Análisis: Interés = principal × tasa de interés × período de depósito
Principal e interés = interés principal
interés de un bono × (tasa de interés del bono 1 B) × Fecha de caducidad=108.
Solución: suponga que la tasa de interés anual del bono A es x. Según el significado de la pregunta, la tasa de interés anual del bono A es 1000x yuanes y la tasa de interés anual del bono B es x-. 0.02, luego
1000 x (1 x -0.02)= 108
Finalizando: 250x2 245x-27=0.
(10x-1)(25x 27)=0
x1=0.1 x2=-
∫x2 =-Irrelevante, ríndete.
∴x=0.1=10
Respuesta: La tasa de interés anual de los bonos Clase A es 10.
Ejemplo 2. Una determinada planta de energía estipula que si cada hogar en el área familiar de la planta consume no más de un kilovatio hora de electricidad por mes, entonces el hogar sólo tendrá que pagar 10 yuanes por la electricidad este mes. Si excede un grado, aún deberá pagar 10 yuanes por la electricidad este mes, y el exceso se pagará a una tarifa de 10 yuanes por kilovatio hora.
(1) Un hogar en esta fábrica consumió 90 kilovatios-hora de electricidad en febrero, superando el grado A prescrito. ¿Cuánto debo pagar por el exceso (indicado por A)?
(2) La siguiente tabla muestra el consumo eléctrico del hogar y la situación de pago en los meses de marzo y abril:
Mensual
Consumo eléctrico (kilovatios hora)
Factura total de electricidad (yuanes)
Marzo
80
25
Abril
p>45
10
Según los datos de la tabla anterior, ¿cuál es el grado A especificado de la central eléctrica?
Análisis: Este problema es un problema económico en la vida real. La situación es familiar, pero el problema tiene un inconveniente. No puedes ver directamente la respuesta a la pregunta. Debes leer y pensar detenidamente.
La pregunta (1) es relativamente simple. El exceso de factura de electricidad a pagar es (90-A) yuanes. Como se puede ver en la tabla, el problema (2) es 45
10 (80-A)=25
Después de ordenar, A2-80A 1500=0.
Solución: A1=50 A2=30.
Pero a2 = 30
∴A=5
Solución.
Ejemplo 3. Un centro comercial vende un lote de camisetas de marca, vendiendo un promedio de 20 piezas por día, con una ganancia de 40 yuanes por pieza. Para ampliar las ventas, aumentar las ganancias y reducir el inventario lo antes posible, el centro comercial decidió tomar las medidas adecuadas de reducción de precios. Después de la investigación, se descubrió que si cada camiseta se redujera en 1 yuan, el centro comercial podría vender 2 camisetas más al día en promedio.
Si el beneficio diario medio del centro comercial es de 1.200 yuanes, ¿cuánto debería reducirse el precio de cada camiseta?
Solución: Supongamos que cada camiseta cuesta x yuanes.
Del significado del problema:
(40-x)(20 2x)=1200
Terminando, x2-30x 200=0.
x1=10 x2=20
Según el significado de la pregunta, x=10 no cumple con el significado de la pregunta y se descarta.
Entonces x=20.
El precio de cada camiseta se reducirá a 20 yuanes.
Nota: Este problema es una aplicación de una ecuación cuadrática en una economía de mercado. Es relativamente sencillo utilizar condiciones conocidas para enumerar ecuaciones y resolverlas. Sin embargo, después de obtener las raíces de la ecuación, es difícil comprobar si satisfacen el significado del problema. Se sabe que existe el requisito de "reducir el inventario lo antes posible". Por cada yuan reducido, se pueden vender un promedio de dos artículos por día, por lo que x = 10, lo cual no es adecuado para la pregunta.
Ejemplo 4.
Si el equipo A y el equipo B completan un proyecto en 6 días, el fabricante debe pagar al equipo A y al equipo B ** 8700 yuanes, y si el equipo B y el equipo C completan 10 días, el fabricante debe pagar al equipo B y al equipo C * * 9.500 yuanes. Si el equipo A y el equipo C cooperan para completar todo el proyecto en 5 días, el fabricante debe pagar los salarios del equipo A y del equipo C.
(1) ¿Cuántos días les tomará al Equipo A, al Equipo B y al Equipo C completar todos los proyectos de forma independiente?
(2) Si el período de construcción no requiere más de 15 días para completar todo el proyecto, ¿qué equipo puede gastar menos dinero para completar el proyecto solo? Por favor explique por qué.
Análisis: esta pregunta trata sobre el uso del conocimiento matemático para resolver problemas de producción simples, que también es el propósito de la enseñanza de matemáticas en las escuelas secundarias.
El primer problema es un problema de ingeniería. Hay tres cantidades en los problemas de ingeniería: carga de trabajo total, eficiencia del trabajo y tiempo de trabajo. La relación entre estas tres cantidades es: carga de trabajo total = eficiencia del trabajo × tiempo de trabajo.
La segunda pregunta solo necesita saber cuánto dinero debe recibir cada equipo de los Partidos A, B y C cada día, y el número de días que le toma a cada equipo de los Partidos A, B y C para completar el trabajo solo. Qué equipo gasta menos dinero dentro del tiempo especificado.
Solución: (1) Configure el equipo A para que lo complete en X días, el equipo B para que lo complete en Y días y el equipo C para que lo complete en Z días.
Del significado del problema:
Para resolver este sistema de ecuaciones:
Se demuestra que esta solución es la solución de las ecuaciones enumeradas
p>
A: El equipo A lo completará en 10 días, el equipo B lo completará en 15 días y el equipo C lo completará en 30 días.
(2) Supongamos que el equipo A tiene un salario diario, el equipo B tiene un salario diario y el equipo C tiene un salario diario.
Resuelve este sistema de ecuaciones
Además, el requisito de tiempo especificado no debe exceder los 15 días.
No puedes usar el equipo C,
∫10a = 8000 (yuanes) 15b = 9750 (yuanes)
A: Solo al equipo A le cuesta completar esto. proyecto menos.
Explicación: El nuevo plan de estudios de matemáticas requiere "la capacidad de utilizar el conocimiento aprendido para resolver problemas prácticos simples". Ser capaz de resolver problemas prácticos significa: ser capaz de resolver problemas matemáticos de importancia práctica y problemas en disciplinas relacionadas, así como resolver problemas prácticos en la producción y la vida diaria; ser capaz de utilizar el lenguaje matemático para expresar problemas, comunicarse y formar una relación; Conciencia del uso de las matemáticas para resolver problemas prácticos. Las cuatro preguntas anteriores reflejan los requisitos del nuevo programa de estudios. Preguntas de este tipo han aparecido con frecuencia en los exámenes de la escuela secundaria en los últimos dos años y deberían llamar nuestra atención.
Ejemplo 5. La distancia entre A y B es de 15 km. A las 6 de la mañana, A parte de A y camina hasta B. 20 minutos más tarde, B parte de B y viaja hasta A. Después de llegar al punto A, B permanece durante 40 minutos y luego regresa a la velocidad original. Como resultado, A y B llegan a B al mismo tiempo. Si B anda en bicicleta y camina 10 millas por hora más que A.
Análisis: Este problema es un problema de viajes. Hay tres cantidades básicas en el problema del viaje: velocidad, tiempo y distancia Distancia = velocidad × tiempo. Si este problema se plantea indirectamente, suponiendo que A camina x kilómetros por hora y B anda en bicicleta (x 10) kilómetros por hora, y se sabe que la distancia entre AB y AB es de 15 kilómetros, podemos usar el tiempo que tarda A y B para encontrar la relación de equivalencia.
Solución: Suponemos que A viaja x kilómetros por hora.
Luego B anda en bicicleta y camina (x 10) kilómetros por hora.
Del significado de la pregunta: 1=
Ya ordenado: x2 25x-150=0.
Para resolver esta ecuación: x1=5, x2=-30.
Se confirma que X1 = 5 y X2 =-30 son las raíces de las ecuaciones listadas.
Pero x=-30 no importa.
∴x=5
A esta hora, 15÷5=3 (horas)
R: A las 9 de la mañana, ambas partes A y B llegaron a B al mismo tiempo.
Ejemplo 6. Dos vehículos A y B parten del punto A al mismo tiempo y pasan por el punto C hasta el punto B. Se sabe que la distancia entre el punto C y el punto B es de 180 kilómetros. Al partir, A recorrió 5 kilómetros más que B. Por lo tanto, B pasó el punto C, media hora más tarde que A. Para alcanzar a A y B, aumentaron su velocidad a 10 kilómetros por hora. Como resultado, los dos autos llegan al lugar B al mismo tiempo y podemos encontrar la velocidad inicial de los dos autos.
Análisis: La clave para solucionar este problema es ir de C a B. A tarda media hora más que B.
Solución: Supongamos que la velocidad de B es x km/h.
Entonces una velocidad es (x 5) km/h.
- =
Ordenados: x2 15x-1750=0.
Resuelve esta ecuación: x1=35, x2=-50.
Se confirma que X1 = 35 y X2 =-50 son las raíces de las ecuaciones listadas.
Pero x=-50 no encajaba con el problema, así que me di por vencido.
∴x=35
∴x 5=35 5=40
A: A sale a una velocidad de 40 km/h, B comienza a a una velocidad de 35 km/h Salida a una velocidad de 1 hora.
Ejemplo 7. Ambos bandos, A y B, partieron de dos lugares al mismo tiempo en la misma dirección. Después de pasar el punto B, el Partido A superó al Partido B en el punto C después de 3 horas y 12 minutos. En este momento, la distancia total que recorrieron es de 36 kilómetros y la distancia entre A y C es igual a las 5 horas del Partido B. ¿Cómo encontrar la distancia entre A y B?
Análisis: Es conveniente establecer indirectamente los elementos de este problema. Por ejemplo, si las velocidades de A y B son el tiempo" para establecer un sistema de ecuaciones.
Solución: Sea la velocidad de A X km/h y la velocidad de B sea Y km/h.
Entonces AC tiene 5y km de largo y BC tiene X km de largo (3 horas 12 minutos = horas).
AB tiene (5y-x) kilómetros de largo.
Del significado de la pregunta
Para resolver este sistema de ecuaciones:
Todas son soluciones de las ecuaciones enumeradas.
Se rindió de nuevo/no fue al grano.
∴
∴ 5y-x=5×4- =4
A: A y B miden 4 kilómetros de largo.
Prueba
Preguntas de opción múltiple del grupo A (20 puntos cada una)
1. El valor de la producción industrial de una zona de desarrollo económico alcanzó los 5 mil millones de yuanes en enero. Este año el valor total de la producción es de 17,5 mil millones de yuanes. ¿Cuál fue la tasa de crecimiento mensual promedio en febrero y marzo? Sea x el porcentaje de crecimiento mensual promedio y obtenga la ecuación de acuerdo con el significado de la pregunta.
(A)50(1x)2 = 175(B)50 50(1x)2 = 175
(C)50(1x) 50(1x) 2 = 175(D)50 50(1 x) 50(1 x)2 = 175
2. Los estudiantes del Equipo A y del Equipo B pueden reverdecer el campus en seis días. Si trabajan solos, el equipo A dedicará 5 días menos que el equipo B. ¿Cuántos días tardará cada equipo en trabajar solo?
Si el equipo A necesita X días para trabajar solo, la ecuación obtenida según el significado de la pregunta es ().
(A)= 6(B)= 6(C)6()= 1(D)= 1
Preguntas de opción múltiple del grupo B (30 puntos cada una)
1. Muchas personas en una aldea están dispuestas a recaudar decenas de miles de yuanes mediante la recaudación de fondos equitativa para desarrollar la comunidad. Después de que se conoció la noticia, tres aldeanos creyeron que el proyecto de desarrollo era correcto y solicitaron participar. Cada uno de ellos podría recaudar 3.000 yuanes menos. Al final de la recaudación de fondos, se agregó una nueva persona, lo que una vez más redujo la cantidad per cápita. de los fondos recaudados. 600 yuanes. Pregunté cuántas personas de la aldea recaudaron fondos. * * *¿Cuánto dinero se recaudó?
La solución es la siguiente: supongamos que el número inicial de personas que recaudan fondos es X y que cada persona recauda un promedio de Y yuanes. Según el significado del problema, enumere las ecuaciones:
Solución 1:
Solución 2: Basado en el principio implícito de "complementariedad dentro y fuera", obtenga el sistema de ecuaciones :
Solución 3: Basado en el principio implícito de “complementariedad dentro y fuera”, se obtiene el sistema de ecuaciones:
Hay tres soluciones a lo anterior, y la incorrecta es:
(a) Solución 1 (b) ) Opción 2 (c) Opción 3 (d) son todas correctas.
2. Dos trenes A y B salen de dos estaciones separadas por 300 kilómetros y circulan uno hacia el otro al mismo tiempo.
Después de reunirse, el tren A tardará 4 horas en llegar a Bilibili y el tren B tardará 9 horas en llegar a la estación a, por lo que se puede encontrar la velocidad de cada tren.
Solución 1: Suponga que la velocidad del auto A es La velocidad es Formule la ecuación:
Opción 3: Establezca un número desconocido indirectamente, suponiendo que al encontrarse, ambas partes A y B viajarán X horas cada uno.
Según la pregunta, la ecuación es ×4 ×9=300.
Es decir, = 1,
X2 = 36, x = 6 (-6 es irrelevante, así que deséchalo).
Entonces V A == 30 (km/hora),
V b ==20 (km/h),
La solución anterior es correcta:
(1) 1(2 ) No existe una solución correcta para dos (tres) tres (cuatro).
Respuesta y análisis
Respuestas del grupo A: 1, D 2, C. Respuestas del grupo B: 1, C 2, C.
Análisis del Grupo B:
1. Estrategia de resolución de problemas: Primero, según la lista de varias cantidades básicas, reemplaza los números desconocidos con las letras correspondientes, lo que ayudará a aclarar. el significado del problema Por ejemplo:
Número de recaudaciones de fondos
Cantidad promedio de recaudación de fondos
Cantidad total
Al principio
p>x
y
z
Después del primer aumento,
x 3
y-3000
p>z
Después del segundo aumento,
x 4
y-3000-600
z
2. Según el principio de complementariedad: la recaudación de fondos original reduce el monto total (salida) de cada persona y la nueva recaudación de fondos aporta (entrada).
Opción 1: supongamos que el número inicial de personas que recaudan fondos es X y que cada persona recauda un promedio de Y yuanes. Según el significado del problema, enumere la ecuación:
Solución:
Entonces z=xy=54000 (yuanes).
Respuesta: Resultó que 6 personas recaudaron fondos y recaudaron 54.000 yuanes.
Solución 2: Partiendo del principio implícito de “complementariedad dentro y fuera”, se obtiene el sistema de ecuaciones:
La tercera solución es errónea. Tenga en cuenta que "reducir la cantidad promedio de fondos recaudados por persona en 600 yuanes nuevamente" se refiere a una reducción de 600 yuanes además de la reducción de 3.000 yuanes. De hecho, es una reducción de 3.600 yuanes y no puede entenderse como 2.400 yuanes.
2. Estrategias de resolución de problemas: Dibujar diagramas de análisis es una forma eficaz de resolver problemas de viaje.
Utilizar diferentes líneas para distinguir objetos en movimiento a diferentes velocidades es una buena forma de facilitar la comprensión de las condiciones de la pregunta.
Solución 1: Supongamos que la velocidad del auto A es X km/h y la velocidad del auto B es Y km/h. Según el significado de la pregunta, podemos obtener:
<. p>9y2=de (2) de 4x2,3y=2x (dado que x e y son positivos, los negativos se descartan).
Solución:
Después de las pruebas, esta solución cumple con los requisitos de la pregunta.
A: La velocidad del automóvil A es de 30 kilómetros por hora, y la velocidad del automóvil B es de 20 kilómetros por hora.
Solución 2: Como se mencionó anteriormente, según el dos autos se encuentran al mismo tiempo, la diferencia de tiempo entre los dos autos es 9-4=5 horas, es decir, la diferencia de tiempo durante todo el viaje es de 5 horas. En base a esto, se deriva la ecuación:
(omitido a continuación).
Opción 3: Establecer el número desconocido indirectamente. Supongamos que al reunirse, ambas partes, A y B, viajarán X horas cada una.
Según la pregunta, la ecuación es ×4 ×9=300.
Es decir, = 1,
X2 = 36, x = 6 (-6 es irrelevante, así que deséchalo).
Entonces V A == 30 (km/hora),
V B ==20 (km/h).
Las tres soluciones anteriores son todas correctas.
Usa ecuaciones para resolver problemas de aplicación
Centro/sitio de pruebas
1. Enumerará ecuaciones o fórmulas para resolver problemas de aplicación.
2. Resolver problemas formulados formulando ecuaciones para mejorar aún más el pensamiento lógico, el análisis de problemas y las habilidades de resolución de problemas.
Comentarios sobre las preguntas del examen
1. Un centro comercial en (Guangzhou) obtuvo ingresos por ventas de 250.000 yuanes en marzo y 360.000 yuanes en mayo. ¿Cuál es la tasa de crecimiento mensual promedio de los ingresos por ventas de este centro comercial en los últimos dos meses?
Punto de prueba: Aplicación de ecuaciones cuadráticas
Comentarios: Primero, los ingresos de mayo se expresan por los ingresos de marzo y la tasa de crecimiento (x). Basado en la cantidad real en mayo, la ecuación 25(1 x)2=36.
Respuesta: 20
Nota: (1) Resolver una ecuación cuadrática requiere dos métodos de solución y luego elegir según la situación real.
(2)Los resultados deben expresarse en forma de porcentaje.
2. Una empresa de tecnología (Chengdu) desarrolló con éxito un nuevo producto y decidió pedir prestado 2 millones de yuanes al banco para producirlo. El contrato firmado estipula que el capital y los intereses se reembolsarán en una sola suma después de dos años, y el interés será el 8% del capital. Una vez que el producto salga al mercado, gracias a la producción y las ventas adecuadas, la empresa obtendrá una ganancia de 720.000 yuanes, además de liquidar el principal y los intereses del préstamo cuando expire en dos años. Si la tasa de crecimiento anual del capital de la empresa es la misma que la del año anterior, intente esto.
Punto de prueba: Aplicación de una ecuación cuadrática.
Comentario: El valor de producción después de dos años es la dificultad de la ecuación, y también es la dificultad de esta pregunta, es decir, el valor de producción después de dos años es el principal más los intereses más la ganancia [200. (1 8) 72]. No es difícil enumerar el significado de la pregunta. Obtenga la ecuación 200(1 x)2 = 72 200(1).
Solución: Sea x este porcentaje.
Según el significado de la pregunta, la ecuación es 200(1 x)2 = 72 200(1 8).
Simplifica para obtener 200(1 x)2=288.
Es decir (1 x)2=1,44.
La solución es x1=0.2=20, x2=-2.2 (irrelevante, omitido).
a: El porcentaje del crecimiento del capital de la empresa es 20.
3. (Kunming) Una fábrica emite 4,5 millones de metros cúbicos de gases residuales industriales cada año. Para mejorar la calidad del medio ambiente atmosférico de Kunming, se decidió realizar un tratamiento en dos fases para reducir las emisiones anuales de gases residuales a 2,88 millones de metros cúbicos. Si el porcentaje de reducción de gases de escape es el mismo en cada etapa.
(1) ¿Cuál es el porcentaje de reducción en cada período?
(2) Se espera invertir 30.000 yuanes por cada reducción de 6,5438 millones de metros cúbicos de gases residuales en la primera fase de tratamiento, y 45.000 yuanes por cada reducción de 6,5438 millones de metros cúbicos de gases residuales en la segunda fase del tratamiento. ¿Cuántos millones de yuanes se invertirán una vez finalizadas las dos fases del tratamiento?
Solución: (1) Sea x 1 el porcentaje de disminución en cada período.
Según el significado de la pregunta: 450(1-x)2=288 3.
(1-x)2=0.64
Solución: x = 1 0.8
∴ x1=0.2, x2=1.8 (irrelevante, omitido) 5 puntos .
∴La disminución porcentual en cada periodo es del 20.
(2)∵ 450 (1-20)=360
∴La cantidad de gases de escape reducidos en la primera etapa es 450-360=90 (1.000 metros cúbicos) 6 minutos .
Además, la reducción de gases residuales en la segunda fase es de 360-288=72 (millones de metros cúbicos)7 puntos.
Entonces * * * necesitas invertir 3×90 4,5×72=594 (10.000 yuanes) 8 puntos.
Respuesta: (1) El porcentaje de reducción para cada período es 20, (2) Una vez completados los dos períodos de tratamiento, * * * se requiere una inversión de 5,94 millones de yuanes y 90 centavos.
4. (Provincia de Liaoning) Resolución de problemas verbales de ecuaciones:
Un cliente compró algunos productos pequeños en la tienda por primera vez y gastó 5 yuanes. Cuando compró pequeños productos por segunda vez, descubrió que el precio por docena (12) había bajado 0,8 yuanes. Compró 10 más que la primera vez.
De esta manera, la segunda vez, * * * les costó 2 yuanes, y la segunda vez compraron sólo una docena de productos pequeños. Pregúntele cuántos productos pequeños compró por primera vez.
Punto de prueba: usar ecuaciones fraccionarias para resolver problemas planteados.
Comentarios: Pensamiento: Supongamos que la primera vez que compras un bien pequeño son X piezas, y luego la segunda vez que compras un bien pequeño son (x 10) piezas, indica el precio de cada pieza respectivamente. La diferencia entre los dos tiempos es el precio de cada pequeño bien. Este problema se puede resolver formulando una ecuación fraccionaria.
Nota: Para encontrar el valor desconocido, se debe probar para que la ecuación no solo sea válida sino también consistente con la realidad.
Solución: Supongamos que el pequeño bien que compró por primera vez fue de X piezas.
Según el significado de la pregunta, debes
Después de nombrar, el resultado es x2-35x-750=0.
La solución es x1=50, x2=-15.
X 1 = 50, X^2 =-15 son las raíces de la ecuación original.
Pero x=-15 no importa, simplemente tomamos x=50.
a: Compró 50 productos pequeños por primera vez.
5. (Distrito de Haidian, Beijing) Resolución de ecuaciones o aplicación de ecuaciones:
Para responder al llamado a la conservación del agua, la familia de Xiaohong quiere utilizar 200 m3 de agua para 5 meses más que en el pasado. Planificar utilizar menos 2m3 de agua cada mes. ¿Cuánta agua planea usar la familia de Xiaohong cada mes?
Punto de prueba: usar ecuaciones (conjuntos) para resolver problemas planteados.
Comentarios: La ecuación (o grupo) es una relación que resuelve problemas de aplicación revisando preguntas y encontrando relaciones equivalentes, por lo que es fácil establecer una ecuación (grupo) desconocida, (donde x es la ecuación diaria original). consumo de agua) x = 65438 100m3, por lo que el consumo de agua mensual planificado es de 8m3.
6. (Provincia de Shanxi) Resolver problemas verbales de ecuaciones de secuencia:
A y B están a 80 kilómetros de distancia. Un autobús sale de A y va a B. Dos horas más tarde, un automóvil parte de A y viaja en la misma dirección. La velocidad de un automóvil es tres veces mayor que la de un autobús. Como resultado, el automóvil llega a B 40 minutos antes que el autobús. Encuentra la velocidad de los dos autos.
Solución: Si la velocidad del autobús es X km/h, entonces la velocidad del coche es 3xkm/h.
Según el significado de la pregunta, entiendes.
Resuelve para obtener x=20.
Confirma que x=20 es la solución a la ecuación listada, y ∴3x=60.
a: La velocidad del autobús es de 20 kilómetros por hora, y la velocidad de el coche va a 20 kilómetros por hora 60 kilómetros..