La idea de Descartes sobre las ecuaciones es: problemas prácticos → problemas matemáticos → problemas algebraicos → problemas de ecuaciones. El universo está lleno de igualdad y desigualdad. Sabemos que donde hay ecuaciones, hay ecuaciones; donde hay fórmulas, hay ecuaciones; los problemas de evaluación se resuelven resolviendo ecuaciones... y así sucesivamente; y los problemas de desigualdad también están estrechamente relacionados con las ecuaciones, que son parientes cercanos. No existe una diferencia esencial entre funciones y ecuaciones multivariadas. Por ejemplo, la función y = f (x) puede considerarse como la ecuación binaria f (x) -y = 0 sobre x e y. Las funciones son inseparables de las fórmulas. Hacer ecuaciones, resolver ecuaciones y estudiar las propiedades de las ecuaciones son consideraciones importantes al aplicar ideas de ecuaciones.
La función describe la relación entre cantidades en la naturaleza. El pensamiento funcional establece un modelo matemático de relación funcional proponiendo las características matemáticas del problema a realizar. Encarna la visión materialista dialéctica de "conexión y cambio". En términos generales, la idea de una función es utilizar las propiedades de la función para construir una función para resolver el problema. Las propiedades de uso común incluyen monotonicidad, paridad, periodicidad, valores máximos y mínimos, transformación de imágenes, etc. Se requiere que dominemos las características específicas de funciones lineales, funciones cuadráticas, funciones de potencia, funciones exponenciales, funciones logarítmicas y funciones trigonométricas. Al resolver problemas, la clave es utilizar el pensamiento funcional, ser bueno explorando las condiciones implícitas en el problema, construir la fórmula analítica de la función y utilizar hábilmente las propiedades de la función. Sólo mediante la observación, el análisis y el juicio profundos, completos y completos de un problema determinado se puede crear una relación de compensación y construir un prototipo funcional. Además, los problemas de ecuaciones, los problemas de desigualdad y algunos problemas de álgebra también se pueden transformar en problemas de funciones relacionadas, es decir, utilizar ideas funcionales para resolver problemas no funcionales.
El conocimiento funcional implica muchos puntos de conocimiento, tiene una amplia gama y tiene ciertos requisitos en concepto, aplicación y comprensión, por lo que es el enfoque del examen de ingreso a la universidad. Algunos tipos comunes de preguntas que utilizamos en el pensamiento funcional son: cuando encontramos variables, construimos relaciones funcionales para resolver problemas en problemas matemáticos de múltiples variables, analizamos desigualdades, ecuaciones, valores mínimos, valores máximos y otros; , elegir las variables principales apropiadas revelar la relación funcional del problema, traducirlo al lenguaje matemático, establecer modelos matemáticos y relaciones funcionales, y aplicar conocimientos como propiedades funcionales o desigualdades para responder preguntas aritméticas, series geométricas, fórmulas de términos generales y fórmulas de suma de los primeros n términos. Todas pueden considerarse funciones de n, y los problemas de secuencia también se pueden resolver utilizando el método funcional.
Transformación equivalente
La transformación equivalente es una forma importante de pensar para transformar problemas con soluciones desconocidas en problemas que pueden resolverse dentro del alcance del conocimiento existente. A través de una transformación constante, problemas desconocidos, irregulares y complejos se transforman en problemas familiares, estandarizados e incluso simples. A lo largo de los años, la idea de conversión equivalente ha estado presente en todas partes en el examen de ingreso a la universidad. Debemos cultivar y entrenar constantemente nuestra conciencia de transformación consciente, lo que ayudará a mejorar nuestra adaptabilidad en la resolución de problemas matemáticos y mejorará nuestra capacidad y destrezas de pensamiento. Hay transformaciones equivalentes y hay transformaciones no equivalentes. La transformación equivalente requiere que la causa y el efecto en el proceso de transformación sean suficientes y necesarios para garantizar que el resultado después de la transformación siga siendo el resultado del problema original. La transformación suficiente o necesaria de procesos no equivalentes y las correcciones necesarias a las conclusiones (como ecuaciones irrazonables que requieren pruebas de raíz) pueden resaltar el pensamiento de las personas y encontrar avances en la resolución de problemas. En la aplicación, debemos prestar atención a los diferentes requisitos de equivalencia y no equivalencia, y garantizar la equivalencia y la corrección lógica al implementar transformaciones equivalentes.
El famoso matemático y profesor de la Universidad Estatal de Moscú C.A Atekaya dijo una vez en un discurso titulado "¿Qué es la resolución de problemas" a los concursantes de la Olimpiada de Matemáticas: "Resolver un problema es convertirlo en un problema que tiene sido solucionado”. El proceso de resolución de problemas matemáticos es el proceso de transformación de lo desconocido a lo conocido, de lo complejo a lo simple.
El método de transformación equivalente se caracteriza por la flexibilidad y la diversidad. No existe un modelo unificado para utilizar la idea de transformación equivalente para resolver problemas matemáticos.
Se puede transformar de números a variables, de formas a números, se puede convertir de manera equivalente a un nivel macro, como la traducción del lenguaje ordinario al lenguaje matemático en el proceso de análisis y resolución de problemas prácticos, se puede realizar dentro de un símbolo; Transformación del sistema, esta es la llamada deformación de la identidad. Los problemas de eliminación, sustitución, combinación de números y formas y dominio de evaluación encarnan la idea de transformación equivalente. A menudo realizamos transformaciones equivalentes entre funciones, ecuaciones y desigualdades. Se puede decir que la transformación equivalente es plantear la transformación algebraica de la transformación de identidad para mantener inalterada la verdad o falsedad de la proposición. Debido a su diversidad y flexibilidad, debemos diseñar racionalmente vías y métodos de transformación para evitar aplicar tipos de preguntas mecánicamente.
Al implementar transformaciones equivalentes en operaciones matemáticas, debemos seguir los principios de familiaridad, simplificación, intuición y estandarización, es decir, transformar los problemas encontrados en problemas con los que estamos más familiarizados o transformarlos en problemas más complejos; y problemas engorrosos Los problemas se vuelven relativamente simples, como de la trascendencia al álgebra, de la irracionalidad a la racionalidad, de las fracciones a las expresiones algebraicas, etc. O los problemas más difíciles y abstractos se pueden transformar en problemas más intuitivos para comprender con precisión el proceso de resolución de problemas, como la combinación de números y formas o de no estándar a estándar; De acuerdo con estos principios, las operaciones matemáticas pueden ahorrar tiempo y esfuerzo en el proceso de transformación, como seguir la idea actual y a menudo impregnada de transformación equivalente, que puede mejorar el nivel y la capacidad de resolución de problemas.
Discusión sobre clasificación
Al resolver algunos problemas matemáticos, a veces