Buscando algunas preguntas del examen de la Olimpiada de Matemáticas de la escuela secundaria

(1) ¿Cuántos niveles puede pasar una persona como máximo?

(2) ¿Cuál es la probabilidad de que pase los primeros tres niveles? 14. En el sistema de coordenadas plano rectangular xOy, dados tres puntos A (0, 43), B (-1, 0), C (1, 0), la distancia desde el punto P a la recta BC es el promedio geométrico de las distancias AB y AC.

(1) Encuentre la ecuación de la trayectoria del punto P;

(2) ¿Qué pasa si pasa la línea recta L? El centro de ABC (establecido como D) tiene exactamente tres puntos comunes con la trayectoria del punto P, así que encuentre el rango de la pendiente k de l.

15. ,? Dos raíces reales desiguales de la ecuación 4x2-4tx-1 = 0 (t ∈ r), el dominio de la función f (x) = 2x-tx2+1 es [? ,?].

(1) Encuentre g(t)= maxf(x)-minf(x);

(2) Demuestre: Para ui∈(0,?2 ) (I = 1, 2, 3), si seno 1+senudo 2+senudo 3 = 1, entonces 1g(tanu 1)+1g(tan U2)+364.

Dos preguntas de prueba

1. En el triángulo agudo ABC, la altura CE en AB y la altura BD en AC se cortan en el punto H, y los círculos con diámetro DE se cortan en los puntos. AB y AC en F y G, FG y AH se cruzan en el punto k. Se sabe que BC=25, BD=20 y BE=7. Encuentra la longitud de AK.

(La puntuación completa para esta pregunta es 50) En el sistema de coordenadas plano rectangular XOY, la secuencia de puntos {An} en el semieje positivo del eje Y y la secuencia de puntos {Bn) en la curva y=2x (x≥0) } Satisface |OAn|=|OBn|=1n, la intersección de la línea recta AnBn en el eje X es An, y la abscisa del punto Bn es Bn, n.

(1) Demostrar que >an+1>4, N∈N*;

(2) Demostrar que existe n0∈N*, ¿es correcto? n & gtN0, ambos tienen B2B 1+B3 B2+…+BNBN-1+BN+1bn < n-2004.

(Esta pregunta vale 50 puntos) Para números enteros n≥4, encuentre el entero más pequeño f(n) tal que para cualquier entero positivo m, el conjunto {m, m+1,…,m+ n-1 } Cualquier subconjunto de f(n) tiene al menos tres elementos en pares.

Documento de prueba de la Liga Nacional de Matemáticas de Escuelas Secundarias de 2004

Primer intento

1. Preguntas de opción múltiple (la puntuación total para esta pregunta es 36 puntos, cada pregunta es 6 puntos)

1. ¿Establecer un ángulo agudo? Sea la ecuación x2+4xcos con respecto a x? +cuna? =0 tiene múltiples raíces, entonces? El número de radianes es ()

A.? 6B? ¿12 o 5? ¿6 o 5? 12

Solución: Debido a que la ecuación tiene múltiples raíces, ¿14? =4cos2? -¿Carretero? =0,

∫0<? <? 2,?2sin2? =1,=?12 o 5? 12. Elige b.

2. Se sabe que M={(x, y)|x2+2y2=3}, N={(x, y) | Si todos los m∈R tienen m∈n, entonces el rango de valores de b es ().

A.[-62,62] B.(-62,62) C.(-233,233)d .[-233,233]

Solución: punto ( 0, b) dentro o sobre la elipse. 2b2≤3,? B ∈ [-62, 62]. Elige un.

3. El conjunto solución de la desigualdad log2x-1+12 log 12x 3+2>0 es

A.[2,3]b.(2,3)c .(2,4) D.(2,4)

Solución: Supongamos log2x=t≥1, t-1 > 32t-2.t∈[1,2]? X ∈ [2, 4], elija c.

4. ¿Cuál es el enfoque? Dentro de ABC, y hay →OA+2→OB+3→OC=→0, ¿entonces? ¿Cuál es el área de ABC? La proporción del área AOC es ()

A.2 B.32 C.3 D.53

Solución: Como se muestra en la figura, ¿configuraciones? ¿Entonces AOC=S? OC1D=3S,? OB1D=? ¿OB1C1=3S? AOB =? ¿OBD = 1,5 S? OBC=0.5S, ABC=3S..Elija c.

5. Supongamos que un número de tres dígitos n=? Abc, si A, B y C son tres lados que pueden formar un triángulo isósceles (incluido el equilátero), entonces dicha n de tres dígitos tiene ().

a .45 b .

Solución: (1) 9 triángulos equiláteros * * *;

⑵ Isósceles b< Triángulo equilátero: toma dos números diferentes (establecidos como a, b), hay 36 formas de tomar él. Cuando un decimal es la base, siempre se puede formar un triángulo isósceles, y cuando un número grande es la base, b puede tomar 156+9=165 números. Elija c.

6. La sección axial de un cono con vértice p es un triángulo rectángulo isósceles, a es un punto en el círculo base, b es un punto en el círculo base, o es el centro del círculo base. , AB⊥OB , el pie vertical es b, OH⊥PB, h, PA=4, c es el punto medio de PA, entonces cuando el volumen de la pirámide triangular O-HPC es el más grande, la longitud de OB es

253 C.63 D.263

Solución: AB⊥OB, PB⊥AB,? AB⊥caraPOB,? Cara PAB⊥ Cara Bob.

¿OH⊥PB? oh⊥·Prabhu? OH⊥HC, OH⊥PC,

Aquí viene de nuevo, ¿PC⊥OC? PC⊥ cara OCH..PC es la altura p-och de la pirámide triangular. CP=oc=2.

¿Y luego qué? El área de OCH alcanza su máximo cuando OH=HC=2 (triángulo rectángulo con hipotenusa=2).

Cuando OH=2, de PO=22, sabemos que ∠OPB=30? ,OB=POtan30? =263.

Otra solución: como se muestra en la figura, C es el punto medio de PA, por lo que VO-PBC = 12VB-AOP

Y VO-PHC:VO-PBC = phpb = po2pb 2(PO2 = ph?PB).

¿Recuerdas PO=OA=22=R, ∠AOB=? , entonces

VP—AOB=16R3sin? ¿porque? =112R3sen2? ,VB-PCO=124R3sen2? .

PO2PB2=R2R2+R2cos2? =11+cos2? =23+cos2? . ? APS=sen2?3+cos2112R3.

∴ Sea y=sin2?3+cos2? ¿Y? =2cos2? (3+cos2?)-(-2sen2?)sen2? (3+cos2?)2=0, ¿obtienes cos2? =-13,?Porque? =33,

∴ OB=263, elija d

2 Complete los espacios en blanco (la puntuación total para esta pregunta es 54 puntos, cada pregunta es 9 puntos)

7. En el sistema de coordenadas rectangular plano xOy, la imagen del intervalo con la longitud mínima del período positivo de la función f(x) = asin ax+cosax(a > 0) y la imagen de la función g. (x) = a2+1 son cerrados El área de la gráfica es;

Solución: f(x)= a2+1sen(ax+?), period=2? a. ¿Toma la longitud como 2? a, un rectángulo con ancho 2a2+1. Según la simetría, se requiere la mitad del área. Entonces, ¿completa 2? aa2+1.

Otra solución: ∫? 1?0a2+1[1-sin(ax+?)]dx=a2+1a∫? 20(1-Sint)dt = 2paa 2+1.

8. Supongamos que la función f: r→ r satisface f(0)=1 Para cualquier x, y∈R, f (xy+1) = f (x) f (y)-x. +2, luego f(.

Solución: Supongamos x=y=0, de modo que f (1) = 1-1-2,?f(1)=2.

Supongamos y=1, f (x+1) = 2f (x)-2-x+2, es decir, f (x+1) = 2f (x)-x.①

Además, si f(yx+1)= f(y)f(x)-f(x)-y+2, y=1, podemos obtener f (x+1) = 2f (x)-. f (x) -655

Comparando ① y ②, f (x) = x+1.

9. Como se muestra en la figura, en el cubo ABCD-A 1b 1c 1d 1, el grado del ángulo diédrico A-BD 1 es;

Solución: Sea AB= 1, A1M⊥ BD1, AN⊥BD1, luego BN? BD1=AB2,? BN=D1M=NM=33.

A1M=AN=63.

∴aa 12 = a 1 m2+Mn2+Na2-2a 1m? ¿NAcos? ,?12=23+23+13-2?23cos? ,?¿porque? =12.

=60?.

10. Sea P un número primo impar dado y un entero positivo K tal que K2-PK sea un entero positivo, entonces K =

Solución: Supongamos que K2-PK =; N, entonces (k-P2) 2-N2 = P24,? (2k-p+2n)(2k-p-2n)=p2,? k=14(p+1)2.

11. Dada la secuencia a0, a1, a2,..., an,... satisface la relación (3-an+1)(6+an) = 18, y a0=3, entonces n ∑ i =06558.

Solución: 1an+1=2an+13,? Supongamos que bn=1an+13 y b0=23, BN = 2BN-1,? bn=23?2n. Eso es 1an = 2n+1-13. n∑I = 01ai = 13(2n+2-n-3).

12. En el sistema de coordenadas plano rectangular xOy, dados dos puntos M (-1, 2) y N (1, 4), el punto P se mueve sobre el eje X. Cuando ∠MPN toma el valor máximo, la abscisa del punto P es;

Solución: Cuando ∠MPN es máximo, ⊙MNP y el eje X son tangentes al punto P (de lo contrario ⊙MNP y el eje X son tangentes al punto P) eje intersecta a PQ, ¿entonces el punto P está en la línea PQ? Entonces, ¿extiende el eje transversal X de NM a k (-3, 0) y tienes KM? KN=KP2,? PK=4. p (1,0), (-7,0), pero el radio de ⊙MNP en (1,0) es menor, por lo que la abscisa del punto P = 1.

3. Resuelve el problema (la puntuación total de esta pregunta es 60 puntos, cada pregunta es 20 puntos)

13. Una regla del "juego de pases" estipula que un dado. debe lanzarse en el enésimo nivel. Si la suma de los puntos lanzados n veces es mayor que 2n, se considera un pase. Pregunta:

(1) ¿Cuántos niveles puede pasar una persona como máximo en este juego?

(2) ¿Cuál es la probabilidad de que pase los primeros tres niveles?

Solución: (1) Si puede pasar N niveles y votar N veces en N niveles, puede obtener hasta 6 puntos.

Determinado por 6n >; 2n, sabiendo que n ≤ 4. Eso significa que puedes pasar el nivel 4 como máximo.

⑵ Déjale disparar 1 punto en 2 tiros en el primer nivel. La suma de los puntos de dos lanzamientos en el segundo nivel es > 4. La suma de los puntos de tres lanzamientos en el tercer nivel es > 8.

La probabilidad de pasar el primer nivel es 46 = 23;

Hay 62 eventos básicos que pueden pasar el segundo nivel, y el evento básico que no puede pasar el segundo nivel es el desigualdad x+y El número de soluciones enteras positivas ≤4, incluido C24 (también enumerados: 1+1, 1+2, 1+3, 2+1, 2.

El tercer nivel tiene 63 soluciones básicas Los elementos básicos que no pueden pasar el nivel son el número total de soluciones enteras positivas de la ecuación x+y+z≤8. Hay 56 formas de elegir tres de ocho espacios: C38=8?7?63?2. ?1=56 , la probabilidad de reprobar la prueba = 5663 = 727, la probabilidad de aprobar la prueba = 2027;

∴ La probabilidad de aprobar los tres niveles = 23?

14. En el sistema de coordenadas rectangular plano xOy, dados tres puntos A (0, 43), B (-1, 0), C (1, 0), la distancia desde el punto P a la recta. La línea BC es la distancia desde este punto a las líneas rectas AB y AC. El promedio geométrico de las distancias.

(1) Encuentre la ecuación de la trayectoria del punto P;

(2) ¿Qué pasa si pasa la línea recta L? El centro de ABC (establecido como D) tiene exactamente tres puntos comunes con la trayectoria del punto P, así que encuentre el rango de la pendiente k de l.

Solución: (1) Sean las coordenadas del punto P ser (x, y),

Ecuación AB: X-1+3Y4 = 1,? 4x-3y+4=0, ①

Ecuación BC: y=0, ②

Ecuación AC: 4x+3y-4 = 0, ③

∴ 25|y|2=|(4x-3y+4)(4x+3y-4)|,

25y2+16x2-(3y-4)2=0,? 16 x2+16 y2+24y-16 = 0,

2x2+2y2+3y-2=0.

O 25Y2-16x2+(3Y-4)2 = 0,? 16x2-34y2+24y-16=0,

8x2-17y2+12y-8=0.

∴La trayectoria buscada es un círculo: 2x2+2y2+3y-2 = 0, ④

o una hipérbola: 8x2-17y2+12y-8 = 0.

Sin embargo, se deben eliminar los puntos (-1, 0) y (1, 0).

⑵ ?ABC interior D (0, 12): la recta que pasa por D es x=0 o Y = KX+12.6.

(a) La recta x=0 tiene dos intersecciones con el círculo ④, pero no tiene intersección con la hipérbola ⑤

(b) Cuando k=0, la recta; La recta y=12, el círculo ④ es tangente al punto (0, 12) y corta a la hipérbola ⑤ en (582, 12), es decir, k = 0 cumple con los requisitos.

(c) Cuando k = 12, la recta ⑥ y el círculo tienen solo un punto común, y la hipérbola ⑥ tiene como máximo un punto común, por lo que se omite.

k? 0 en punto, ¿vale? En 12, la recta ⑥ y el círculo tienen dos puntos comunes. Sustituye 6 en ⑥: (8-17k2) x2-5kx-254 = 0.

Cuando 8-17k2 = 0 o (5k) 2-25 (8-17k2) = 0, obtenemos k k= 23417, k = 22.

El rango de valores de ∴k es {0, 23417, 22}.

15. ,? Dos raíces reales desiguales de la ecuación 4x2-4tx-1 = 0 (t ∈ r), el dominio de la función f (x) = 2x-tx2+1 es [? ,?].

(1) Encuentre g(t)= maxf(x)-minf(x);

(2) Demuestre: Para ui∈(0,?2 ) (I = 1, 2, 3), si seno 1+senudo 2+senudo 3 = 1, entonces 1g(tanu 1)+1g(tan U2)+364.

Solución: (1)? +?=t,=-14. ¿Así que lo que? & lt0,?& gt0. Cuando x1, x2∈[? ,?],

∴·f? (x)= 2(x2+1)-2x(2x-t)(x2+1)2 =-2(x2-XT)+2(x2+1)2.

¿Y cuando x∈[? ,?], x2-xt

∴ g(t)= 2? -t? 2+1-2?-t? 2+1=(2?-t)(?2+1)-(2?-t)(?2+1)(?2+1)(?2+1)=(?-?)[t( ? +?)-2+2]?2?2+?2+?2+1

= T2+1(T2+52)T2+2516 = 8 T2+1(2 T2+5 )16 T2+25

⑵g(tanu)= 8 secu(2 sec 2u+3)16 sec 2u+9 = 16+24 cos 2 u 16 cosu+9 cos3u≥16616+9 cos2u,

∴1g(tanu 1)+1g(tan U2)+1g(tanu 3)≤1166[16?3+9(cos2u 1+cos2u 2+cos2u 3)]= 1166[75-9( sin2u 1+sin2u 2+sin2u 3)]

Y 13(sin 2 u 1+sin 2 U2+sin 2 u 3)≥(sinu 1+sinu 2+sinu 33)2, es decir, 9( pecado 2 u 1+sen 2 U2+sen 2 u 3)≥3.

∴ 1g(Tanu 1)+1g(Tanu 2)+1g(Tanu 3) ≤ 1166 (75-3) = 364. Como los signos iguales no pueden ser verdaderos al mismo tiempo, está demostrado.

Dos preguntas de prueba

1. En el triángulo agudo ABC, la altura CE en AB y la altura BD en AC se cortan en el punto H, y los círculos con diámetro DE se cortan en los puntos. AB y AC en F y G, FG y AH se cruzan en el punto k. Se sabe que BC=25, BD=20 y BE=7. Encuentra la longitud de AK.

Solución: BC = 25, BD=20, BE=7,

∴ CE=24, CD=15.

∵ AC? ¿BD=CE? AB,? AC=65AB, ①

∵ BD⊥AC, CE⊥AB? b, e, d, C*** círculo,

AC(AC-15)=AB(AB-7),? 65AB(65AB-15)=AB(a b-18),

∴ AB=25, AC=30. ? EA=18, AD=15.

∴Alemania=12AC=15.

Expande AH a BC a p, luego AP ⊥ BC.

∴¿Prensa asociada? ¿BC=CA? ¿BD? PA=24.

Incluso DF, entonces DF⊥AB,

* ae=de,df⊥ab.? AF=12AE=9.

∫D, e, f, G*** círculo,? ∠AFG=∠ADE=∠ABC,AFG∽? ABC,

∴ AKAP=AFAB,? AK=9? 2425=21625.

(La puntuación total de esta pregunta es 50) En el sistema de coordenadas rectangular plano XOY, la secuencia de puntos {An} en el semieje positivo del eje Y y la curva y=2x (x≥ La secuencia de puntos {Bn} en 0) satisface |OAn|=|OBn|=1n, la intersección de la recta AnBn en el eje X es An, y la abscisa del punto Bn es bn, n.

(1) Demostrar que >an+1>4, N∈N*;

(2) Demostrar que existe n0∈N*, ¿es correcto? n & gtN0, ambos tienen B2B 1+B3 B2+…+BNBN-1+BN+1bn < n-2004.

Solución: (1) ¿Punto an (0, 1N), Bn (bn, 2bn)? Por |OAn|=|OBn|,? bn2+2bn=(1n)2,? bn = 1+(1n)2-1(bn & gt; 0).

∴0 & lt; bn & lt12n2.. Y bn disminuye,? N2BN = N(N2+1-N)= NN2+1+N = 11+(1N)2+1 aumentando monótonamente.

∴0<nbn<12.? Sean TN = 1 nbn > 2 y tn disminuye monótonamente.

Según la ecuación de intersección, bnan+2bn1n=1, (1-2n2bn = n2bn2).

∴an = bn 1-N2 bn = bn(1+N2 bn)1-2 N2 bn = 1 N2 bn N2 bn =(1 nbn)2+2(1 nbn)= tn2+2tn =(TN+22)2-12 ≥(2+22)2-12 = 4.

Y como tn disminuye monótonamente, sabemos que an disminuye monótonamente, es decir, an > an+1 & gt;

O de 1n2bn = bn+2.1nbn = bn+2, an=bn+2+2bn+2,.

∴ Disminuir en bn, disminuir en an, an > 0 +2+2?2=4.

⑵n∑k = 1(1-bk+1bk)> 2004.

1-bk+1bk = bk-bk+1bk = 1+(1k)2-1+(1k)21+(1k)2-1 = k2((1k)2-(65438

≥2k+1(k+1)21+(1k)2+121+(1k)2 >2k+1(k+1)2?12 >1k+2. ∴n∑k=1(1-bk+1bk)>n∑k = 11k+2>(13+14)+(15+16+17+18)+…+>12+ 12+12+….

Siempre que n sea lo suficientemente grande, n∑k = 1(1-bk+1bk)> se estableció en 2004.

(La puntuación total para esta pregunta es 50. puntos) Para enteros n≥4, encuentre el entero más pequeño f(n) tal que para cualquier entero positivo m, haya al menos tres subconjuntos arbitrarios de f(n) del conjunto {m, m+1,..., m+n-1} Los elementos están en pares

Solución: (1) Cuando n≥4, para el conjunto M(m, n)={m, m+1,…, m+n -1},

Cuando m es un número impar, m, m+1 y m+2 son primos relativos; cuando m es un número par, m+1, m+2 y m+; 3 son primos relativos, es decir, hay tres subconjuntos de m. Hay dos elementos mutuamente primos, por lo que f(n) existe, f (n) ≤ n.

Tome el conjunto Tn={. t|2|t o 3|t, t≤n+1}, entonces t es M(2, n)={2, 3,..., n+1}, tres de los cuales son primos relativos por pares. Por lo tanto, f (n) ≥

Pero card(t)=[n+12]+[n+13]-[n+16]. ]+[n+13]-

De ① y ②, f(4)=4, f (5) = 5.5 ≤ f (6) ≤ 6, 6≤f(7)≤7. , 7≤f(8)≤8, 8 ≤ f ( 9) ≤ 9.

Ahora calcula f(6), toma M={m, m+1,…,m+5}. Si hay tres de estos cinco números, cuando hay números impares, estos tres números impares son primos relativos cuando hay tres números pares k, k+2, k+4 (k? 0 (mod 2)), entre los cuales; como máximo 1 se puede dividir entre 5, debe haber 1 que se pueda dividir entre 3, por lo que al menos 1 no es divisible entre 3 y 5, y es primo relativo por pares con los otros dos números impares. Por lo tanto, f (6) = 5 y M(m, n+1)=M(m, n )∨{ M+n }, entonces f (n+1) ≤ f (n)+1. f(7)=6, f(8)=7, f(9)= 8.

∴Para 4≤n≤9, f(n)=[n+12]+[n+ 13]-[n+16]+1 se establece Supongamos que para n≤k, ④ se cumple cuando n=k+1, porque

M(m, k+1)=M(m, k-5)∩{ M+k-5, m+k-4,…,m+k}.

En {m+k-5, m+k-4,..., m+k}, hay exactamente cuatro números que se pueden dividir por 2 o 3.

Incluso si eliminamos los cuatro números, siempre que eliminemos el número de f (n) en el M (m, k-5) anterior, debe haber tres números primos por pares.

Cuando n≥4, f(n+6)≤f(n)+4 = f(n)+f(6)-1.

Entonces f(k+1)≤f(k-5)+f(6)-1 =[k+22]+[k+23]-[k+26]+1,

En comparación con ②, sabemos que la proposición es válida para n=k+1.

∴Para cualquier n∈N*, n≥4, f(n)=[n+12]+[n+13]-[n+16]+1 se cumple.

También puedes dividir el resultado en partes:

f(n)= 4k+1, (n=6k, k∈N*), 4k+2, (n= 6k+1, k∈N*), 4k+3, (n=6k+2, k∈N*), 4k+4, (n=6k+3, k∈N*), 4k+4, (n =6k+4, k∈N*), 4k+5, (n=6k+5, k∈