Teorema del valor medio de Taylor: Si la función f(x) tiene una derivada hasta n de 1er orden en el intervalo abierto (a, b), entonces cuando la función está en este intervalo, se puede expandir en una función sobre (x-x .) La suma de un polinomio y un resto: f(x)=f(x.) f'(x.)(x-x.) f''(x.)/2!?6? 1(x-x.)^2 , f''(x.)/3!?6?1(x-x.)^3 ...... f(n)(x.)/n!?6?1 (x-x.)^n Rn donde Rn=f (n 1)(ξ)/(n 1)!?6?1(x-x.)^(n 1), donde ξ está entre x y x., este resto es llamado resto lagrangiano. (Nota: f(n)(x.) es la derivada de orden n de f(x.), no la multiplicación de f(n) y x.) Prueba: Sabemos que f(x)=f(x. ) f '(x.)(x-x.) α (El teorema del incremento finito derivado del teorema del valor medio de Lagrange es limΔx→0 f(x. Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx), donde el error α tiende a 0 bajo la premisa de limΔx→0, es decir, limx→x., por lo que el cálculo aproximado a menudo no es lo suficientemente preciso, por lo que necesitamos un polinomio que sea lo suficientemente preciso y pueda estimar el error: P (x; )=A0 A1(x-x.) A2(x-x.)^2 ...... An(x-x.)^n para representar aproximadamente la función f(x) y anotar el error específico f(x)- Expresión P(x). Supongamos que la función P(x) satisface P(x.)=f(x.), P'(x.)=f'(x.), P''(x.)=f''(x.),… ..., P(n)(x.)=f(n)(x.), por lo que A0, A1, A2, ..., An se pueden encontrar en secuencia. Obviamente, P(x.)=A0, entonces A0=f(x.); P'(x.)=A1, A1=f'(x.); =f''(x.)/2!...P(n)(x.)=n!An, An=f(n)(x.)/n!. En este punto, se han calculado los coeficientes de los múltiples términos y obtenemos: P(x)=f(x.) f'(x.)(x-x.) f''(x.)/2!?6 ?1( x-x.)^2 …… f(n)(x.)/n!?6?1(x-x.)^n A continuación, se requiere la expresión específica del error. Supongamos Rn(x)=f(x)-P(x), entonces Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0. Por lo que se puede concluir que Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=...=Rn(n)(x.)=0. Según el teorema del valor medio de Cauchy, podemos obtener Rn(x)/(x-x.)^(n 1)=Rn(x)-Rn(x.)/(x-x.)^(n 1)-0=Rn' (ξ1)/ (n 1)(ξ1-x.)^n (Nota: (x.-x.)^(n 1)=0), donde ξ1 está entre x y x.; teorema para obtener Rn'( ξ1)-Rn'(x.)/(n 1)(ξ1-x.)^n-0=Rn''(ξ2)/n(n 1)(ξ2-x.)^ (n-1)aquí ξ2 está entre ξ1 y x.; después de usar n 1 veces continuamente, obtenemos Rn(x)/(x-x.)^(n 1)=Rn(n 1)(ξ)/(n 1). )!, donde ξ está entre x y x. Pero Rn(n 1)(x)=f(n 1)(x)-P(n 1)(x), ya que P(n)(x)=n!An, n!An es una constante, entonces P (n 1)(x)=0, entonces Rn(n 1)(x)=f(n 1)(x). En resumen, el resto Rn(x)=f(n 1)(ξ)/(n 1)!?6?1(x-x.)^(n 1). En términos generales, cuando se expande una función, es por necesidades de cálculo, por lo que x a menudo necesita tomar un valor fijo. En este caso, Rn (x) también se puede escribir como Rn.
Expansión de Maclaurin: si la función f(x) tiene una derivada de orden n en el intervalo abierto (a, b), entonces, cuando la función está en este intervalo, se puede expandir a una suma de polinomios alrededor de x y un resto. : f(x)=f(0) f'(0)x f''(0)/2!?6?1x^2, f''(0)/3!?6?1x^3. .. f(n)(0)/n!?6?1x^n Rn donde Rn=f(n 1)(θx)/(n 1)!?6?1x^(n 1), donde 0lt; ; 1 . Prueba: Si queremos usar un polinomio P(x)=A0 A1x A2x^2... Anx^n para representar aproximadamente la función f(x) y obtener una expresión específica de su error, podemos reescribir la fórmula de Taylor como relativamente simple La forma es la forma especial cuando x.=0: f(x)=f(0) f'(0)x f''(0)/2!?6?1x^2, f'''( 0 )/3!?6?1x^3 …… f(n)(0)/n!?6?1x^n f(n 1)(ξ)/(n 1)!?6?1x^(n 1 ) Como ξ está entre 0 y x, se puede escribir como θx, 0lt; Aplicación de la expansión de McLaughlin: 1. Ampliar las funciones trigonométricas y=senx e y=cosx. Solución: Según la tabla de derivadas: f(x)=sinx, f'(x)=cosx, f''(x)=-sinx, f''(x)=-cosx, f(4)(x ) =sinx... Entonces se deriva la ley periódica. Calcular f(0)=0, f'(0)=1, f''(x)=0, f''(0)=-1, f(4)=0... Finalmente, podemos obtener : senx =x-x^3/3! 2. Calcule el valor aproximado e=lim x→∞ (1 1/x)^x.