= sinβcosβ+cosβsinα+cosαsinα+sinβcosα+sinαcosα= sin(α+β)+sinβcosβ+sinαcosα.
El área de un rectángulo grande menos las áreas de cuatro triángulos rectángulos es igual al área de la parte sombreada S 1.
El área de la parte en blanco es igual al área de cuatro triángulos rectángulos, es decir, 2×(12 sinβCOSβ+12 sinαCOSα)= sinβCOSβ+sinαCOSα.
Entonces el área de la sombra es S 1 = S-sinβcosβ+sinαcosα= sin(α+β).
¿Y el área S2 de la zona sombreada de la imagen de la derecha? Igual a la suma de las áreas de los dos pequeños rectángulos sombreados, es decir, S2 = sen α cos β+cos α sen β.
En la imagen de la derecha, el área del rectángulo grande también es igual a S, y S2 es igual al área del rectángulo grande menos las áreas de los dos rectángulos pequeños en blanco ,
y las áreas de los dos rectángulos en blanco La suma es sinβcosβ+sinαcosα,
Por lo tanto, el área del espacio en blanco en la imagen de la izquierda es igual al espacio en blanco. área en la imagen de la derecha.
Entonces las áreas de las partes sombreadas en las imágenes izquierda y derecha también son iguales, es decir, S1 =S2, entonces sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
Entonces la respuesta es sen (α+ β) = sen α cos β+cos α sen β.