Si la función f(x) tiene una derivada de orden n en el intervalo cerrado [a, b] que contiene x0 y una derivada de orden (n 1) en el intervalo abierto (a, b), entonces, para cualquier punto x en el intervalo cerrado [a, b], se cumple la siguiente ecuación:
que representa la derivada de orden n de f(x), y el polinomio después del signo igual se llama función f(x) En la expansión de Taylor en x0, el Rn(x) restante es el resto de la fórmula de Taylor, que es el infinitesimal de orden superior de (x-x0) n.
Resto
El resto Rn(x) de la fórmula de Taylor se puede escribir de las siguientes formas diferentes:
Los elementos restantes de 1 y A'tun:
Aquí solo se necesitan derivadas de orden n.
2.Elementos restantes de Schlomilch-Roche:
Donde θ∈(0, 1), p es cualquier número real positivo. (Tenga en cuenta que p=n 1 y p=1 corresponden al resto lagrangiano y al resto de Cauchy, respectivamente). [2]?
3. Resto de Lagrange:
Entre ellos θ∈(0, 1).
4. Resto de Cauchy:
Donde θ∈(0, 1).
5. Resto de la integral:
De hecho, muchos de los términos restantes anteriores son equivalentes.
Un resto
Las siguientes son las fórmulas de Taylor de algunas funciones comúnmente utilizadas:
Datos extendidos:
En aplicaciones prácticas, el resto Fórmula de Taylor Es necesario truncar y tomar solo términos finitos. La serie de Taylor de términos finitos de una función se llama expansión de Taylor. El resto de la fórmula de Taylor se puede utilizar para estimar el error de aproximación.
La importancia de la expansión de Taylor se refleja en los siguientes cinco aspectos:
La derivación e integración de 1 y series de potencias se pueden realizar elemento por elemento, por lo que la función de suma es relativamente fácil.
2. La función analítica se puede generalizar a la función analítica definida en el corte en el plano complejo, y el método de análisis complejo es factible.
3. Las series de Taylor se pueden utilizar para aproximar valores de funciones y estimar errores.
4. Demuestra la desigualdad.
5. Encuentra el límite de la fórmula indeterminada.
La fórmula de Taylor es una fórmula que utiliza información sobre una función en un punto determinado para describir sus valores cercanos. Si la función es lo suficientemente suave y se conocen los valores derivados de cada orden de la función, la fórmula de Taylor puede usar estos valores derivados como coeficientes para construir un polinomio para aproximar el valor de la función en la vecindad del punto. La fórmula de Taylor también da la desviación de este polinomio del valor real de la función.
La fórmula de Taylor lleva el nombre de la matemática británica Brooke Taylor. Describió esta fórmula por primera vez en una carta de 1712, aunque James Gray Gowrie descubrió un caso especial en 1671. Antes de 1797, Lagrange propuso por primera vez el teorema de Taylor con resto.
Materiales de referencia:
Fórmula de Taylor_Enciclopedia Baidu