Artículo 1: Recta
1. Ángulos congruentes o ángulos congruentes de ángulos iguales son iguales.
2. Hay y sólo A una recta es perpendicular a una recta conocida.
3 Sólo hay una recta entre dos puntos.
5. Los ángulos suplementarios de ángulos congruentes o iguales.
6. Entre todos los segmentos de recta que conectan un punto fuera de la recta y todos los puntos de la recta, el segmento de recta vertical es el axioma paralelo.
8 Si dos rectas son paralelas a una tercera recta, entonces las dos rectas también son paralelas a. entre sí.
9. Teorema: La distancia entre un punto en la perpendicular media de un segmento de recta y los dos puntos finales del segmento de recta es igual
10. El teorema es que la distancia entre los dos puntos finales de un segmento de línea es igual en la perpendicular media de este segmento de línea.
11 La perpendicular media de un segmento de línea se puede considerar como el conjunto de. todos los puntos con igual distancia entre los dos extremos del segmento de recta
12: Dos figuras que son simétricas respecto de una recta son conformes
13. Si dos figuras son simétricas con respecto a una línea recta, entonces el eje de simetría es la línea perpendicular que conecta los puntos correspondientes
14: Dos gráficas son simétricas con respecto a una línea recta. o las líneas de extensión se cruzan, entonces el punto de intersección está en el eje de simetría.
15 El teorema inverso si las dos gráficas están conectadas si la recta correspondiente al punto es bisecada perpendicularmente por la misma recta. línea, entonces las dos figuras son simétricas con respecto a esta línea recta.
Teorema de la fórmula geométrica de la escuela secundaria: ángulos
16, dos líneas rectas son iguales. p>
17. Los ángulos internos de la dislocación son iguales
18. Los ángulos internos del mismo lado son complementarios
19. ángulos iguales.
20. Dos rectas son paralelas y los ángulos de dislocación interna son iguales
21. . Teorema 1: Un punto en la bisectriz de un ángulo es equidistante de ambos lados del ángulo
23. >24. La bisectriz de un ángulo es el conjunto de todos los puntos que equidistan de ambos lados del ángulo.
Capítulo 2: Triángulos
25. Los lados de un triángulo son mayores que. El tercer lado.
26. Infiere que la diferencia entre los dos lados del triángulo es menor que el tercer lado. de los ángulos interiores del triángulo es 180.
28.1 Triángulo rectángulo Corolario que dos ángulos agudos son complementarios
29 Un ángulo exterior de un triángulo es igual a. suma de dos ángulos interiores no adyacentes.
30. Corolario 3 El ángulo exterior de un triángulo es mayor que cualquier ángulo interior que no sea adyacente a él. Teorema La suma de los cuadrados de los dos ángulos rectos A y B de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa C, es decir, A+B = C.
32. Inverso del Teorema de Pitágoras Si los tres lados de un triángulo tienen la relación a+b=c, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo.
Capítulo 3: Triángulo Isósceles y Triángulo Rectángulo
33 La esencia del teorema del triángulo isósceles Los dos ángulos base de un triángulo isósceles son iguales.
34. Corolario 1 La bisectriz del vértice de un triángulo isósceles biseca la base y es perpendicular a la base.
35. El vértice bisectriz de un triángulo isósceles, la línea media en la base y la altura coinciden.
36. Corolario 3 Todos los ángulos de un triángulo equilátero son iguales y cada ángulo mide 60°.
37. Teorema de determinación del triángulo isósceles Si un triángulo tiene dos ángulos iguales, entonces los lados de los dos ángulos también son iguales (equiangulares y equiláteros).
38. Corolario 1 Un triángulo con tres ángulos iguales es un triángulo equilátero.
Corolario 2 Un triángulo isósceles con un ángulo igual a 60° es un triángulo equilátero.
40. En un triángulo rectángulo, si un ángulo agudo es igual a 30°, entonces el lado derecho al que se enfrenta es igual a la mitad de la hipotenusa.
41. La línea media de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la mitad de la hipotenusa.
Artículo 4: Triángulos semejantes y congruentes
42 Teorema: Si una recta paralela a un lado de un triángulo corta a los otros dos lados (o extensiones de ambos lados), el El triángulo formado será el mismo que el triángulo original.
43. Teorema de determinación de triángulos semejantes 1 Dos ángulos son iguales y dos triángulos son semejantes (ASA)
44 Dos triángulos rectángulos divididos por la altura de la hipotenusa son semejantes. al triángulo original.
45. Determinación Teorema 2: Si ambos lados son proporcionales y los ángulos son iguales, los dos triángulos son semejantes (SAS).
46. Determinación Teorema 3: Tres lados son proporcionales y dos triángulos son semejantes (SSS)
Teorema: Si la hipotenusa y un lado rectángulo de un triángulo rectángulo son iguales como hipotenusa de otro triángulo rectángulo. Si un lado es proporcional a un lado recto, entonces los dos triángulos rectángulos son semejantes.
48. Teorema de propiedad 1: Los triángulos semejantes corresponden a razones de altura. Las razones de las líneas medias correspondientes y las razones de las bisectrices de ángulos correspondientes son iguales a la razón de similitud.
49. Teorema de propiedad 2 La razón de los perímetros de triángulos semejantes es igual a la razón de similitud.
50. Teorema de propiedad 3 La razón de las áreas de triángulos semejantes es igual al cuadrado de la razón de similitud.
51. Axioma angular Hay dos triángulos con ángulos iguales.
52. Axioma de los ángulos Un triángulo tiene dos ángulos iguales y dos lados correspondientes.
53. Infiere que hay dos ángulos, y el lado opuesto de un ángulo corresponde a la congruencia de los dos triángulos.
54. El axioma de los lados es que dos triángulos tienen tres lados iguales correspondientes que son congruentes.
55. El axioma de hipotenusa y lado rectángulo tiene la hipotenusa y un lado rectángulo correspondientes a la coincidencia de dos triángulos rectángulos.
56. Los lados y ángulos correspondientes de triángulos congruentes son iguales.
Capítulo 5: Cuadrilátero
57. La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360 grados.
58. La suma de los ángulos exteriores de un cuadrilátero es igual a 360°.
59. Teorema La suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a (n-2) × 180.
60. Infiere que la suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es igual a 360.
61. Teorema 1 de las propiedades del paralelogramo: Las diagonales de los paralelogramos son iguales
62 Teorema 2 de las propiedades del paralelogramo: Los lados opuestos de los paralelogramos son iguales
63. Abrazadera La inferencia de que los segmentos de recta paralela entre dos rectas paralelas son iguales.
64. Teorema 3 de las propiedades del paralelogramo Las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí.
65. Teorema 1 de determinación de paralelogramos Dos conjuntos de cuadriláteros con diagonales iguales son paralelogramos.
66. Teorema 2 de determinación del paralelogramo Un cuadrilátero con dos lados opuestos iguales es un paralelogramo.
67. Teorema 3 de determinación del paralelogramo Un cuadrilátero cuyas diagonales se bisecan es un paralelogramo.
68. Teorema 4 de determinación de paralelogramos Un conjunto de paralelogramos con lados opuestos paralelos e iguales es un paralelogramo.
Capítulo 6: Rectángulo
69. Propiedades del teorema del rectángulo 1 Las cuatro esquinas de un rectángulo son todas ángulos rectos.
70. Teorema de la propiedad del rectángulo: Las dos diagonales de un rectángulo son iguales
71 Teorema de determinación del rectángulo 1 Un cuadrilátero con tres ángulos rectos es un rectángulo.
72. Teorema 2 de determinación del rectángulo Un paralelogramo con diagonales iguales es un rectángulo.
Capítulo 7: Diamantes
73. Teorema 1 de las propiedades del diamante Los cuatro lados de un diamante son iguales
74. Teorema 2 de las propiedades del rombo Diagonales de un rombo perpendicular. entre sí, cada diagonal biseca un conjunto de diagonales.
75. El área de un rombo = la mitad del producto de la diagonal, es decir, S = (a × b) ÷ 2.
76. Teorema 1 de determinación del rombo Un cuadrilátero con cuatro lados iguales es un rombo.
77. Teorema 2 de determinación del rombo Un paralelogramo cuyas diagonales son perpendiculares entre sí es un rombo.
Capítulo 8: Cuadrado
78. Propiedades del teorema del cuadrado 1 Las cuatro esquinas de un cuadrado son ángulos rectos y los cuatro lados son iguales.
79. Propiedades del teorema del cuadrado 2 Las dos diagonales de un cuadrado son iguales y se bisecan perpendicularmente, y cada diagonal bisecta un conjunto de diagonales.
80. El teorema 1 es congruente con respecto a dos gráficas centralmente simétricas.
81, Teorema 2: Respecto a dos figuras centralmente simétricas, las líneas que conectan los puntos de simetría pasan por el centro de simetría y están divididas equitativamente por el centro de simetría.
82. Teorema inverso Si una línea recta que conecta los puntos correspondientes de dos gráficas pasa por un cierto punto y es dividida igualmente por el punto, entonces las dos gráficas son simétricas con respecto al punto.
Capítulo 9: Trapecio Isósceles
83. Teorema de la propiedad del trapecio isósceles Dos ángulos de un trapecio isósceles sobre la misma base son iguales.
84. Las dos diagonales de un trapezoide isósceles son iguales.
85. Teorema de determinación del trapecio isósceles Dos trapecios equiangulares sobre la misma base son trapecios isósceles.
86. Un trapezoide con diagonales iguales es un trapezoide isósceles.
Capítulo 10: Equipartición
87. Teorema de rectas paralelas y segmentos iguales Si un conjunto de rectas paralelas tiene segmentos iguales en una recta, entonces los segmentos de otras rectas también lo son. igual.
88. Corolario 1: A través de una línea recta paralela a la cintura inferior del trapezoide, la otra cintura lo bifurcará.
89. Corolario 2 Una línea recta que pasa por el punto medio de un lado de un triángulo y es paralela al otro lado bisectará el tercer lado.
90. El teorema de la línea media de un triángulo es paralelo al tercer lado e igual a la mitad del tercer lado.
91. Teorema de la línea media del trapezoide La línea media del trapezoide es paralela a las dos bases e igual a la mitad de la suma de las dos bases L = (a+b) ÷ 2s = l× h.
92. (1) Las propiedades básicas de la proporción. Si a:b=c:d, entonces ad=bc, entonces A: B = C: D.
93.(2) Propiedades de combinación Si a/b=c/d, entonces (A B)/B = (C D)/D.
94.(3) Propiedad isométrica Si a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0), entonces (A+C+…+M)/ ( B+D+…+N) = A/B.
95. Teorema de la proporción de segmentos de recta paralelos Si tres rectas paralelas cortan dos rectas, los segmentos de recta correspondientes serán proporcionales.
96. Se infiere que cuando una recta paralela a un lado de un triángulo corta a los otros dos lados (o las líneas de extensión de ambos lados), los segmentos de recta correspondientes obtenidos son proporcionales.
97.Teorema Si los segmentos de recta correspondientes obtenidos al cortar dos lados (o extensiones de ambos lados) de un triángulo son proporcionales, entonces esta recta es paralela al tercer lado del triángulo.
98. Para una línea recta paralela a un lado de un triángulo y que corta a los otros dos lados, los tres lados del triángulo cortado son proporcionales a los tres lados del triángulo original.
99. El seno de cualquier ángulo agudo es igual al coseno de los demás ángulos, y el coseno de cualquier ángulo agudo es igual al seno de los demás ángulos.
100, la tangente de cualquier ángulo agudo es igual a la cotangente de los demás ángulos, y la cotangente de cualquier ángulo agudo es igual a la tangente de los demás ángulos.
Artículo 11
101. Una circunferencia es un conjunto de puntos cuya distancia a un punto fijo es igual a una longitud fija.
102. El interior de un círculo puede considerarse como un conjunto de puntos cuya distancia entre centros es menor que el radio.
103. El exterior de un círculo puede considerarse como un conjunto de puntos cuya distancia entre centros es mayor que el radio.
104, el mismo círculo o el mismo radio.
105. La trayectoria de un punto cuya distancia a un punto fijo es igual a una longitud fija es un círculo con el punto fijo como centro y la longitud fija como radio.
106. Se sabe que la trayectoria de un punto en el que los dos extremos de un segmento de recta son equidistantes es la perpendicular media del segmento de recta.
107. El lugar geométrico de un punto equidistante de ambos lados de un ángulo conocido es la bisectriz del ángulo.
108. El lugar geométrico de un punto equidistante de dos rectas paralelas es una recta paralela y equidistante de las dos rectas paralelas.
109. El teorema no determina una línea recta a partir de tres puntos de una línea recta.
110, Teorema del diámetro vertical El diámetro perpendicular a la cuerda divide la cuerda y biseca los dos arcos opuestos a la cuerda.
111, Corolario 1 ① Biseca el diámetro (no el diámetro) de la cuerda perpendicular a la cuerda y biseca los dos arcos opuestos a la cuerda.
(2) La perpendicular a la cuerda pasa por el centro del círculo y biseca los dos arcos opuestos a la cuerda.
③ Divide en dos el diámetro del arco opuesto a la cuerda, divide en dos la cuerda perpendicularmente y divide en dos el diámetro del arco opuesto a la cuerda.
112. Corolario 2: Los arcos entre dos cuerdas paralelas de una circunferencia son iguales.
113. Un círculo es una figura centralmente simétrica con el centro del círculo como centro de simetría.
114. Teorema: En el mismo círculo o dentro del mismo círculo, ángulos centrales iguales tienen arcos iguales, cuerdas iguales y distancias cuerda-centro iguales.
115. Infiere que en un mismo círculo o dentro de un mismo círculo, si un conjunto de cantidades en dos ángulos centrales, dos arcos, dos cuerdas o la distancia entre cuerdas entre dos cuerdas son iguales, entonces La los otros conjuntos de cantidades correspondientes también son iguales.
116. Teorema: El ángulo de un arco es igual a la mitad de su ángulo central.
117, Corolario 1 Los ángulos circunferenciales de un mismo arco o arcos iguales son iguales en el mismo círculo o dentro de un mismo círculo, los arcos opuestos a ángulos circunferenciales iguales también son iguales;
118, Corolario 2 El ángulo circunferencial (o diámetro) de un semicírculo es un ángulo recto; la cuerda de un ángulo circunferencial de 90° es el diámetro.
119, Corolario 3 Si la línea media de un lado de un triángulo es igual a la mitad de este lado, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo.
120. Teorema: Las diagonales de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia son complementarias, y cualquier ángulo exterior es igual a su diagonal interior.
121, ① La recta l corta a ⊙O dR2 La recta l es tangente a ⊙O D = R3 La recta l está separada de ⊙O por D r
122. Teorema de juicio de la línea tangente Una línea recta que pasa por el extremo exterior del radio y es perpendicular a este radio es la tangente al círculo.
123, el teorema de la propiedad de las rectas tangentes. La tangente de una circunferencia es perpendicular al radio que pasa por el punto tangente.
124, Corolario 1: Una recta que pasa por el centro del círculo y perpendicular a la tangente debe pasar por el punto tangente.
125, Corolario 2: Una recta que pasa por la tangente y es perpendicular a la tangente debe pasar por el centro del círculo.
126. El teorema de la longitud de la tangente establece que dos tangentes a un círculo se trazan desde un punto fuera del círculo y sus longitudes tangentes son iguales. La línea entre el centro del círculo y este punto biseca el ángulo entre las dos líneas tangentes.
127. La suma de los dos lados opuestos de un cuadrilátero que circunscribe un círculo es igual.
128, Teorema del ángulo de la cuerda El ángulo de la cuerda es igual al ángulo circunferencial del par de arcos que contiene.
129. De esto se puede inferir que si los arcos intercalados entre dos ángulos tangentes a la cuerda son iguales, entonces los dos ángulos tangentes a la cuerda también son iguales.
130. Teorema de las cuerdas que se cruzan: La longitud de dos cuerdas que se cruzan en un círculo dividida por el producto del punto de intersección es igual.
131. Se deduce que si una cuerda corta un diámetro en ángulo recto, entonces la mitad de la cuerda es el promedio proporcional de los dos segmentos formados por su diámetro dividido.
132. El teorema de la tangente lleva a la tangente y secante del círculo desde un punto fuera del círculo. La longitud de la tangente es la mediana de la relación de las longitudes de las dos rectas desde este punto hasta. la intersección de la secante y la circunferencia.
133. Infiere que los productos de las dos secantes que conducen al círculo desde un punto fuera del círculo hasta la intersección de cada recta secante y el círculo son iguales.
134. Si dos circunferencias son tangentes, entonces el punto tangente debe estar en la recta que las une.
135, ①La circunferencia de los dos círculos d﹥R+r ②La circunferencia de los dos círculos d=R+r ③La intersección de los dos círculos R-R-D+R (R-R) ④Los dos círculos La circunferencia D = R-R (R-R
Teorema 136 La intersección de dos círculos biseca perpendicularmente la cuerda común de los dos círculos.
137, Teorema divide el círculo en n (n≥3):
(1) El polígono obtenido al conectar los puntos en secuencia es el polígono N regular inscrito del círculo.
⑵ Las tangentes del círculo que pasa por cada punto tienen vértices adyacentes. El polígono en la intersección de las rectas tangentes es un polígono N regular circunscrito al círculo.
Teorema: Todo polígono regular tiene círculos circunscritos y círculos inscritos, que son círculos concéntricos. 139 y N regular. Cada ángulo interior de un polígono es igual a (n-2) × 180/n
140, teorema El radio y la apotema de un polígono regular de N lados dividen al N- regular. polígono de lados en 2n triángulos rectángulos congruentes. /p>
141 El área del polígono regular de N lados Sn=pnrn/2 p representa el perímetro del polígono regular de N lados
143 Si hay K N ángulos positivos alrededor de un vértice, ya que la suma de estos ángulos debe ser 360. , entonces K × (n-2) 180/n = 360 se convierte en (n-2 )(k-2)=4
Fórmula de cálculo de la longitud del arco: L=nπR/180. p>
145, fórmula del área del sector: s sector=nπR/360=LR /2
146, longitud de la tangente interior = d-(R-r) longitud de la tangente exterior = d-(R+r). )