Las secciones cónicas incluyen elipses, hipérbolas y parábolas.
1. Elipse: Se llama la trayectoria donde la suma de las distancias de un punto en movimiento a dos puntos fijos es igual a una longitud fija (la longitud fija es mayor que la distancia entre los dos puntos fijos). una elipse. Es decir: {p || pf1 | pf2 | = 2a, (2a >: |F1F2|)} .
2. dos puntos fijos La trayectoria se llama hipérbola. Es decir, {p | pf 1 |-| pf2 | /p>
4. La trayectoria de un punto donde la distancia desde un punto fijo a una recta fija La línea es constante se llama sección cónica.
El origen de las secciones cónicas: los círculos, las elipses, las hipérbolas y las parábolas son secciones cónicas. Los matemáticos griegos antiguos ya estaban familiarizados con ellas hace más de dos mil años. El antiguo matemático griego Apolo estudió estas curvas utilizando el método de los conos truncados planos. Corta el cono con un plano perpendicular al eje del cono y obtienes un círculo que inclina gradualmente el plano y obtienes una elipse; el plano es paralelo a la generatriz del cono, se obtiene una parábola; cuando el plano se inclina un poco más, se obtiene una curva doble. Apolo una vez llamó a la elipse una "curva deficiente", una hipérbola una "hipercurva" y una parábola una "curva homogénea".
Las ecuaciones paramétricas de secciones cónicas y las ecuaciones de coordenadas rectangulares;
1) Recta
Ecuación paramétrica: x=X+tcosθ. y=Y+tsinθ (t es un parámetro).
Coordenadas cartesianas: y=ax+b
2) Círculo
Ecuación paramétrica: x=X+rcosθ y=Y+rsinθ (θ es un parámetro ).
Coordenadas cartesianas: x ^ 2+y ^ 2 = r ^ 2 (r es el radio)
3) Elipse
Ecuación paramétrica: x=X +acosθ y=Y+bsinθ (θ es un parámetro).
Coordenadas cartesianas (centro como origen): x^2/a^2+y^2/b^2 = 1.
4) Hipérbola
Ecuación paramétrica: x=X+asecθ y=Y+btanθ (θ es un parámetro).
Coordenadas cartesianas (con el centro como origen): X ^ 2/a ^ 2-Y ^ 2/b ^ 2 = 1 (la dirección de apertura es la ^ 2/b ^ 2 = 1 ( la dirección de apertura es el eje Y).
5) Parábola
Ecuación paramétrica: x = x=2pt^2 y=2pt (t t es un parámetro).
Coordenadas cartesianas: y = ax 2+bx+c (la dirección de apertura es el eje y, a
La ecuación de coordenadas polares unificadas de una sección cónica (cuadrática no circular curva) es
ρ=ep/(1-e cosθ)
Donde e representa la excentricidad y p es la distancia del foco a la directriz
Hipérbola
p>Matemáticamente, la trayectoria que se forma cuando un punto en movimiento se mueve en un plano y la diferencia de distancia entre este y dos puntos fijos en el plano es siempre un valor determinado se llama hipérbola. se llaman hipérbola.
La segunda definición de hipérbola es:
La relación entre la distancia a un punto fijo y la distancia a una línea fija = e, e∈(. 1, +∞)
La ecuación general de la hipérbola es (x 2/a 2)-(y 2/b 2) = 1.
Donde a & gt0, b & gt0, C2 = a ^ 2+b ^ 2, la diferencia entre el punto fijo y los dos puntos fijos es un valor fijo 2a
La ecuación paramétrica de la hipérbola es:
x=X+a segθ
p>y=Y+b tanθ
(θ es un parámetro)
Propiedades geométricas:
1, rango de valores: x ≥ a, x ≤-a
2. Simetría: Simetría respecto del eje de coordenadas y el origen.
3. Vértice: A(-a, 0) A'(a, 0) AA' se llama eje real de la hipérbola, con una longitud de 2a; (0,- b) B'(0,b) BB' se llama eje imaginario de la hipérbola y su longitud es 2b.
4. Asíntota:
y= (b/a)x
5. Excentricidad:
E=c /a valor rango: (1, +∞]
La relación entre un punto de la hipérbola y la distancia desde el punto fijo a la línea recta fija es igual a la excentricidad de la hipérbola.
Elipse
Definición de directorio
Ecuación estándar
Fórmula
Propiedades relacionadas
Historial
Definición
Una elipse es una sección cónica (también llamada sección cónica). Hay dos definiciones en los libros de texto de secundaria:
1. en el plano es un valor constante (definido). Un conjunto de puntos cuyo valor es mayor que la distancia entre dos puntos (estos dos puntos fijos también se llaman foco de la elipse, y la distancia entre los focos se llama distancia focal). );
2. La distancia desde el plano al punto fijo y la distancia a la línea fija. La relación es un conjunto de puntos constante (el punto fijo no está en la línea fija, la constante es positiva). número menor que 1) (el punto fijo es el foco de la elipse y la línea recta se llama directriz de la elipse. Las dos definiciones son equivalentes). En el sistema de coordenadas cartesiano plano, los libros de texto de la escuela secundaria usan ecuaciones para describir elipses. La ecuación estándar de elipses es: x ^ 2/a ^ 2+y ^ 2/b ^ 2. = 1.
Donde. a & gt0, b & gt0. El más grande de A y B es el semieje mayor de la elipse, y el más corto es el semieje menor (la elipse tiene dos ejes de simetría, hay dos segmentos de línea después). siendo cortado por la elipse, que se denominan semieje mayor y semieje menor de la elipse respectivamente) Cuando A > B, el foco está en el eje X, la distancia focal es 2 * (A 2-B; 2) 0.5, la directriz La ecuación es X = A 2/C, =acosθ, y=bsinθ
Fórmula
La fórmula del área de la elipse:
Fórmula del perímetro de la elipse:
c = 2bπ(π)/A×raíz (2A cuadrado-2b cuadrado) (donde A y B son los ejes mayor y menor de la elipse respectivamente)
Características relacionadas
Porque la forma obtenida por un tronco plano (o cilindro) puede ser una elipse, es una sección cónica.
Por ejemplo, hay un cilindro, que se corta para obtener una sección transversal. (usando la primera definición anterior):
Extruye el cilindro desde ambos extremos hacia el centro. Dos hemisferios con el mismo radio que el cilindro se detienen cuando tocan la sección, luego obtendrás dos puntos comunes, los cuales. son obviamente los puntos tangentes de la sección y la esfera.
Supongamos que los dos puntos son F1 y F2.
Para cualquier punto P de la sección transversal, la barra colectora Q1 y Q2. que pasan por P son cilindros, y los círculos máximos tangentes a la esfera y al cilindro se cortan en Q1 y Q2 respectivamente.
Entonces PF1=PQ1, PF2=PQ2, entonces PF1+PF2=Q1Q2.
Según la definición de 1, la sección transversal es una elipse con f 1 y F2 como focos.
De la misma forma, también se puede demostrar que la sección oblicua del cono (que no pasa por el fondo) es una elipse.
La elipse tiene algunas propiedades ópticas: la superficie especular de la elipse (una figura tridimensional formada al girar la elipse 180 grados con el eje mayor de la elipse como eje, y todas sus superficies exteriores son transformadas en superficies reflectantes, que son huecas) toda la luz emitida desde un foco se refleja hacia el otro foco una lente elíptica (parte de la sección transversal es elíptica) tiene la función de converger la luz (también llamada lente convexa) . Las gafas de lectura, las lupas y las gafas de visión de lejos son lentes de este tipo (estas propiedades ópticas pueden demostrarse mediante prueba por contradicción).
¿Qué es una parábola?
En el plano, se llama parábola a la trayectoria (o conjunto) de puntos que equidistan de un punto fijo F y de una recta fija L.
Además, a F se le llama "foco de la parábola" y a L se le llama "directriz de la parábola".
La distancia desde el foco a la parábola se define como la "distancia focal". Utilice p & gt0.
Inserte el plano tangente en el cono en la dirección paralela a. el suelo, y puedes obtener un círculo. Si inclinas el avión,
puedes hacer una parábola hasta que quede paralela al lado.
2. Ecuación estándar de la parábola
Parábola de apertura hacia la derecha: y^2 = 2px
Parábola de apertura hacia la izquierda: y^2 =-2px
Parábola de apertura superior: y = x 2/2p
Parábola de apertura inferior: y =-x 2/2p
Parámetros relacionados con la parábola (para apertura de parábola a a la derecha )
Excentricidad: e=1
Enfoque: (p/2, 0)
Alinear ecuación l: x=-p/2
Vértice: (0, 0)
4. Su solución analítica: método de sustitución de tres puntos.
5. Propiedades ópticas de la parábola: después de que la luz que pasa por el foco es reflejada por la parábola, queda paralela al eje de simetría de la parábola.
Parábola: y = ax*+bx+c
y es igual a ax más bx más c al cuadrado.
Cuando a> es 0, la apertura es hacia arriba.
Cuando a & lt es 0, la apertura es hacia abajo
Cuando c = 0, la parábola pasa por el origen
Cuando b = 0, el eje de simetría de la parábola es el eje Y.
Y vértice y = a (x-h) *+K.
Es decir, y es igual a a multiplicado por (x-h) + K al cuadrado.
h es la coordenada x del vértice.
k es la coordenada y del vértice.
Generalmente se utiliza para encontrar los valores máximo y mínimo.
Ecuación estándar de la parábola: y ^ 2 = 2px
Significa que el foco de la parábola está en el semieje positivo de X, la coordenada del enfoque es (p/2 , 0), la ecuación directriz es x=-p/2.
Dado que el foco de una parábola puede estar en cualquier semieje, existe una ecuación estándar común y 2 = 2px y 2 =-2px x 2 = 2py x 2 =-2py.