3. Extraer materiales históricos para que los estudiantes experimenten el método de pensamiento de la probabilidad y la estadística
La probabilidad y la estadística son una parte importante del nuevo plan de estudios de matemáticas de la escuela secundaria. Estudia la regularidad estadística de fenómenos aleatorios y tiene conceptos, métodos y teorías únicos. En la enseñanza, se debe prestar más atención al proceso de experimentos y estadísticas, combinados con ejemplos históricos, para cultivar el pensamiento aleatorio y los conceptos estadísticos de los estudiantes lo antes posible.
3.1 Pensamientos diversos
El núcleo del pensamiento aleatorio es comprender la regularidad estadística oculta detrás de los fenómenos aleatorios, enfatizando la aleatoriedad de las observaciones individuales de fenómenos aleatorios y la regularidad estadística de los fenómenos aleatorios a gran escala. observaciones.relación. Siempre hay una inevitabilidad escondida detrás del azar. Una gran cantidad de fenómenos aleatorios reflejan la inevitabilidad en el desarrollo de las cosas. Es a través del estudio de esta contingencia que el pensamiento aleatorio ha encontrado la inevitabilidad detrás de él, es decir, la regularidad estadística, y a través de esta inevitabilidad podemos comprender y captar los fenómenos aleatorios.
El experimento aleatorio es un método importante en el pensamiento aleatorio. Para estudiar las leyes estadísticas de los fenómenos aleatorios, se han realizado experimentos aleatorios famosos en la historia, como el experimento de lanzamiento de monedas de Buffon y Pearson, el modelo de prueba de placas de Galton diseñado por Galton, etc. Por ejemplo, si lanzamos muchas monedas, la frecuencia de cara es muy cercana a la mitad, es decir, la probabilidad teórica de cara es 12. A este fenómeno lo llamamos que los resultados individuales son inciertos, pero después de repetirlos muchas veces, los resultados son regulares. "Aleatorio" no es sinónimo de "accidental", pero describe una secuencia que es diferente de la certeza, mientras que la estadística de probabilidad es la matemática que describe la aleatoriedad y la regularidad estadística.
La clave para comprender el pensamiento aleatorio es comprender que la frecuencia de prueba de un evento se desvía de la probabilidad teórica y que la existencia de desviación es normal. Aunque la frecuencia de las pruebas repetidas se estabiliza gradualmente a su probabilidad teórica, no descarta que no importa cuántas veces se realice la prueba, la probabilidad de la prueba sigue siendo una aproximación de la probabilidad teórica y no puede ser igual a la probabilidad teórica. Por ejemplo, en teoría, la probabilidad de que "un lanzamiento aleatorio de una moneda salga cara" es 12. Sin embargo, 100 pruebas no garantizan que 50 veces sean correctas y 50 veces incorrectas. Los estudiantes serían conscientes de esto si realmente hicieran el examen. De hecho, en la prueba de lanzamiento de 100 monedas, sale 50 veces, y la probabilidad de que baje 50 veces es solo C50?100?(12)100?≈?8%, que es mucho menor que la probabilidad de 50 % que la moneda quedará boca arriba una vez. En la enseñanza, debemos evitar que los estudiantes comprendan intuitivamente la probabilidad como una "proporción", para tener una comprensión más profunda de la probabilidad de un evento.
El pensamiento aleatorio también incluye la aleatoriedad del muestreo durante experimentos estadísticos y la aleatoriedad de experimentos de simulación o resultados de muestreo aleatorio. Sólo reconociendo esto podrán los estudiantes comprender verdaderamente la aleatoriedad generalizada en el mundo real y aplicarla activamente a la vida. Existen muchos métodos de muestreo, pero independientemente del método que se utilice para el muestreo, se debe respetar el principio del muestreo aleatorio. Este es un requisito básico para evitar la influencia humana y asegurar la objetividad y autenticidad de la muestra.
3.2 Pensamientos de inferencia estadística
El objetivo principal del curso de estadística es guiar a los estudiantes a comprender las características y funciones del pensamiento estadístico, así como la diferencia entre el pensamiento estadístico y el pensamiento determinista. . Por ejemplo, en una investigación que utiliza muestras para estimar la población, los estudiantes deben darse cuenta de que la información proporcionada por la muestra refleja las características relevantes de la población hasta cierto punto, pero existe una cierta desviación de la población a través del análisis de datos específicos. . Por otro lado, si el método de muestreo es razonable, por ejemplo, el famoso matemático Laplace estudió los patrones de nacimiento de niños y niñas en Londres, Petersburgo, Berlín y Francia, y los datos estadísticos obtenidos mostraron que en 10 años, la frecuencia de los nacimientos de niños fluctúan alrededor de 2243; los datos de composición por género de la población total de mi país en censos anteriores son muy cercanos a los datos obtenidos por Laplace.
Los científicos han descubierto que no sólo en la vida social humana, sino también en la naturaleza, la reproducción y evolución de la vida obedecen a las leyes de la probabilidad y la estadística. Ya en 1843, el monje checo Mendel reveló por primera vez al mundo los misterios de la naturaleza estudiando las leyes genéticas de los guisantes. Dado que los dos genes del guisante están separados entre sí, no interfieren entre sí al ingresar a la siguiente generación de células híbridas y finalmente se combinan aleatoriamente durante la polinización biológica. Por tanto, esta ley también se denomina "fenómeno de separación". Posteriormente, tras una ardua exploración, Mendel descubrió que cuando se cruzan dos pares de plantas con rasgos diferentes, los genes genéticos de los distintos pares se combinan libremente y tienen iguales oportunidades. Esta es la segunda ley de Mendel, también conocida como "la ley de la libre asociación". Las leyes de separación y combinación libre descubiertas por Mendel son esencialmente la manifestación de las leyes de probabilidad y estadística en el proceso genético.
El proceso del razonamiento estadístico es diferente del razonamiento lógico en matemáticas. Es un método de razonamiento probabilístico y su principio es el "evento de pequeña probabilidad". El principio de los eventos de pequeña probabilidad sostiene que en un experimento, los eventos de pequeña probabilidad casi nunca sucederán. Por ejemplo, resolver problemas de prueba de hipótesis es una manifestación de la inferencia estadística. Para una hipótesis, dado un estándar de nivel de probabilidad pequeño, si los datos de muestreo se clasifican y calculan, si el resultado hace que ocurra un evento de probabilidad pequeña (esto es diferente de un evento de probabilidad pequeña), de lo contrario, la hipótesis nula se considera aceptable. La implementación de esta idea de inferencia estadística ilustra completamente la practicidad de la estadística matemática. En la enseñanza, se pueden utilizar ejemplos como los ensayos de eficacia de los medicamentos para centrarse en introducir la idea de inferencia estadística.
4. Utilice ejemplos históricos de modelos de probabilidad para estimular el sentido de innovación de los estudiantes.
Una gran parte de las matemáticas estocásticas se puede describir mediante modelos de probabilidad, como los modelos de probabilidad igual finita (clásicos). modelos de probabilidad), modelo de probabilidad de Bernoulli, distribución normal, etc. La aplicación del método del modelo probabilístico es simular y construir un prototipo realista o modelo abstracto basado en las características específicas de un problema aleatorio para reflejar las leyes inherentes del problema, y luego seleccionar el método matemático correspondiente para responder al modelo matemático obtenido. Muestra el proceso de la práctica a la teoría y de regreso a la práctica. En la enseñanza de estadística de probabilidad, debemos prestar atención a la comprensión y aplicación de los modelos de probabilidad, restar importancia a los cálculos complejos, permitir que los estudiantes experimenten el proceso de resumir modelos de probabilidad específicos a partir de múltiples ejemplos, experimentar las similitudes y diferencias de estos ejemplos y cultivar a los estudiantes. 'Capacidad para identificar modelos. David S. Moore, profesor de estadística en la Universidad Purdue, dijo una vez: “Aprender combinatoria no nos permite mejorar nuestra comprensión del concepto de azar. Desarrollar la capacidad de utilizar modelos probabilísticos no es mejor que otras disciplinas. debemos evitar los problemas combinatorios, excepto los problemas de conteo más simples. "El uso de modelos de probabilidad para resolver problemas es un método de pensamiento inductivo típico, que no se puede separar de la observación, la experimentación y el razonamiento razonable de las personas. Es la encarnación de la conciencia matemática y los métodos de pensamiento, y ayuda a cultivar la capacidad y la conciencia innovadora de los estudiantes para aplicar teorías matemáticas para resolver problemas prácticos.
Si bien la historia de las matemáticas muestra el proceso de desarrollo del conocimiento matemático aleatorio, la aplicación de métodos matemáticos y el pensamiento innovador de los matemáticos en la resolución de problemas prácticos a menudo inspira a las generaciones futuras. Por ejemplo, utilizar un modelo de probabilidad para calcular π es un ejemplo histórico típico. La historia del cálculo de pi es aclamada como un "símbolo de civilización" para la humanidad. En 1872, el erudito británico William Shanks había calculado el valor de π con 707 decimales. Después de más de medio siglo, el matemático Fagerson tiene dudas sobre los resultados del cálculo de Es decir, la probabilidad de cada número debería ser igual a 110. Con la aparición y aplicación de las computadoras electrónicas, el cálculo de π ha progresado rápidamente. En 1973, el estudioso francés Jean Guy. Este artículo realizó estadísticas interesantes sobre la frecuencia de aparición de cada dígito del primer millón de dígitos de π y concluyó que, aunque la aparición de cada dígito tiene algunos altibajos, básicamente se divide de manera uniforme. Parece que la idea de Ferguson debería ser correcta, y en la expansión numérica de π, hay: p (0) = p (1) = p (2) = … = p (9) =? 0,1? Pero a veces los modelos probabilísticos son más difíciles de analizar que los deterministas porque contienen factores aleatorios inciertos. En este caso se puede considerar el método de Monte Carlo. El método Monte Carlo es la base de la simulación por ordenador y su nombre proviene del mundialmente famoso casino Monte Carlo de Mónaco. Su historia tiene su origen en un método para calcular pi propuesto por el científico francés Buffon en 1777, concretamente el famoso método de Montecarlo para el problema de la aguja de Buffon, que pertenece a una rama de las matemáticas experimentales. La idea básica es establecer primero un modelo de probabilidad de modo que la solución al problema sean los parámetros u otras características relevantes del modelo. Luego, mediante experimentos estadísticos simulados, es decir, múltiples experimentos de muestreo aleatorio, se calcula el porcentaje de un evento. Mientras haya muchos experimentos, el porcentaje es similar a la probabilidad de un evento. Finalmente, se utiliza el modelo de probabilidad establecido para obtener los parámetros a estimar, es decir, la solución al problema.
Referencia
1 Li Wenlin. Introducción a la Historia de las Matemáticas[M]. Beijing: Prensa de Educación Superior, 2002.
2 Zhang Dan. Estadística y probabilidad[M]. Beijing: Prensa de Educación Superior, 2006.
3 Zhang Yuannan. La historia de la probabilidad y las ecuaciones[M]. Beijing: Editorial Infantil de China, 2005.