∵ El cuadrilátero ABCD es un cuadrado,
∴AB∥DH,
∴ ∠ H=∠BAH, ∠B=∠BCH,
∴△BEA∽△CEH,
∴ABCH=AEEH=BEEC=2,
Supongamos EC =m, entonces AB=BC=CD=3m, BE=2m, CH=1.5m,
De manera similar: △AFP∽△DPH
∴fp: pd=ap : ph=af:dh=1.5m:4.5m=1:3,
Supongamos AP=n, PH=3n, AH=4n, AE: eh=2:1, EH=43n,< / p>
∴PE=53n,
∴AP:PE=3:5,
∴appe=35, fpdp=13;
( 2) Demuestre: Como se muestra en la figura, extienda la línea de extensión de AE AC DC hasta H,
∵ El cuadrilátero ABCD es un cuadrado,
∴AB∥DH,
∴∠H=∠BAH, ∠B=∠BCH,
∴△BEA∽△CEH,
∴ABCH=AEEH=BEEC=2,
Supongamos EC=2a, BE=4a, entonces AB=BC=CD=6a, CH=3a, AF=2a,
De manera similar: △AFP∽△HDP, AFDH = APPH = 29
Supongamos AP=2k, PH=9k,
∴AH=11k,
∴EH=113k,
∴PE= 163k ,
∴APPE=38,
∴8ap=3pe;
(3) Cuando AE⊥DF, Tan ∠ BAE = PF: AP = BE : AB = 2: 3
∫△AFP∽△AFD,
∴FP: AP=AF: AD=2:3,
∴AF= 23AD=23AB, BF=13AB,
∴BF=12AF,
∴n=12.