1 La fórmula para la expansión a la enésima potencia de x es: (x-1)^n=Cn0x^n Cn1x^ (n-1) (-1)^1 Cn2x^ (n- 2) ( -1)^2... Cn(n-1)x(-1)^(n-1) Cnn(-1)^n(x 1)^n.
El teorema de Taylor creó la teoría de las diferencias finitas, permitiendo que cualquier función de variable única se expandiera en una serie de potencias; también convirtió a Taylor en el fundador de la teoría de las diferencias finitas. Taylor también analizó el cálculo en el libro Para la aplicación. De una serie de problemas físicos, los resultados relacionados con la vibración transversal de cuerdas son particularmente importantes. Al resolver ecuaciones, se derivó la fórmula de frecuencia básica, siendo pionero en el estudio de los problemas de vibración de cuerdas.
Teorema del valor medio de Taylor:
Si la función f(x) tiene una derivada de orden n 1 en el intervalo abierto (a, b) que contiene x, entonces cuando la función está en este intervalo Cuando está dentro, se puede expandir a una suma de polinomios alrededor de (x-x0) y un resto.
f(x)=f(x0) f'(x0)*(x-x0) f''(x0)/2!*(x-x0)^2， f'''( x0)/3!*(x-x0)^3 …… f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n Rn(x).
Donde Rn(x)=f(n 1)(ξ)/(n 1)! *(x-x0)^(n 1), donde ξ está entre x y x0, y este resto se llama resto lagrangiano.
La condición para utilizar la fórmula de Taylor es: f(x) es diferenciable de orden n. donde o((x-x0)^n) representa un infinitesimal de orden superior que el infinitesimal (x-x0)^n.
La aplicación más típica de la fórmula de Taylor es encontrar el valor aproximado de cualquier función. La fórmula de Taylor también se puede utilizar para encontrar infinitesimales equivalentes, probar desigualdades, encontrar límites, etc.