Varias demostraciones alternativas y extensiones de la fórmula de Helen
Las principales aplicaciones de las fórmulas para calcular el área de triángulos en la resolución de problemas son:
Supongamos △ abc , a, b, c son los lados opuestos de los ángulos a, b, c respectivamente, ha es la altura en el lado a, r y r son los radios de la circunferencia circunscrita y del círculo inscrito de △abc respectivamente, p
=
(a
b
c), luego
s△abc
=
aha=
ab×sinc
=
r
p
=
2r2sinasinbsinc
=
=
Entre ellos, s△abc
=
is La famosa fórmula de Heron está registrada en el libro "Geodesia" del matemático griego Heron.
La fórmula de Heron tiene una aplicación muy importante en la resolución de problemas.
1.
Deformación de la fórmula de Herón
s=
=
①
=
②
=
③
=
④
=
⑤
2.
Demostración de la fórmula de Helen
Prueba 1
Teorema de Pitágoras
p>Análisis: comience con la fórmula de cálculo más básica de un triángulo, s△abc
=
aha, y use el teorema de Pitágoras para derivar la fórmula de Helen.
Demostración: Como se muestra en la figura ha⊥bc, según el teorema de Pitágoras, obtenemos:
x
=
y
=
ja
=
=
=
∴
s△abc
=
aha=
a×
=
En esta vez s△abc Es la deformación ④, así está demostrado.
Prueba 2: Teorema de Sri Lanka
Análisis: según la prueba 1, utilice el teorema de Sri Lanka para encontrar directamente ha.
Teorema de Escocia: toma cualquier punto d en el lado bc de △abc,
Si bd=u, dc=v, ad=t Entonces
t.
2
=
Prueba: De la prueba 1 podemos ver que u
=
v
=
∴
ja
2
=
t
2
=
－
∴
s△abc
=
aha
=
a
×
=
Esta es la deformación de s △abc⑤ , así queda demostrado.
Prueba 3: Teorema del coseno
Análisis: A partir de la deformación ②
s
=
Puede Se puede ver que usando el teorema del coseno
c2
=
a2
b2
－2abcosc
Pruébalo.
Prueba: Para probar s
=
, debes probar s
=
=
=
ab×sinc
En este momento s
=
ab×sinc es la fórmula de cálculo del triángulo , entonces obtenemos el certificado.
Prueba 4: Identidad
Análisis: considere usar s△abc
=r
p, porque hay un radio de la Aparece el círculo inscrito del triángulo, considere aplicar las identidades de funciones trigonométricas.
Identidad: Si ∠a
∠b
∠c
=180○entonces
tg
·
tg
tg
·
tg
tg
·
tg
=
1
Prueba: Como se muestra en la figura, tg
=
①
tg
=
②
tg
=
③
Según la identidad, obtenemos:
=
Sustituyendo ①②③, obtenemos:
∴r2(x
y
z)
=
xyz
④
Como se muestra en la figura: a＋b－c
=
(x
z)+(x
y )－(z
y)
=
2x
∴x
=
De manera similar: y
=
z
=
Sustituye en
④, obtenemos :
r
2
·
=
Multiplicar ambos lados por
, obtenemos:
r
2
·
=
Rastrilla los cuadrados de ambos lados para obtener:
r
·
=
R izquierda
·
=
r·p=
s△abc
El lado derecho es la deformación de la fórmula de Helen ①, así está demostrado.
Prueba 5: Teorema del medio ángulo
Teorema del medio ángulo: tg
=
tg
=
tg
=
Prueba: Según tg
=
=
∴r
=
×
y
①
De manera similar r
=
×
z
②
r
=
×
x
③
①×②×③, obtiene:
r3
=
×xyz
∵ De la prueba 1, x
=
=
-c
=
p－c
y
=
=
－a
=
p-a
z
=
=
-b
=
p－b
∴
r3
=
∴
r
=
∴s△abc
=
r·p
=
Así está demostrado.
3.
Generalización de la fórmula de Heron
Dado que en aplicaciones prácticas, muchas veces es necesario calcular el área de un cuadrilátero, es necesario generalizar la fórmula de Heron. Dado que el triángulo está inscrito en el círculo, se conjetura que la generalización de la fórmula de Herón es: en cualquier cuadrilátero abcd inscrito en el círculo, suponiendo p =
, entonces s cuadrilátero =
Ahora según Demuestra la conjetura.
Demostración: Como se muestra en la figura, si da se extiende, cb se cruza en el punto e.
Supongamos ea
=
e
eb
=
f
∵∠1
∠2
=180○
∠2
∠3
=180○
∴∠1
=∠3
∴△eab～△ecd
∴
=
=
=
Solución:
e
=
①
f
=
②
Desde s cuadrilátero abcd
=
s△eab
Poner ①, ② y b
=
en la fórmula para transformar ④, obtenemos:
∴s Cuadrilátero abcd
=
=
=
=
=
>
=
=
=
=
=
Entonces, se demuestra la generalización de la fórmula de Helen.
4.
Aplicación de la generalización de la fórmula de Heron
La generalización de la fórmula de Heron ha sido ampliamente utilizada en la resolución de problemas prácticos, especialmente en el campo de lo inscrito. círculos. Entre varias preguntas integrales sobre cuadriláteros, la aplicación directa de la generalización de la fórmula de Heron a menudo produce el doble de resultado con la mitad del esfuerzo.
Ejemplo: Como se muestra en la figura, el cuadrilátero abcd está inscrito en el círculo o, sabcd
=
, ad
=
1, ab
=
1,
cd
=
2.
Encontrar: El cuadrilátero puede ser un trapezoide isósceles.
Solución: Supongamos que bc
=
x
Al generalizar la fórmula de Herón, obtenemos:
=
(4-x)(2+x)2
=27
x4-12x2-16x+27
=
x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1)
=
(x－1)(x3＋x2－11x －27)
=
x
=
1 o x3+x2-11x-27
=
Cuando x
=
1, ad
=
bc
=
1
∴
El cuadrilátero puede ser un trapezoide isósceles.