desde el origen de coordenadas O a la recta. la línea l es √3/2. Encuentre el valor máximo del área △AOB. Analice la suma de las distancias desde el punto final del eje menor hacia el foco izquierdo y derecho es 2a, la distancia desde el punto final hacia la izquierda y la derecha. el foco es igual (la definición de elipse), se puede ver que a=√3, y c/a=√6/3, sustituyendo, obtenemos c==√2, b=√(a?0?5 - c?0?5), b=1, la ecuación es x^2/3 y^2/1=1, 2, se requiere el área, obviamente ab se usa como base del triángulo, simultáneo x^2 /3 y^2 /1=1, y=x 1, la solución es x1=0, y1=1, x2=-1.5, y2=-0.5. Usando la fórmula de longitud de cuerda, tenemos √(1 k^2. ))[x2-x1](corchetes que representan valor absoluto) Longitud de la cuerda = 3√2/2 Para el punto p con el área más grande, su distancia a la cuerda debe ser la más grande. Se ha encontrado una línea paralela a la cuerda que pasa por p, y podrá encontrar esta línea paralela. La línea tangente de la elipse será la más grande. Esta línea tangente es paralela a la cuerda, por lo que la pendiente y. la pendiente de la cuerda =. Supongamos y=x m, use el discriminante igual a 0 y encuentre m=2, -2. Combinado con la gráfica, obtenemos m=-2.x= 1.5, y=-0.5, p. (1.5,-0.5), ecuación de línea recta x-y 1=0, use la fórmula de distancia del punto a la línea recta para encontrar 3√2/2, área 1/2*3√2/2*3√ 2/2=9 /4，