Intuicionismo matemático
En filosofía y lógica matemática, el intuicionismo o neointuicionismo (correspondiente al preintuicionismo), es un tipo de matemática con actividades de pensamiento constructivo humano y métodos de investigación. También se puede traducir como intuicionismo.
Cualquier objeto matemático es considerado como producto de una estructura mental, por lo que la existencia de un objeto equivale a la posibilidad de su construcción. Esto difiere del enfoque clásico, ya que según el enfoque clásico la existencia de una entidad se puede probar negando su inexistencia. Para los intuicionistas, esto no es cierto: negar su ausencia no significa que sea posible encontrar pruebas estructurales de su existencia. Como tal, el intuicionismo es una forma de estructuralismo matemático, pero no es la única;
El intuicionismo equipara la exactitud de una proposición matemática con su prueba; si los objetos matemáticos son estructuras puramente mentales, ¿qué otras leyes pueden usarse para probar la verdad (como argumentarían los intuicionistas)? Esto significa que los intuicionistas pueden tener una comprensión diferente del significado de una proposición matemática que los matemáticos clásicos. Por ejemplo, decir A o B, para un intuicionista, es afirmar que A o B pueden "probarse" en lugar de que cualquiera de ellos sea "verdadero". Cabe mencionar que la ley del tercero excluido, que sólo permite A o no A, no está permitida en la lógica intuitiva porque no se puede suponer que siempre se pueda probar la proposición A o su proposición negativa;
El intuicionismo también rechaza el concepto abstracto de realidad infinita; es decir, no considera el infinito como una entidad, como el conjunto de todos los números naturales o cualquier secuencia de números racionales. Esto requiere reconstruir los fundamentos de la teoría de conjuntos y el cálculo en teoría de conjuntos constructivista y análisis constructivista, respectivamente.
En la filosofía de las matemáticas, el estructuralismo (constructivismo) cree que para demostrar la existencia de un objeto matemático es necesario construirlo. Suponiendo que un objeto no existe, derivar una contradicción de este supuesto no es suficiente para que un estructuralista demuestre que el objeto existe. Ver prueba estructural.
A menudo se confunde estructuralismo con intuicionismo. De hecho, el intuicionismo es sólo una forma de estructuralismo. El intuicionismo enfatiza que la base de las matemáticas se basa en la intuición personal de los matemáticos, por lo que las matemáticas se consideran esencialmente una actividad subjetiva. El estructuralismo no enfatiza esto y es consistente con la visión objetiva de las matemáticas.
La escuela intuicionista es una escuela en la fundación de las matemáticas. Uno de sus representantes es el matemático holandés Brouwer (I_E.J.
). La constructibilidad de conceptos y métodos considera que la base teórica de las matemáticas no es la teoría de conjuntos, sino la teoría de los números naturales. Un famoso lema del intuicionismo es "La existencia debe ser construible". Partiendo del punto de vista básico del intuicionismo, determina directamente que uno de los principales propósitos de esta escuela en el trabajo matemático es adoptar completamente el infinito potencial y rechazar el infinito real en problemas infinitos.
Brouwer (Brouwer, I_.Jiejie.
), Heyt-ting (a.) y otros son todos famosos matemáticos intuitivos.
El intuicionismo no se ha generalizado en las matemáticas. El intuicionismo sólo reconoce los números naturales como base de las matemáticas y no reconoce el concepto de conjuntos. Brouwer utilizó el concepto de "expansión" para construir inteligentemente un concepto de continuo que cumpliera con los requisitos estructurales, sentando así las bases teóricas para el cálculo intuicionista.