El signo igual se toma si y sólo si a=b=c b = c.
Resolver el método integral. Como a > 0, b > 0, c > 0, hay
tres tipos divididos y sumados, y se obtiene
Toma el signo igual si y sólo si a=b= c b = c.
El ejemplo 2 supone t > 0. Prueba: La desigualdad de cualquier número natural n
tn-nt+(n-1)≥0
Ambos son verdaderos, lo que explica las condiciones bajo las cuales el signo igual es verdadero.
Solución Cuando n=1, la desigualdad está obviamente establecida, así que toma el signo igual.
Cuando n≥2, divide la desigualdad por la potencia, puedes obtener las siguientes n-1 desigualdades:
t2+1≥t+t, t3+1≥t2+ t ,...
tn-1+1≥tn-2+t, tn+1≥tn-1+t
Las categorías anteriores son equivalentes si y sólo si t =1. Súmalos y obtendrás.
Por lo tanto, la desigualdad se demuestra para cualquier n ∈ n. Si n=1 o t=1, el signo de igualdad se cumple.
Nota ① Supongamos que t = 1+x (x >-1) en la desigualdad anterior, y se obtiene la famosa desigualdad de Bernoulli (1+x)n≥1+nx.
Ejemplo 3 Supongamos que A, B y C son números positivos y demuestre la desigualdad.
El signo igual se toma si y sólo si a=b=c b = c.
Hay muchas maneras maravillosas de probar este caso. Según la simetría, podemos partir de uno o dos elementos de la izquierda. Por supuesto, también podemos partir del todo según la desigualdad media o la desigualdad de poder.
La solución [Método 1] comienza con un término y, después de una coincidencia adecuada, se puede conocer a partir de la desigualdad media.
Dividimos las tres fórmulas y las sumamos para obtener el producto final.
Por supuesto, la fórmula anterior tiene un signo igual.
[Método 2] A partir de 2, usando la desigualdad de poder, hay
De manera similar
se dividen y suman tres tipos, se obtiene
[Método 3] A partir de la clasificación, la desigualdad original es equivalente a
Para obtener más pruebas, consulte la solución del Ejercicio 5-2-7(1).
[Método 4] De la variación de la desigualdad media x2+(λy)2≥2λxy(x, y, ∈R+)
Los tres tipos se dividen y se suman, se obtiene
Por lo tanto
Nota Como se puede ver en la Prueba 4, usando la desigualdad media x2+(λy)2≥2λxy(x,
Los tipos no son iguales , el pensamiento es natural y simple. Brillante y distintivo.
Ejemplo 4 Se sabe que la ecuación de coeficiente real x2+px+q=0 sobre X tiene dos raíces reales α, β. | < 2, | β | < 2, entonces | q | < 4, y 2 | p | 4+Q
Resolviendo el teorema de Vietta |q| p>De | α| , C son los tres lados del triángulo, entonces
3(a b+BC+ca)≤(a+b+c)2 < 4(a b+BC+ ca)
Si y sólo si el triángulo es equilátero, los lados izquierdos son iguales
Resolver la desigualdad del lado izquierdo es equivalente a
. 3(a b+BC+ca)≤a2+B2+C2+ 2(a b+BC+ca)
Si quieres demostrar esta desigualdad, solo necesitas demostrar
<. p>ab+bc+ca≤a2+b2+c2Evidencia directa
2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ca)≥0
La fórmula de la izquierda es
(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0
Esta desigualdad es obviamente cierta si y sólo si a=b=c, es decir, el triángulo es equilátero, entonces está demostrado.
Si quieres probar la desigualdad de la derecha, solo necesitas probarla.
a2+b2+c2 0
Evidencia directa
a(b+c-a)+b(a+c-b)+c(b+a-c)> 0
Dado que A, B y C son los tres lados del triángulo, esta desigualdad obviamente se cumple, por lo que se demuestra la desigualdad correcta.
En resumen, se demuestra la desigualdad original.
Ejemplo 6 Supongamos que f(x)=x2+px+q(p, q∈R), y demuestre:
(2) Si |+| 1. Los valores absolutos de las dos raíces de f (x) = 0 son menores que 1.
Utiliza la reducción al absurdo para resolver
Sin embargo,
| f(1)|+2 | ≥ f(1)-2f(2)+f(3)
=(1+p+q)-2×(4+2p+q)+(9+3p+q)= 2 (ii)
(I) y (ii) son contradictorios, por lo que la hipótesis no es verdadera, es decir, la proposición original es verdadera.
(2) Suponiendo que los valores absolutos de los dos x1 de f(x)=0 no son menores que 1, también podríamos suponer |x1|≥1, entonces el teorema de Vietta tiene
| p | = |-(x 1+x2)| = | x 1+x2 |≥| q | = | x 1x 2 | = | x 1 | x2 |≥p>Esto contradice el título, por lo que la hipótesis no es válida, lo que prueba la proposición original.
Nótese que el procedimiento lógico de la prueba por contradicción es: negar la conclusión → derivar la contradicción → afirmar la conclusión. El método de prueba por contradicción se utiliza a menudo para probar directamente proposiciones difíciles, o la conclusión contiene proposiciones existenciales como "no existe", "es todo", "ninguno", "al menos", "como máximo", etc. .
Una revisión del conocimiento sobre pruebas de desigualdad
Hebei/Zhao Chunxiang
Debido a la amplia variedad de tipos de preguntas, diversos métodos y fuertes habilidades técnicas, la prueba de desigualdad Los problemas a menudo no se pueden resolver con un solo método. No existen reglas fijas a seguir que puedan resolverse. Es la aplicación flexible de varios métodos y la expresión concentrada de varios métodos de pensamiento, por lo que es muy difícil. La forma de resolver este problema es dominar las propiedades de las desigualdades y algunas desigualdades básicas, y utilizar de manera flexible métodos de prueba de uso común.
Primero, analiza los puntos principales
1. El método de comparación es uno de los métodos más básicos e importantes para demostrar desigualdades. Es una aplicación directa del orden de magnitud y las propiedades operativas de dos números reales. El método de comparación se puede dividir en método de comparación de diferencias (denominado método de diferencias) y método de comparación de cocientes (denominado método de cociente).
(1) La base teórica del método de comparación de diferencias son las propiedades básicas de las desigualdades: "A-B≥0A≥B; a-b≤0a≤b. Los pasos generales son los siguientes: ① Hacer diferencias: examinar la diferencia formada por los lados izquierdo y derecho de la desigualdad La fórmula se trata como un todo (2) Deformación: la diferencia en ambos lados de la desigualdad se deforma en una constante, el producto de varios factores, la suma de uno o; varios cuadrados, etc., entre los cuales la deformación es la clave del método de diferencia, fórmula y factorización. ③Juicio: según las condiciones conocidas y los resultados de deformación anteriores, juzgue el signo de la diferencia en ambos; lados de la desigualdad, y finalmente confirmar la conclusión de que la desigualdad está establecida. Aplicación: Cuando ambos extremos de la desigualdad son polinomios, fracciones o logaritmos, generalmente se usa el método de comparación. La base teórica del método de comparación de cocientes es: "Si A, b∈R+, A/B≥1A≥B; a/b≤1a≤b. Los pasos generales son los siguientes: ① Cociente: cociente a la izquierda y a la derecha termina; ② Deformación: simplifica el cociente a su forma más simple ③ Juzgar la relación entre el cociente y 1 significa que el cociente es mayor que 1 o menor que 1. Ámbito de aplicación: cuando ambos extremos de la desigualdad a demostrar contienen expresiones potenciadas y exponenciales, generalmente se utiliza el método de comparación del cociente.
2. El método integral se basa en hechos conocidos (condiciones conocidas, desigualdades importantes o desigualdades probadas), con la ayuda de las propiedades de las desigualdades y teoremas relacionados, y mediante un razonamiento lógico progresivo, se llega a la conclusión final. demostrarse es de desigualdades. Sus características e ideas van "de causa a efecto", de "conocido" a "necesidad de saber" y gradualmente derivan "conclusiones". La relación lógica es: ab1b2b3...bnb, que es la condición necesaria para el establecimiento de la desigualdad. Se deduce gradualmente de lo conocido A para llegar a la conclusión B.
3. El método analítico consiste en analizar las condiciones suficientes para el establecimiento de la desigualdad a partir de la desigualdad que necesita ser probada, y luego transformarla para juzgar si esa condición se cumple. Sus características e ideas son "resultados visuales", es decir, de "desconocido" a "conocido". Utilice el método analítico para demostrar que la relación lógica de AB es BB1B1 B3... BnA, escrita como: Para demostrar que la proposición B es verdadera, solo necesitamos demostrar que la proposición B1 es verdadera, entonces hay... , solo necesitamos probar que B2 es verdadero, entonces tenemos..., solo necesitamos probar que A es verdadero, pero se sabe que A es verdadero, por lo que B debe ser verdadero. Este modelo nos dice que los métodos analíticos son condiciones suficientes para buscar el paso final.
4. La prueba de ciertas desigualdades mediante prueba por contradicción no queda clara a partir de la prueba positiva, pero puede considerarse desde la dificultad positiva y la perspectiva negativa, es decir, probar la desigualdad A & gtB, Primero supongamos que A ≤ B, de las preguntas y Otras propiedades deducimos contradicciones, afirmando así A & gt B. Si la desigualdad involucrada en la prueba es una proposición negativa, una proposición única, o contiene palabras como "a lo sumo", " al menos”, “no existe”, “imposible”, etc., se puede considerar el método de prueba por contradicción.
5. El método de sustitución y el método de sustitución introducen una o más variables para reemplazar algunas desigualdades con estructuras complejas, muchas variables y relaciones poco claras entre variables, simplificando así la estructura original o logrando algún tipo de transformación y suma. La adaptación aporta nueva inspiración y métodos a la prueba. Hay dos formas alternativas principales. (1) Método de sustitución trigonométrica: se utiliza a menudo para demostrar desigualdades condicionales. Cuando las condiciones dadas son complejas y una variable no puede representarse fácilmente mediante otra variable, puede considerar usar la sustitución trigonométrica y usar el mismo parámetro para representar las dos variables. Si este método se utiliza correctamente, puede comunicar la relación entre trigonometría y álgebra y transformar problemas algebraicos complejos en problemas trigonométricos. Según el problema específico, el método de sustitución de triángulos es el siguiente: ① Si x2+y2=1, sea x=cosθ, y = sinθ ② Si x2+y2≤1, x=rcosθ, y = rsinθ (0≤r; ≤1); (3) Para las desigualdades incluidas, dado que |x|≤1, podemos establecer x = cosθ (4) Si x+y+z=xyz, se puede ver en tanA+tanB+tanC=tanAtan; -BtanC que x=taaA , y=tanB, z=tanC, donde A+B+C=π. (2) Método de sustitución incremental: en fórmulas simétricas (se pueden intercambiar dos letras arbitrariamente, la fórmula algebraica permanece sin cambios) y un orden alfabético determinado (como A> b & gtc, etc.), considere usar el método incremental para reemplazar elementos El propósito es reducir elementos reemplazándolos, haciendo que los problemas sean difíciles y fáciles, y simplificando los problemas complejos. Por ejemplo, a+b=1 se puede sustituir por a=1-t, b=t o a=1/2+t, b=1/2-t.
6. Método de escala El método de escala es para demostrar la desigualdad A
2 Avance difícil
1 Cuando se utiliza el método de comparación de cocientes para demostrar la desigualdad, se debe pagar. atención al signo positivo o negativo del denominador para determinar la dirección de la desigualdad.
2. El método analítico y el método integral son dos aspectos de la unidad de los opuestos. El primero favorece el pensamiento porque la dirección es clara, el pensamiento es natural y es fácil de dominar. Este último es causado por causas y es adecuado para la expresión porque la organización es clara y la forma concisa, lo cual es adecuado para los hábitos de pensamiento de las personas. Sin embargo, usar métodos analíticos para explorar y probar desigualdades es solo una forma importante, no una buena forma de escribir, porque es más complicado de describir, y si no escribes las palabras "simplemente prueba", cometerás un error. . El proceso de análisis y exploración se oculta en forma de escritura integral. Por tanto, a la hora de demostrar desigualdades, el análisis y la síntesis suelen ser inseparables. Si se utiliza el método sintético para probar desigualdades, es difícil encontrar una manera de utilizar el método analítico para probar el problema y luego escribir el proceso de prueba en forma de método sintético para adaptarse a las reglas de pensamiento habituales de las personas. Algunas desigualdades son difíciles de probar y requieren análisis y síntesis al mismo tiempo para lograr el propósito de probar el problema inclinando ambos extremos hacia el medio. Esto ilustra plenamente la unidad dialéctica del análisis y la síntesis como precondiciones mutuas, penetración mutua y transformación mutua. El final del análisis es el punto de partida de la síntesis, y el final de la síntesis se convierte en el punto de partida de un análisis posterior.
3. El análisis demuestra que cada paso del proceso no es necesariamente "reversible paso a paso" y no es necesario exigir "reversibilidad paso a paso", porque en este momento, Sólo necesitamos encontrar condiciones suficientes, no condiciones necesarias y suficientes. Si debe ser "reversible por pasos", limitará el alcance de la resolución de problemas mediante métodos analíticos, de modo que los métodos analíticos sólo puedan usarse para probar proposiciones equivalentes. Cuando utilice métodos analíticos para probar un problema, asegúrese de utilizar correctamente palabras como "probar", "sólo probar", "probar inmediatamente", "probar inmediatamente", etc.
4. Cuando se utiliza la reductio ad absurdum para demostrar desigualdades, es necesario deducir contradicciones de diversas situaciones que son opuestas a la proposición y conclusión.
5. En la sustitución de triángulos, debido a las limitaciones de las condiciones conocidas, los ángulos introducidos pueden tener algunas restricciones. A esto se debe prestar atención; de lo contrario, se pueden producir resultados incorrectos. Este es el punto clave y la dificultad del método de sustitución. Preste atención a la aplicación de la idea general.
6. Al utilizar el método de escala para demostrar desigualdades, es necesario captar la escala del "escalamiento", es decir, debe ser adecuada y moderada, de lo contrario no se logrará el propósito esperado o Se sacarán conclusiones erróneas. Además, es necesario comprender claramente si se debe calibrar por separado en grupos o individualmente, y si se debe calibrar local o globalmente en función de características estructurales desiguales.
(Extraído de: Informe del examen, Edición de Matemáticas de la escuela secundaria, 20 de julio de 2004)
1 Método de comparación (método de diferencia)
Comparar dos El tamaño. de la suma de los números reales se puede juzgar por el signo. Los pasos generales son: diferencia-deformación-juicio (signo más, signo menos, cero). Los métodos de transformación comúnmente utilizados incluyen: fórmulas, división general, factorización, productos de suma y diferencia, aplicación de teoremas y fórmulas conocidas, etc.
Ejemplo 1, conocido:, demostrado:.
Prueba: Por lo tanto.
2. Método de análisis (método inverso)
Partir de la conclusión a demostrar, deducir paso a paso, y finalmente llegar a las condiciones conocidas de la proposición (desigualdades obviamente establecidas, conocidas). desigualdades, etc.), y cada paso del proceso de derivación debe ser reversible.
Ejemplo 2, verificación:.
Prueba: si quieres probarlo, simplemente pruébalo, es decir... puedes obtenerlo mediante cálculo inverso.
3. Método integral
A la hora de probar un problema, es un método común partir de las condiciones conocidas, deducir gradualmente la lógica y utilizar definiciones, teoremas, fórmulas, etc. . Finalmente saque una conclusión comprobada.
Ejemplo 3: Conocido:, usa el mismo número, verifica:.
Demostración: Porque, son el mismo número, entonces, son.
4. Método comercial (método comparativo)
Al probar un problema, generalmente cuando ambos son números positivos, se utiliza o para determinar el tamaño. Los pasos suelen ser el juicio de cociente-deformación. (mayor que 1 o menor que 1).
Ejemplo 4: Configurar y verificar:
Prueba: Porque, por lo tanto,. por lo tanto.
5. Reductio ad absurdum
Primero suponer que la conclusión a demostrar es incorrecta, y luego extraer la contradicción mediante una deducción lógica razonable, negando así la hipótesis y deduciendo la corrección de la hipótesis. conclusión. Para lograr el propósito de probar el problema.
Ejemplo 5. Se sabe que es un número entero mayor que 1. probar:.
Prueba: Supongamos, entonces, que es, por tanto, que esto contradice lo que se sabe, así.
6. Método de superposición (método de reducción)
Primero descomponga la conclusión a demostrar en varias partes simples, demuestre que cada parte es verdadera y luego use la suma o suma de las mismas. misma desigualdad La propiedad de la multiplicación prueba la desigualdad original.
Ejemplo 6: Conocido:,,Verificar:.
Demostración: Porque,
Por lo tanto...
Mediante la desigualdad de Cauchy
Se demuestra la desigualdad original.
7. Método de escala (método de aumento y resta, método de desigualdad reforzada)
En el proceso de demostrar el problema, según la transitividad de la desigualdad, se utilizan algunos términos positivos (o negativos). Los términos a menudo se descartan), o usar un número mayor (o menor) para reemplazar los términos en la suma (o producto), o aumentar (o reducir) el numerador (o denominador) en la fracción, para lograr el propósito de prueba. Vale la pena señalar que tanto la "expansión" como la "contracción" deben ser apropiadas y no excesivas. Los métodos comunes incluyen: cambiar el método de escala del numerador (denominador), método de escala de descomposición, método de escala de agrupación y encontrar el método de escala de "cantidad intermedia".
Ejemplo 7, verificación:.
Demostración: Entonces, orden
,
Por lo tanto...
8. Inducción matemática
Para La desigualdad contenida en él es cierta cuando se toma el primer valor. Si se puede demostrar que la desigualdad es verdadera cuando se toma el primer valor, entonces esta desigualdad definitivamente será válida para los números naturales después de tomar el primer valor.
Ejemplo 8: Conocido:,, Verificación:.
Demostrado: (1) Cuando, la desigualdad se cumple
(2) Si esto es cierto, entonces
= ,
Esto es un hecho.
Según (1) y (2), se aplica a todos los números naturales mayores que 1.
9. Método alternativo
En el proceso de prueba del problema, se utiliza el método de sustitución de variables para seleccionar incógnitas auxiliares apropiadas, lo que simplifica la prueba del problema.
Ejemplo 9: Conocido:, Verificar:.
Demostración: Si,, entonces,
(Porque,),
Por lo tanto...
10, Método de sustitución de triángulos
Con la ayuda de la transformación trigonométrica, se pueden cambiar algunos problemas de la demostración.
Ejemplo 10, conocido:, demostrado:.
Demostración: Establezca, entonces; OK, entonces
Por lo tanto...
11. Método de discriminación
Construyendo una ecuación cuadrática, cuando el trinomio cuadrático de una variable tiene raíces reales, use el rango del discriminante para probar la desigualdad a demostrar.
Ejemplo 11, configurar y verificar:.
Evidencia: Eso lo resuelve
En otras palabras, es
Porque, así es,
Por lo tanto, la solución .
12. Método de estandarización
Una función en forma de , donde y
son constantes Cuanto más cerca esté el valor de , mayor (o sin cambios) será. valor de ;, toma el valor máximo, es decir,
.
Teorema de estandarización: Cuando A+B es una constante, la hay.
Demostración: A+B=C, entonces
,
Derivación, de C=2A, es decir, A = B
Sepa también que el punto máximo debe obtenerse cuando A = B.
Porque cuando A=B, obtenemos una desigualdad.
Del mismo modo, se puede extender al caso de variables.
Ejemplo 12. Sean A, B y C los tres ángulos interiores del triángulo, demuestre:.
Demostración: Según el teorema de estandarización, cuando A=B=C,, toma el valor máximo, entonces.
13. Método de las ecuaciones
Aplicar las conclusiones de algunas ecuaciones puede demostrar inteligentemente algunas desigualdades que son difíciles de demostrar.
Ejemplo 13 (Concurso Polaco de Matemáticas de 1956), para la longitud de tres lados, verifique:
.
Prueba: Según la fórmula de Heron,
La hay.
Los lados son cuadrados y los elementos movidos están dispuestos
Así.
14. Método del valor extremo de la función
A través de la transformación, se resumen algunos problemas para encontrar el valor extremo de la función, demostrando así desigualdades.
Ejemplo 14, hipótesis, verificación:
Prueba:
Cuándo, tomar el valor máximo;
Cuándo, tomar el valor mínimo -4.
Por tanto.
15. Método de función monótona
Cuando pertenece a un determinado intervalo, si existe, aumentará monótonamente; si existe, disminuirá monótonamente; Si es promoción, si es certificación, solo requiere certificación.
Ejemplo 15, verificación:.
Demostrar: cuándo y
Por qué se obtuvo.
16. Método del teorema del valor medio
Utiliza el teorema del valor medio para demostrar algunas desigualdades: es una función continua definida en el intervalo, diferenciable, por lo que existe y se satisface, y el propósito es simple.
Ejemplo 16, verificación:.
Evidencia: Eso está decidido
Por lo tanto.
17. Método de descomposición
Según ciertas reglas, descomponer un número o fórmula en varios números o fórmulas, de modo que problemas complejos puedan transformarse en básicos simples y fáciles de resolver. problemas, por lo tanto Divide y vencerás, derrotarlos uno por uno, para lograr el propósito de demostrar la desigualdad.
Ejemplo 17,, y, verificación:.
Demostración: Porque
Por lo tanto...
18. Método de construcción
Al demostrar desigualdades, a veces mediante la construcción de algunos modelos y funciones. , identidades, números complejos, etc. , puede lograr el propósito de simplicidad, ligereza y flexibilidad.
Ejemplo 18, conocido:,, probar:.
Demostración: Según la pregunta, construye un número complejo, entonces,
Por lo tanto
Por lo tanto.
19. Método de clasificación
Utiliza la desigualdad de rango para demostrar algunas desigualdades.
Clasificación de desigualdades: si, , entonces la hay.
, donde esta el arreglo. El signo igual se toma si y sólo si o.
Las abreviaturas son: orden inverso, orden desordenado y mismo orden.
Ejemplo 19, verificación:.
Demostración: Debido al orden, la suma del mismo orden es la mayor por desigualdad de orden, es decir.
20. Método geométrico
Con la ayuda de figuras geométricas, utilizar conocimientos de geometría o trigonometría puede facilitar algunas pruebas.
Ejemplo 20: Conocido y verificado:.
Demostración: Sea la hipotenusa la hipotenusa y el ángulo recto la arista.
Extiende AB a D, haz, haz, extiende AC a E, haz, de modo que la recta paralela a C como AD pase por DE hasta F, luego ∽, haz,
Así que
Nuevamente, eso es todo.
Además, se pueden utilizar desigualdades importantes para probar problemas, como la desigualdad promedio, la desigualdad de Cauchy, la desigualdad de Jensen, la desigualdad absoluta, la desigualdad de J. Bernoulli, la desigualdad de Herder (O.H? Lder), la desigualdad del triángulo, H .Desigualdad de Minkowski, etc. , No me importa aquí.
En la prueba real, los métodos anteriores a menudo se combinan e incluyen entre sí, y se pueden utilizar varios métodos al mismo tiempo para la prueba.
Referencia
[1] ¿Editado por Li Yuqi? ¿Estudios de álgebra elemental? Beijing: Prensa de la Universidad de Minería y Tecnología de China, 1993.
[2]¿Fang Chubao y otros? ¿Hablar de ideas de conjeturas matemáticas? Chongqing: Rama de Prensa de Literatura Científica y Tecnológica de Chongqing, 1988.
[3]¿Wu Defeng? ¿Desigualdad y programación lineal? Beijing: Prensa de divulgación científica, 1983