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Trabajo de Matemática Avanzada

¿Qué es el cálculo? Es una idea matemática en la que las "subdivisiones infinitas" son diferenciales y las "sumas infinitas" son integrales. El infinito es el límite y la idea de límite es la base del cálculo, lo que significa mirar los problemas con un pensamiento en movimiento. Por ejemplo, la velocidad instantánea de una bala que sale volando del cañón de un arma es el concepto de diferencial, y la suma de la distancia recorrida por la bala en cada instante es el concepto de integral.

Si comparamos todas las matemáticas con un gran árbol, entonces las matemáticas elementales son la raíz del árbol, cada rama de las matemáticas son las ramas y la parte principal del tronco es el cálculo. El cálculo es uno de los mayores logros de la inteligencia humana. A partir del siglo XVII, con el progreso de la sociedad y el desarrollo de la productividad, así como muchos problemas por resolver, como la navegación, la astronomía y la construcción de minas, las matemáticas también comenzaron a estudiar cantidades cambiantes. Las matemáticas entraron en la era de las "variables". matemáticas", es decir, el cálculo sigue perfeccionándose y convirtiéndose en una disciplina. A lo largo del siglo XVII, decenas de científicos realizaron investigaciones pioneras para la creación del cálculo, pero fueron Newton y Leibniz quienes hicieron del cálculo una rama importante de las matemáticas.

El cálculo se convirtió en una materia en el siglo XVII, pero las ideas de cálculo diferencial e integral existían en la antigüedad. En el siglo III a. C., el antiguo matemático y mecánico griego Arquímedes (287-212 a. C.) ya contenía las semillas del cálculo en sus obras como "La medición de círculos" y "Sobre la esfera y el cilindro al estudiar y resolver problemas como". el área arqueada bajo una parábola, el área bajo una espiral y el volumen de una hipérbola giratoria, la idea de integrales modernas está implícita. Como teoría básica del límite del cálculo, se ha discutido con gran detalle ya en la antigua China. Por ejemplo, en el libro "Zhuangzi" escrito por Zhuang Zhou, está escrito que "un pie de espacio es inagotable". Durante el período de los Tres Reinos, Liu Hui propuso en "Cut the Circle" que "si lo cortas fino, el daño será pequeño, y si lo cortas demasiado fuerte, no será suficiente. "Si lo cortas, puedes rodearlo y no perder nada". En su libro de 1615, La nueva ciencia de medir el volumen de barriles, vio una curva como una línea recta con lados infinitamente crecientes. El área de un círculo es la suma de las áreas de infinitos triángulos, lo que puede considerarse un trabajo representativo del pensamiento límite típico. El matemático italiano Cavalieri publicó "Geometría continua e indispensable" en 1635, tratando las curvas como segmentos de recta infinitos (indispensables). Todo esto sentó las bases ideológicas para el posterior nacimiento del cálculo.

El desarrollo de la productividad en el siglo XVII impulsó el desarrollo de las ciencias naturales y la tecnología. No sólo se han consolidado, enriquecido y ampliado aún más los resultados matemáticos existentes, sino que también debido a las necesidades de la práctica, comenzamos a estudiar objetos en movimiento y cantidades cambiantes, obteniendo así el concepto de variables y estudiando cantidades cambiantes y sus dependencias en general. En la segunda mitad del siglo XVII, el gran matemático y físico británico Isaac Newton (1642-1727) estudió el cálculo desde la perspectiva de la física basándose en las investigaciones creativas de sus predecesores. Para resolver el problema del movimiento, creó una teoría matemática directamente relacionada con el concepto físico, que Newton de hecho llamó "conteo de flujo". Los principales trabajos de Newton sobre "conteo de flujo" incluyen "Encontrar el área de un polígono curvo", "Métodos de cálculo utilizando ecuaciones polinómicas infinitas" y "Conteo de flujo y números de polos infinitos". Estos conceptos son reflejos matemáticos de conceptos mecánicos. Newton creía que cualquier movimiento existe en el espacio y depende del tiempo, por lo que consideraba el tiempo como una variable independiente y las variables sólidas relacionadas con el tiempo como un flujo. Más que eso, consideraba las figuras geométricas (líneas, ángulos y formas) como resultado de un desplazamiento mecánico. Entonces, todas las variables son flujos.

Newton señaló que el "conteo de tráfico" incluye básicamente tres tipos de problemas.

(l) “Conocer la relación entre flujos y encontrar la relación entre ellos”, que equivale al cálculo diferencial.

(2) Conocer la ecuación que representa la relación entre los números de flujo y encontrar la relación entre los flujos correspondientes. Esto es equivalente al cálculo integral. El método integral de Newton incluye no solo resolver la función original, sino también resolver ecuaciones diferenciales.

(3) El ámbito de aplicación de la "tecnología de flujo" incluye calcular los valores máximo y mínimo de la curva, encontrar la tangente y curvatura de la curva, encontrar la longitud de la curva y calcular la área del borde curvo.

Newton se dio cuenta plenamente de que las operaciones en los dos tipos de problemas anteriores (1) y (2) son operaciones recíprocas, por lo que estableció la conexión entre el cálculo diferencial y el cálculo integral.

Newton mencionó el "conteo de flujo" en un manuscrito del 20 de mayo de 1665, por lo que algunas personas consideraron este día como el nacimiento del cálculo.

Leibniz hizo el cálculo más conciso y preciso.

El matemático alemán Leibniz (G. W. Leibniz 1646-1716) descubrió de forma independiente el cálculo a partir de la geometría. Después de Newton y Leib, quienes hicieron contribuciones pioneras al nacimiento del cálculo, antes de Nitz, al menos docenas de matemáticos habían estudiado cálculo. . Sin embargo, nuestro trabajo es fragmentado, incoherente y carece de unidad. El enfoque y el método de Leibniz para establecer el cálculo eran diferentes de los de Newton. Leibniz introdujo el concepto de cálculo estudiando las rectas tangentes de las curvas y el área encerrada por la curva, y obtuvo el algoritmo. Newton combinó más cinemática en la aplicación del cálculo y sus logros fueron incluso mejores que los de Leibniz. Sin embargo, las expresiones de Leibniz fueron mucho mejores que las de Newton, y no solo revelaron de manera concisa y precisa la esencia del cálculo, sino que también promovieron poderosamente el desarrollo de las matemáticas superiores. .

Los símbolos de cálculo creados por Leibniz contribuyeron al desarrollo del cálculo, así como los números indoárabes impulsaron el desarrollo de la aritmética y el álgebra. Leibniz fue uno de los creadores de símbolos más destacados de la historia de las matemáticas.

Los símbolos diferencial e integral de Newton ya no se utilizan, pero los símbolos de Leibniz todavía se utilizan en la actualidad. Leibniz se dio cuenta antes y más claramente que otros de que los buenos símbolos pueden ahorrar mucho trabajo mental y que la habilidad de utilizar símbolos es una de las claves del éxito en matemáticas.