Preguntas tipo test:
Elección indefinida: 20 puntos;
Rellenar espacios en blanco: 20 puntos;
Explicación de términos: 12 puntos;
Respuesta corta: 30 puntos
Cálculo: 18 (1)
Hora y lugar de la prueba:
5 de julio ( Martes de la semana 20) 14:00-16:00 pm, Jiang'an Comprehensive C504.
Revisar contenido:
Opcional, nombre:
1. Clasificación de materiales:
Se pueden dividir en metales según su composición y materiales estructurales, materiales inorgánicos no metálicos, materiales poliméricos orgánicos y materiales compuestos.
Según sus características prestacionales y funciones, se pueden dividir en materiales estructurales y materiales funcionales.
Se divide según su uso en materiales de construcción, materiales energéticos, materiales electrónicos, materiales refractarios, materiales médicos y materiales resistentes a la corrosión.
2. Ajuste de curvas y método de mínimos cuadrados:
Método de mínimos cuadrados: un método para lograr el mejor ajuste de los datos experimentales en el sentido de la varianza.
Ajuste de curvas: A partir de un conjunto de datos, es decir, varios puntos, se requiere determinar una función, es decir, una curva, de modo que estos puntos estén lo más cerca posible de la curva. un todo. Propósito: Con base en los datos obtenidos del experimento, establecer una relación funcional empírica efectiva entre la variable dependiente y la variable independiente, y proporcionar pistas para futuras investigaciones. )
3. Pasos básicos para establecer un modelo matemático:
1) Preparación del modelado (recopilar información y datos relevantes, aclarar los antecedentes y el propósito)
2 )Supuestos de modelado (propósito, simplicidad, autenticidad y amplitud)
3) Construir un modelo (distinguir parámetros, seleccionar herramientas y métodos de construcción apropiados)
4) Resolución de modelos (diseñar o seleccionar métodos matemáticos y algoritmos para resolver el modelo)
5) Análisis del modelo (análisis de estabilidad, análisis de sensibilidad y análisis de error)
6) Pruebas del modelo (sean o no objetivas)
7) Aplicación del modelo (el propósito del modelado, la prueba más objetiva y justa del modelo)
4. Los principios básicos y la esencia del método de diferencias finitas (FDM):
Principio básico: el método de diferencias finitas (FDM) divide el dominio de la solución en cuadrículas diferenciales y utiliza nodos de cuadrícula finitos para reemplazar el dominio de la solución continua. FDM utiliza métodos como la expansión de la serie de Taylor para discretizar las derivadas en la ecuación de control reemplazando el cociente de diferencias de los valores de la función en los nodos de la cuadrícula, estableciendo así una ecuación algebraica de valores desconocidos en los nodos de la cuadrícula.
Esencia: el proceso de reemplazar diferenciales infinitos con comprobaciones finitas, reemplazar ecuaciones diferenciales con ecuaciones algebraicas diferenciales, usar cálculos numéricos en lugar de derivaciones matemáticas, discretizar así funciones continuas y reemplazar distribuciones de funciones continuas con valores finitos y discretos. .
5. Los fundamentos e ideas básicas del método de elementos finitos y del método de mallado:
El método de elementos finitos se basa en el principio de variación y el método de margen ponderado. La idea básica es discretizar una estructura geométrica continua en un número finito de unidades, establecer un número finito de nodos en cada unidad, de modo que el continuo se considere como una colección de unidades conectadas sólo en los nodos, y seleccionar los nodos de la función de campo. Como cantidad desconocida básica, se supone una función de interpolación aproximada en cada unidad para representar el patrón de distribución de la función de campo en la unidad. Luego, se establece una ecuación de elementos finitos para resolver la cantidad de nodo desconocida, convirtiendo así el problema de grados de libertad infinitos en el dominio continuo en un problema de grados de libertad limitados en el dominio finito. Después de resolver los valores de los nodos, la función de campo en la unidad o incluso en todo el agregado se puede determinar mediante la función de interpolación establecida.
La base del método de los elementos finitos es sustituir el continuo original por un conjunto de elementos finitos. Por lo tanto, primero es necesario simplificar el cuerpo elástico y luego dividirlo en cuerpos discretos compuestos por un número limitado de unidades. Estas unidades están conectadas a través de nodos de unidad. Una colección de elementos, nodos y líneas nodales se denomina malla.
Normalmente los sólidos tridimensionales se dividen en mallas de elementos de cuatro lados o hexagonales, y los problemas planos se dividen en mallas de elementos triangulares o cuadriláteros.
6. Explicación de términos: nodos y unidades
Nodos: Los nodos se utilizan para determinar la forma de las células, expresar las características de las células y conectar células adyacentes.
Los nodos son los elementos más pequeños en un modelo de elementos finitos. Varias unidades pueden usar un nodo para conectar unidades e implementar la transmisión de datos.
Unidad: Cada pequeño bloque en el modelo de elementos finitos se llama unidad. Dependiendo de la forma, los elementos se pueden dividir en los siguientes tipos: elementos lineales, elementos triangulares, elementos cuadriláteros, elementos tetraédricos y elementos hexaédricos.
La diferencia entre 7.7. FDM y método de elementos finitos;
1) El método de elementos finitos no requiere el paso de establecer ecuaciones diferenciales, y sus problemas físicos siempre tienen un significado físico claro durante todo el proceso de discretización. El método de diferencias finitas no lo es. Existe una gran diferencia entre los dos métodos para resolver problemas.
2) Existen diferencias obvias entre el método de diferencias finitas y el método de elementos finitos en la región discreta. El método de elementos finitos es arbitrario en la configuración del área dividida triangular, aproxima bien los límites y las interfaces y tiene buena precisión de cálculo. El formato de cálculo es complejo, pero puede ser informatizado y el programa es fácil de estandarizar sin afectar su aplicación práctica.
3) El método de elementos finitos enumera el formato de cálculo de los nodos dentro del área y los nodos de límite desde una perspectiva unificada. De esta forma, generalmente se coordina la precisión del cálculo de cada nodo. Sin embargo, la precisión de cada nodo del método de diferencias finitas generalmente no es consistente.
4) El método de los elementos finitos requiere la entrada de una gran cantidad de memoria y datos del ordenador, lo cual es una de sus deficiencias. De hecho, el método de diferencias finitas se usa más ampliamente que el método de elementos finitos. Hay muchos problemas físicos que el método de elementos finitos no puede resolver actualmente, pero el método de diferencias finitas siempre puede resolverlos. Especialmente cuando la forma del límite es relativamente regular, el método de diferencias finitas es el más adecuado.
8. Método de generación de números aleatorios de Monte Carlo, los dos principios más básicos de la prueba de números pseudoaleatorios:
Método físico: el principio básico del método físico para generar números aleatorios es Utilice algún fenómeno físico. Al agregar algún equipo especial a la computadora, se pueden generar números aleatorios directamente en la computadora. Estos dispositivos especiales se denominan generadores de números aleatorios. Hay dos fuentes físicas principales que se utilizan como generadores de números aleatorios: una se basa en la radiactividad de materiales radiactivos y la otra utiliza el ruido inherente de las computadoras.
Método matemático: El método más práctico y comúnmente utilizado para generar números aleatorios en una computadora es el método matemático, que consiste en generar una secuencia de números aleatorios a través de una fórmula recursiva. Para los valores iniciales dados ξ1, ξ2..., ξk, determine ξn k, n=1, 2,.... K = 1 de uso común. Para un valor inicial dado ξ1, determine ξn 1, n=1, 2...
Debido a que existen dos problemas con números aleatorios generados por métodos matemáticos, a menudo se les llama números pseudoaleatorios. Los números pseudoaleatorios generados mediante métodos matemáticos son fáciles de obtener en computadoras y pueden recalcularse sin estar restringidos por modelos informáticos. Por lo tanto, aunque este método tiene algunos problemas, todavía se usa ampliamente en las computadoras y es el método principal para generar números pseudoaleatorios en las computadoras.
El generador congruente más popular y comúnmente utilizado actualmente es el generador congruente, que genera una serie de números a través de la siguiente relación lineal congruente.
Donde x0 se llama semilla. a, c, x0 y m son números enteros mayores que cero, que se denominan multiplicador, incremento, valor inicial y módulo respectivamente. Al usarlo, debe seleccionar cuidadosamente el módulo my el multiplicador a para que el período del ciclo de los números pseudoaleatorios generados sea lo más largo posible. C0 puede alcanzar el período máximo, pero las características de números pseudoaleatorios obtenidas son deficientes. Generalmente, x0 es cualquier número entero no negativo, y el multiplicador A y el incremento C tienen los siguientes valores: a=4q 1, c = 2p 1p y q es un número entero positivo. Los valores de p, q, x0 y m generalmente se seleccionan mediante análisis cualitativo y experimentos informáticos, de modo que la secuencia numérica pseudoaleatoria resultante tenga un período suficientemente largo y la independencia y uniformidad puedan pasar una serie de pruebas.
Las características de los números pseudoaleatorios se determinan mediante diversas pruebas estadísticas, incluidas la prueba de uniformidad, la prueba de independencia, la prueba de ley combinatoria, la prueba de incoherencia, la prueba de parámetros, etc. Las más básicas son las pruebas de unidad e independencia.
9. Función potencial en dinámica molecular y sus limitaciones básicas:
Función potencial: Para el potencial (potencial de dos cuerpos), se considera que la interacción entre átomos es de dos entre ellos. , independientemente de la posición de otros átomos. Ha logrado un gran éxito en cálculos de simulación de cristales moleculares, compuestos iónicos y ciertos metales.
Por ejemplo, el potencial de Lennard-Jones (imagen a continuación) se usa a menudo para describir la fuerza entre moléculas de gas o de agua; el potencial de Morse y el potencial de Johnson se usan a menudo para describir metales; Pero en el caso de los metales de transición, hay algunos enlaces de valencia en los enlaces metálicos, por lo que es más difícil.
Al igual que el método de simulación estocástica, el método MD enfrenta dos limitaciones básicas: una es la limitación del tiempo de observación limitado; la segunda es la limitación del tamaño limitado del sistema.
10. Ecuación de conducción de calor de Fourier:
El matemático francés Fourier resumió la ley de conducción de calor en la ley de Fourier a través de una investigación inductiva sobre datos de conducción de calor y experiencia práctica, es decir, a través de calor isotérmico. transferencia por unidad de tiempo El flujo de calor en la superficie es proporcional al gradiente de temperatura y al área de transferencia de calor:
DQ es el flujo de calor a través de la superficie isotérmica por unidad de tiempo (W); el material (w/m . k); n es el límite normal; s es el área de la superficie isotérmica (m2) t es la temperatura (k).
11. La relación entre el campo de tensiones y la tensión-deformación.
1) La tensión
Bajo la acción de una fuerza externa, el tamaño y la forma geométrica de un; El material cambiará y, al mismo tiempo, se generará "fuerza interna adicional" entre cada parte del material, denominada "fuerza interna". La tensión en un cierto punto de la sección transversal, es decir, la concentración de fuerza interna distribuida en ese punto, refleja la magnitud y dirección de la fuerza interna en ese punto de la sección transversal. La tensión en un punto puede verse como una función de las coordenadas de posición del punto y la dirección de la sección tomada.
Para describir el estado de tensión del punto P en materiales elásticos, se toma una microunidad con lados dx, dy y dz alrededor del punto P. Dado que dx, dy y dz tienden a ser infinitesimales , esta unidad puede ser equivalente al punto P a investigar, por lo que estudiar la tensión en cada sección de la unidad es equivalente a estudiar el estado de tensión del punto P, como se muestra en la siguiente figura:
La mecánica elástica demuestra que los seis componentes del esfuerzo cortante tienen la siguiente relación:
Por lo tanto, si se conocen los seis componentes del esfuerzo x, y, z, xy, zy, zx en cualquier punto p del material, la Se pueden calcular la tensión normal y la tensión cortante de cualquier sección que pase por el punto. En otras palabras, estos seis componentes de tensión son independientes entre sí y pueden determinar de forma única el estado de tensión en cualquier punto del material.
2) Deformación
La magnitud mecánica que describe el desplazamiento relativo de un objeto después de su deformación se llama deformación. La deformación se divide en deformación normal y deformación cortante, que están representadas por seis componentes de deformación, a saber, x, y, z, xy, yz y zx. La deformación normal se refiere a la expansión y contracción relativas por unidad de longitud de cada lado del paralelepípedo; la deformación cortante se refiere al cambio en los ángulos rectos entre los lados del paralelepípedo, expresado en radianes. Para la deformación positiva, es positiva cuando se alarga y negativa cuando se acorta; para la deformación por corte, el ángulo recto formado por dos segmentos de línea a lo largo de la dirección positiva del eje de coordenadas es positivo cuando se hace más pequeño y negativo cuando se hace más grande.
3) Ecuación física (ecuación de relación tensión-deformación)
La relación tensión-deformación de un cuerpo elástico puede describirse mediante la ley de Hooke. En el caso tridimensional, hay seis componentes de tensión independientes en cualquier punto del cuerpo elástico. La relación tensión-deformación se puede expresar mediante la ley generalizada de Hooke de la siguiente manera:
donde e es el módulo elástico y. v es el ratio de Poisson,
12, ley de difusión en metales:
Primera ley de Fick:
En un sistema heterogéneo, grupos moleculares independientes El proceso de mover un Un área de alta concentración a un área de baja concentración se llama difusión. En condiciones de difusión en estado estacionario, el flujo de difusión (Ji) de la sustancia que se difunde verticalmente a través de la sección transversal de la unidad I está directamente relacionado con el gradiente de concentración (ci/x) y su coeficiente de difusión (Di) a través de la ecuación de difusión. :
Esta es la forma unidimensional de la primera ley de difusión de Fick. El signo negativo indica que el flujo está en la dirección de concentración decreciente. El gradiente se debe principalmente a una distribución desigual de la concentración.
Segunda ley de Fick:
De hecho, la difusión más importante es inestable. Durante el proceso de difusión, la concentración de la sustancia en difusión cambia con el tiempo.
Para estudiar esta situación, según el balance de masa de sustancias en difusión, se deriva la segunda ley de Fick con base en la primera ley de Fick, es decir:
Si Di es una constante, obtenemos:
En el caso tridimensional, los coeficientes de difusión en las direcciones x, y, z, y y z son dx, dy y d z respectivamente, y se obtienen los siguientes resultados:
Cuando es isotrópico, es decir, Dx=Dy=Dz=D, obtenemos:
13 Composición y características de la base de datos:
El sistema de base de datos se refiere a una base de datos, un sistema de gestión de bases de datos, un. aplicación y un administrador de base de datos. Un sistema hombre-máquina compuesto por usuarios. Los sistemas de bases de datos modernos incluyen al menos las tres partes siguientes: I) base de datos, una colección estructurada de datos relacionados, incluidos los datos en sí y la relación entre datos, que existe independientemente del programa de aplicación y es el núcleo y objeto de gestión del sistema de base de datos. ; II) almacenamiento físico, medios hardware utilizados para almacenar datos, como discos, discos ópticos y otras memorias de gran capacidad; Iii) software de base de datos, responsable de la gestión y mantenimiento de la base de datos. Tiene la función de definir, describir, operar y mantener datos, aceptar y completar diferentes solicitudes para la base de datos provenientes de programas de usuario y comandos de terminal, y es responsable de proteger los datos de diversas interferencias y daños.
Características principales: En comparación con los métodos de gestión de archivos, los datos gestionados por el sistema de base de datos del ordenador tienen las siguientes características:
a) Datos * * *
b ) Independencia de datos
c) Reducir la redundancia de datos
d) Estructuración de datos
e) Función de protección de datos unificada
14, La composición del sistema experto:
El sistema experto consta de una base de conocimientos, una base de datos integral, un motor de inferencia, un mecanismo de adquisición de conocimientos, un mecanismo de explicación y una interfaz persona-computadora.
La base de conocimientos es una colección de conocimientos de dominio necesarios para resolver problemas, incluidos hechos básicos, reglas y otra información relevante.
La base de datos integral se compone principalmente de los datos iniciales del problema y la información intermedia generada durante el proceso de solución del sistema.
El motor de inferencia es el mecanismo de ejecución central para resolver problemas. En realidad, es un programa para interpretar el conocimiento. Interpreta y ejecuta el conocimiento descubierto a través de ciertas estrategias de acuerdo con la semántica del conocimiento y registra los resultados en el espacio apropiado de la biblioteca dinámica.
El mecanismo de adquisición de conocimientos es responsable del establecimiento, modificación y expansión de la base de conocimientos, principalmente para realizar el autoaprendizaje del sistema experto, adquirir conocimientos automáticamente durante el uso del sistema y mejorar continuamente. y ampliar las funciones del sistema existente.
El mecanismo de explicación consiste en explicar el proceso de solución y responder a las preguntas del usuario. Las dos preguntas básicas son "por qué" y "cómo".
La función principal de la interfaz persona-computadora es realizar una conversión de información bidireccional entre el sistema y el usuario, es decir, el sistema traduce la información de entrada del usuario en una expresión de información familiar para el usuario.
El proceso de trabajo del sistema experto es que el sistema toma la base de datos integral como punto de partida en función de los objetivos propuestos por el usuario. Bajo la guía de la estrategia de control, el motor de inferencia utiliza el conocimiento relevante. en la base de conocimientos y a través de la exploración y el razonamiento continuos, lograr el objetivo de resolver.
15. El concepto de diseño de materiales y sus tres niveles:
Definición: Utilizar ordenadores de alto rendimiento y potentes software profesionales de materiales, los elementos básicos de las disciplinas de ciencia e ingeniería de materiales y sus La caracterización cuantitativa o semicuantitativa de las interrelaciones, el diseño de la composición y el proceso de materiales en computadoras y la predicción de sus estructuras y propiedades se denominan diseño y simulación de materiales, también conocido como ciencia de materiales computacional.
Actualmente no existe una división uniforme y estricta de los niveles de investigación en diseño de materiales. En términos generales, se puede dividir en tres niveles según la escala espacial del objeto de investigación: el nivel de microdiseño, con una escala espacial de aproximadamente 1 nm; el nivel de modelo continuo, con una escala de aproximadamente 1 m; y la escala del diseño de ingeniería corresponden a macromateriales, lo que implica el procesamiento y el rendimiento de uso de materiales de gran tamaño.
16. El concepto de primeros principios:
El llamado primer principio significa que sólo cinco constantes físicas básicas (masa del electrón me, carga del electrón e, constante de Planck h, luz del vacío) velocidad c y constante de Boltzmann kB) y la disposición de los átomos en el espacio (es decir, estructura cristalina), la energía total, la microestructura y el estado del sistema se pueden calcular con mucha precisión sin la necesidad de otros parámetros empíricos.
2. Respuestas breves
1. Cinco aplicaciones de la informática en ciencia e ingeniería de materiales: (2-5 páginas de libro de texto, resúmalas usted mismo)
1. ) Se utiliza para el diseño de nuevos materiales y nuevas aleaciones;
2) Se utiliza para la simulación de investigación científica de materiales:
3) Se utiliza para la optimización y el control automático de los procesos de materiales;
4) Se utiliza para caracterizar la composición y microestructura de materiales:
5) Se utiliza para el procesamiento de datos e imágenes y otros:
2. El significado y clasificación de las matemáticas. modelos:
Definición de modelo matemático:
Los conceptos matemáticos, fórmulas matemáticas y teorías matemáticas abstraídas del correspondiente prototipo objetivo se denominan modelos matemáticos. O aquellos sistemas de símbolos matemáticos que reflejan un problema específico o un sistema de cosas específico se llaman modelos matemáticos. Su propósito es resolver problemas prácticos.
Clasificación de modelos matemáticos:
Según el método matemático de establecimiento del modelo, se divide en modelo de teoría de grafos, modelo de ecuación diferencial, modelo estocástico, modelo de simulación, etc.
Según las características del modelo, se puede dividir en modelo discreto, modelo continuo, modelo lineal y modelo no lineal.
3. Pasos de resolución de FDM y método de elementos finitos:
Pasos de resolución de problemas FDM:
1) Establecer ecuaciones diferenciales.
Seleccionar el área de cálculo según la naturaleza del problema, establecer ecuaciones diferenciales y anotar las condiciones iniciales y de contorno.
2) Construya un formato diferencial
Primero, discretice el área de la solución, determine los nodos de cálculo y seleccione el diseño de la cuadrícula, la forma diferencial y el tamaño del paso. Luego use diferencias finitas para reemplazar diferenciales infinitos, use cocientes de diferencias para reemplazar los negocios de WeChat y use ecuaciones en diferencias para reemplazar ecuaciones diferenciales y condiciones de contorno.
3) Resolver ecuaciones en diferencias
Las ecuaciones en diferencias suelen ser una gran cantidad de ecuaciones algebraicas lineales, y sus métodos de solución incluyen principalmente: método exacto y método de aproximación. El método exacto también se denomina método directo, que incluye principalmente el método matricial, el método de eliminación gaussiano y el método de eliminación pivote. El método de aproximación, también conocido como método indirecto, es principalmente un método iterativo, que incluye el método de iteración directa, el método de iteración indirecta y el método de iteración de superrelajación.
4) Análisis y pruebas de precisión
Se analizó y probó la precisión y convergencia de los valores obtenidos.
Pasos para la resolución de problemas FEM:
Los pasos de cálculo del método de elementos finitos se pueden resumir en los siguientes tres pasos básicos: división de malla, análisis unitario y análisis general.
1) Mallado
La base del método de los elementos finitos es sustituir el continuo original por un conjunto de elementos finitos. Por lo tanto, primero es necesario simplificar el cuerpo elástico y luego dividirlo en cuerpos discretos compuestos por un número limitado de unidades. Estas unidades están conectadas a través de nodos de unidad. Una colección de elementos, nodos y líneas nodales se denomina malla.
Normalmente los sólidos tridimensionales se dividen en mallas de elementos de cuatro lados o hexagonales, y los problemas planos se dividen en mallas de elementos triangulares o cuadriláteros.
2) Análisis unitario
Para problemas de mecánica elástica, el análisis unitario consiste en establecer la relación entre el desplazamiento nodal y la fuerza nodal de cada unidad.
Dado que el desplazamiento nodal de la unidad se utiliza como variable básica, primero es necesario determinar la expresión aproximada del desplazamiento interno de la unidad, luego calcular la deformación y tensión de la unidad, y luego Establecer la relación entre la fuerza nodal y el desplazamiento nodal en la unidad.
3) Análisis global
Analizar el conjunto compuesto por cada unidad, establecer la relación entre la carga externa del nodo y el desplazamiento del nodo, y resolver el desplazamiento del nodo. Este proceso es un análisis holístico. Tomemos como ejemplo el problema plano de la mecánica elástica, como se muestra en la figura de la derecha, se ejerce una fuerza concentrada sobre el nodo límite I. El nodo I es el punto de combinación de tres elementos, por lo que las fuerzas nodales de estos tres elementos en. se debe unir el mismo nodo. Crea una ecuación balanceada.
4. Clasificación de los sistemas expertos:
Según la diferente naturaleza de la resolución de problemas de ingeniería, los sistemas expertos se dividen en las siguientes categorías:
1) Explicar Sistemas expertos: Determinar su significado mediante el análisis e interpretación de información y datos conocidos, como análisis de imágenes, análisis de estructuras químicas, interpretación de señales, etc.
2) Sistema experto en pronóstico: A través del análisis de situaciones conocidas en el pasado y presente, inferir posibles situaciones futuras, como pronóstico del tiempo, pronóstico de población, pronóstico económico, pronóstico militar, etc.
3) Sistema experto de diagnóstico: infiere la causa de la falla (es decir, falla) de un objeto en función de la situación observada, como diagnóstico médico, diagnóstico de fallas de software, diagnóstico de fallas de materiales, etc.
4) Sistema experto en diseño: de acuerdo con los requisitos del diseño de herramientas, encuentre la configuración objetivo que cumpla con las limitaciones del problema de diseño, como diseño de circuitos, diseño de ingeniería civil, diseño de estructuras de computadoras, diseño de productos mecánicos. , diseño de procesos de producción, etc.
5) Sistema experto de planificación: Descubra la secuencia de acciones o pasos que pueden lograr un objetivo determinado, como planificación de robots, programación de transporte, demostración de proyectos de ingeniería, comunicación y comando militar, plan de fertilización de cultivos, etc. .
6) Sistema experto de monitorización: Observar continuamente el comportamiento de sistemas, objetos o procesos, comparar el comportamiento observado con su comportamiento esperado, descubriendo así situaciones anormales y emitiendo alarmas, como la monitorización de seguridad de centrales nucleares.
7) Sistema experto de control: gestiona de forma adaptativa el comportamiento general de un objeto controlado para cumplir con los requisitos esperados, como control de tráfico aéreo, gestión empresarial, gestión de combate, control de robots autónomos, control de procesos de producción, etc.
3. Cálculo:
Aplicación del método de diferencias finitas en la conducción de calor:
Ejemplos de resolución de problemas FDM
Problema1. /p>
Hay una pared del horno con un espesor de , la temperatura de la pared interior T0 = 900 C y la temperatura de la pared exterior Tm = 100 C. Se obtiene la distribución de temperatura a lo largo de la dirección del espesor de la pared del horno.
Análisis
Este es un problema de conducción de calor unidimensional en estado estacionario. Las condiciones de contorno son T0=900C y Tm=100 C. Los valores de temperatura de varios nodos a lo largo. La dirección del espesor de la pared del horno se puede calcular utilizando el método finito obtenido por diferencias.
Base matemática de FDM;
En los cálculos numéricos, las funciones se consideran en dos formas tabulares. Una columna es el valor (discreto) de la variable independiente xi, y la otra columna es el valor de la función correspondiente de xi, denotado como fi o f(xi).
Desde la perspectiva de los operadores, se definen tres operadores:
(operador de diferencia directa): fi fi 1 fi.
(Para operadores de diferencia): fi fi fi1.
(Operador diferencia central): fi fi 1/2 fi1/2.
Entre ellos, fi1 = f(西河), fi1/2 = f(西河/2), Xi 1xi = h, que es igual para todo I.
La diferencia anterior correspondiente a la derivada de primer orden se llama diferencia de primer orden, y la diferencia correspondiente a la derivada de segundo orden se llama diferencia de segundo orden:
2fi =(fi 1 fi)= fi 22fi 1 fi
2fi =(fi fi 1)= fi2fi 1 fi2
2fi =fi 12fi fi1
Tres Los operadores están relacionados: 2=. Por analogía se pueden deducir otras diferencias de alto orden.
La razón de la diferencia entre la función y la variable independiente se llama cociente de diferencias entre la función y la variable independiente. Tomando el segundo orden como ejemplo, sus tres formas son:
Cociente de diferencias hacia adelante:
Cociente de diferencias hacia atrás:
Cociente de diferencias centrales:
p>La diferencia y el cociente de diferencias de funciones multivariadas también se pueden obtener utilizando métodos similares.
La esencia del método de diferencias finitas es usar la diferencia para reemplazar el diferencial. El significado geométrico de usar el cociente de diferencias para reemplazar el negocio de WeChat es usar la tasa de cambio promedio de la función en un. cierta área para reemplazar la verdadera tasa de cambio de la función.
Para los negocios de WeChat de primer orden, existen tres formas típicas de diferencia de precios:
Cociente de diferencia hacia adelante:
Cociente de diferencia hacia atrás:
Cociente de diferencia central: p>
Según la serie de Taylor, se pueden calcular los errores en las tres formas diferenciales anteriores, a saber:
A partir de estas tres fórmulas, se puede ver que usando el cociente de diferencias definido por diferentes métodos para reemplazar el negocio WeChat genera El error es diferente. Cuando el negocio de WeChat se reemplaza por el cociente de diferencia hacia adelante o el cociente de diferencia hacia atrás, el error de etapa es O (x), que es el orden de magnitud de la primera potencia de X cuando el negocio de WeChat se reemplaza por el cociente de diferencia central; , el error de truncamiento es O(x)2, es el orden de magnitud de
Por lo tanto, al realizar cálculos con FDM se debe prestar atención a la forma, método de establecimiento y errores resultantes de la ecuación diferencial.
Nota: 1. Es apropiado seleccionar 4-5 nodos;
2 Responda las preguntas estrictamente de acuerdo con los pasos de resolución del problema, especialmente no se pierda el análisis de precisión final. y pasos de verificación.