Fórmula de Taylor: f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)^2+. ..+f(n)(a)/n!*(x-a)^n
Ahora f(x)=1/(1-x), toma la derivada y obtén f'(x) = - 1/(1-x)^2 *(-1)=1/(1-x)^2, f''(x)= -2/(1-x)^3 *(-1)= 2/ (1-x)^3, y así sucesivamente para obtener fn(x)=n! /(1-x)^(n+1)
Sustituye a=0, luego f(0). )=1 , f'(0)=1, fn(0)=n!
Entonces la solución es f(x)=1+1!/1! *x+2!/2! *x^2 +...+n!/n! *x^n
Información extendida
La fórmula de Taylor es una fórmula que utiliza la información de una función en un punto determinado para describir su valor cercano. Si la función es lo suficientemente suave y se conocen los valores derivados de cada orden de la función en un punto determinado, la fórmula de Taylor puede usar estos valores derivados como coeficientes para construir un polinomio para aproximar el valor de la función en el barrio de este punto. La fórmula de Taylor también da la desviación entre este polinomio y el valor real de la función.
El teorema de Taylor creó la teoría de las diferencias finitas, permitiendo que cualquier función de variable única se expandiera a una serie de potencias; también convirtió a Taylor en el fundador de la teoría de las diferencias finitas. En el libro, Taylor también analiza la aplicación del cálculo a una serie de problemas físicos, entre los que destacan los resultados relativos a la vibración transversal de las cuerdas. Derivó la fórmula de la frecuencia fundamental resolviendo ecuaciones y fue pionero en el estudio de los problemas de vibración de cuerdas.
Material de referencia Enciclopedia Baidu-Fórmula de Taylor