Tema Especial 1: Conjuntos y Lógica Simple
Métodos de expresión de conjuntos: método de descripción, método de enumeración, intervalo, (diagrama de Venn)
Uso de prueba por contradicción para demostrar una lógica simple
1． Para problemas de conjuntos, es necesario determinar a qué tipo de conjunto pertenece (conjunto de números, conjunto de puntos o conjunto de filas de gráficos)
Nota: Los conjuntos de ángulos y los conjuntos de ángulos no se pueden representar mediante intervalos, y los intervalos pueden sólo representan conjuntos de números.
2. Las operaciones de conjunto primero se reducen a la forma más simple y luego se realiza el cálculo.
3. Los problemas de conjuntos con parámetros se manejan de acuerdo con la mutualidad de los elementos del conjunto. A veces es necesario clasificarlos y discutirlos, y se combinan los números y las formas.
4. Los problemas de conjuntos están relacionados principalmente con funciones, ecuaciones y desigualdades. Preste atención a su uso junto con otros conocimientos.
5. Preste atención a algunas frases en el diseño de la pregunta establecida, como por ejemplo: todos y no todos, arbitrario y cierto, etc.
Nota: Función par + función par = función par (probar con definición)
Información complementaria: (1) El conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto y un hijo verdadero de cualquier conjunto no vacío Conjunto
(2) Cualquier conjunto es un subconjunto de sí mismo
(3)Cu(A∩B)=(CuA)∪(CuB) Cu(A∪ B) =(CuA)∩(CuB)
Funciones Tema 2
Tres elementos de una función: dominio de definición, rango de valores, regla correspondiente
Método de expresar funciones: tablas, imágenes, fórmulas analíticas
Usar definiciones para demostrar la monotonía y paridad de funciones
Las funciones impares son simétricas con respecto al origen y las funciones pares son simétricas con respecto al eje Y
Funciones Las propiedades incluyen: dominio, paridad, monotonicidad, periodicidad
*Análisis concreto de problemas específicos de funciones abstractas
1. una función a menudo se reduce al problema de encontrar una función. Para el problema del valor óptimo, se debe prestar atención al uso de desigualdades básicas, funciones cuadráticas y la monotonicidad de las funciones.
Al encontrar el dominio de valor de una función, debemos prestar atención al papel de la ley correspondiente y prestar especial atención al papel restrictivo del dominio de definición. También debemos prestar atención a otras restricciones, es decir, debemos considerar. todos los aspectos y preste especial atención a: el intervalo dado de la función cuadrática
2. Encuentre el método analítico:
(1) Introduzca las variables apropiadas y aplíquelas a problemas prácticos (problemas de aplicación). , es decir, "modelado"
(2) Método de coeficiente indeterminado
(3) Método de sustitución
(4) Método de resolución de ecuaciones: basado en lo conocido ecuaciones, construya otras ecuaciones para formar un sistema de ecuaciones y encuentre f(x)
3. Juicio de monotonicidad:
(1) Método de definición
* (2) Aumento+aumento=aumento-disminución-disminución=disminución
Aumento-disminución= Aumento y disminución—aumento = disminución
(3) Inversos pares, impares y
(4) Las funciones mutuamente inversas tienen la misma monotonicidad
(5) Si f(-x) es una función creciente (decreciente) en el intervalo D, entonces f(x) también lo es una función creciente (decreciente) en cualquier subintervalo de D
(6) Mismo aumento y diferente disminución
p>4 Determinar la paridad
(1) Descubrir. la periodicidad y paridad de funciones en la resolución de problemas para facilitar la resolución de problemas
(2) Simplifique la función, use la definición nuevamente
f(-x)=±f(x)← →f(-x)±f(x)=0←→f(-x)/f(x)=±1 [f(x)≠0]
☆ Nota: Si es un función impar, no debe exceder (0,0) o definitivamente exceder (0,0)
Al resolver problemas de funciones, si encuentra dificultades, puede considerar los dos métodos siguientes:
(1) Si es difícil, entonces es lo contrario
(2) Separar variables
Usar funciones cuadráticas, ecuaciones cuadráticas y desigualdades cuadráticas se pueden transformar en cada una otros para resolver diversos problemas integrales, como problemas de valor óptimo, problemas de distribución de raíces, problemas de desigualdad, problemas de aplicación, etc.
1 Para la función f(x)=a( x-h) ?+k (a. >0) Para el problema del valor óptimo de x∈[p,q], es mejor utilizar el método gráfico, especialmente cuando "el eje cambia en un intervalo fijo" y "el eje cambia en un intervalo fijo", en estos En dos casos, las imágenes se utilizan como referencia. Descubra la discusión como estándar para la clasificación. Para resolver el problema de "determinar el eje y determinar el intervalo", no es necesario utilizar la imagen. p,q], entonces x=h, hay un valor mínimo k. El valor máximo es el mayor de f(p) y f(q). Si h no es ∈ [p, q], entonces el valor menor de. f(p) y f(q) es el valor mínimo, el mayor es el valor máximo, es decir, el valor máximo se obtiene en el punto final del intervalo
2. f (x) ≥ 0 siempre es cierto en el intervalo [p, q], lo que equivale a convertirlo en f (x) Problema de valor mínimo en [p, q], el valor mínimo es 0. La forma más clásica de resolver este problema consiste en separar las variables
3. Cuando el coeficiente del término cuadrático es un número negativo, se convierte a un número positivo.
Cuando resolver una ecuación cuadrática de una variable y una de las raíces tiene una condición restrictiva, a menudo necesitas usar imágenes
4. Al resolver desigualdades cuadráticas, debes prestar atención al problema inverso, especialmente al cuadrático. ecuación El conjunto solución de la desigualdad es la proposición equivalente del conjunto vacío y el caso de R: el conjunto solución de ax?+bx+c>0 es R←→{a>o, △<0 o {a= b=o,c>0 . El conjunto solución de ax?+bx+c<0 es R←→{a<0,△<0 o {a=b=0,c<0
. Algunas habilidades para resolver problemas:
Al resolver desigualdades cuadráticas: el primer paso es considerar △, el eje de simetría y, a veces, el teorema védico.
El segundo paso es observar el dominio de definición y las condiciones límite del rango de valores
p>Nota: Cuando hay raíces reales en un determinado intervalo, se multiplican los dos valores en el intervalo y el producto es un número negativo, que es llamado método de rango
Cuando las letras contienen parámetros, tenga en cuenta Discusión de clasificación
Al resolver varias soluciones, verifique si cada solución es consistente
Cuando es exponencial o logarítmica aparecen funciones, preste atención a los requisitos especiales para las letras. A veces puede usar el método de sustitución (tenga en cuenta que puede usar el método de juzgar la paridad y la monotonicidad)
También preste atención a los detalles en el diseño de la pregunta. /p>
1. La base de la función exponencial es mayor que 0 y no igual a 1. Esta es una condición implícita
2. Función creciente. Cuando 0
Cuando se utiliza la misma base y bases diferentes, se construyen dos. funciones exponenciales y use la proporción de la imagen
(2) Encuentre la proporción intermedia
4 Al resolver desigualdades exponenciales simples, cuando la base se llama parámetro y el tamaño de la base y. 1 es incierto, es necesario clasificarlo y discutirlo
5 El método básico para comparar el tamaño de dos logaritmos es:
(1) Construir la función logarítmica correspondiente
[(2) Utilice la fórmula de cambio de base para formular la misma base ㏒ab=㏒eb/㏒ea]
(3) Tenga en cuenta que con comparación 0 o 1
6. Presta atención al uso de variables separadas
7. La idea básica de resolver ecuaciones logarítmicas es transformarlas en ecuaciones algebraicas. Sus tipos comunes son:
(1) Una ecuación de la forma logaf(x)=loag(x)(a>0,a≠1) se transforma en f(x)=g(x) Resuelva
(2) Para ecuaciones de la forma F(logax)=0, use el método de sustitución
(3) Para ecuaciones de la forma logf(x)g(x) =c, resuélvelo convirtiéndolo en una fórmula exponencial [f(x)∧c=g(x)
Nota: A veces es útil convertir ecuaciones exponenciales y logarítmicas entre sí para resolver el problema.
*8. Al resolver ecuaciones logarítmicas, preste atención a la prueba de raíces.
9 Al resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas que contienen parámetros, preste atención a la conversión equivalente de la ecuación original en una determinada. grupo mixto, y preste atención a simplificar la solución bajo el principio de conversión equivalente. Discusión sobre parámetros
10 Las ecuaciones exponenciales y logarítmicas son ecuaciones trascendentales, por lo que se debe prestar atención a la transformación
¡En el campo de las matemáticas, se refiere al punto de conexión entre curvas convexas y curvas cóncavas! !
Cuando un punto en la gráfica de una función hace que la segunda derivada de la función sea cero y la tercera derivada distinta de cero, este punto es el punto de inflexión de la función.
En la vida, el punto de inflexión se usa a menudo para explicar que una determinada situación continúa aumentando durante un período de tiempo y luego comienza a disminuir o retroceder. Esta frase es incorrecta. un punto estable o un punto de estancamiento;
Por lo tanto, hay un punto de inflexión en la economía, un punto de inflexión en la caída a largo plazo y un punto de inflexión en el mercado de valores.
Si la función y=f(x) es diferenciable en el punto c, y un lado del punto c es convexo y el otro lado es cóncavo, entonces se dice que c es el punto de inflexión de la función y =f(x).
Además, si c es un punto de inflexión, f''(c)=0 o f''(c) no debe existir; lo contrario no es cierto, por ejemplo, f(x)=x^4, f''; (0)= 0, pero ambos lados de 0 son convexos, por lo que 0 no es el punto de inflexión de la función f(x)=x^4.
Cómo encontrar el punto de inflexión: Podemos seguir los siguientes pasos para determinar el punto de inflexión de la curva continua y=f(x) en el intervalo I:
(1) Encuentra f''(x) ;
(2) Sea f''(x)=0, resuelve la raíz real de esta ecuación en el intervalo I y encuentra el punto donde f''(x) ) no existe en el intervalo I ;
(3) Para cada punto x0 donde la raíz real o segunda derivada encontrada en (2) no existe, verifique los símbolos adyacentes de f''(x) en los lados izquierdo y derecho de x0, entonces Cuando los signos en ambos lados son opuestos, el punto (x0, f (x0)) es un punto de inflexión. Cuando los signos en ambos lados son iguales, el punto (x0, f. (x0)) no es un punto de inflexión.
El punto de conexión que es cóncavo y convexo por un tiempo es el punto de inflexión
Una función con un punto de inflexión es una función de punto de inflexión
Si la analítica La expresión de una función contiene el símbolo de valor absoluto, entonces esta función se puede transformar en una función por partes. La solución común es considerar las funciones de cada segmento como funciones independientes, encontrar sus intervalos monótonos por separado y luego integrarlos. Sin embargo, cabe señalar que el intervalo monótono de la función segmentada debe estar dentro de su dominio de definición.
Cuando se utiliza la intuición de la gráfica de una función cuadrática para determinar el valor máximo de una función, es necesario determinar si la dirección de apertura y el eje de simetría de la función cuadrática se encuentran dentro del intervalo.
La resolución de problemas verbales de funciones generalmente se divide en los siguientes cuatro pasos:
① Revisar la pregunta: aclarar el significado de la pregunta, analizar las condiciones y conclusiones y aclarar las cuestiones cuantitativas. relación;
②Modelado: convertir el lenguaje de texto en lenguaje matemático, utilizar el conocimiento matemático para establecer los modelos matemáticos correspondientes;
③Solución: resolver el modelo matemático y sacar conclusiones matemáticas;
④ Reducción: Restaurar la conclusión al significado del problema real, es decir, responderlo.
Existen los siguientes ocho métodos para encontrar el dominio de valor de una función:
Método 1: Método de observación Este método es adecuado para responder preguntas de opción múltiple y completar el formulario. -preguntas en blanco.
Método 2: Método de desigualdad Este método es adecuado para resolver preguntas integrales.
Método 3: Método de función inversa Este método tiene un ámbito de aplicación limitado y es más adecuado para situaciones en las que x es lineal.
Método 4: Método de constante de separación
Método 5: Método discriminante Este método es adecuado para el caso en el que x es cuadrático
Método 6: Método de imagen Este método es más adecuado para preguntas de opción múltiple y preguntas para completar espacios en blanco. Dibuje un bosquejo de la función y las preguntas serán intuitivas y claras.
Método 7: método de variable intermedia Este método tiene un ámbito de aplicación extremadamente limitado y debe dominarse con flexibilidad.
Método 8: Método de mezcla Este método requiere un dominio flexible y, a menudo, puede lograr resultados inesperados.
Las funciones son un contenido importante en las matemáticas de la escuela secundaria, y las funciones inversas son una parte importante de las funciones y una de las dificultades en el aprendizaje de funciones. Las funciones inversas también ocupan una cierta proporción en el examen de ingreso a la universidad a lo largo de los años. Las propiedades de las funciones inversas se resumen a continuación.
Propiedad 1: El dominio y dominio de la función original son el dominio y dominio de la función inversa respectivamente
Al encontrar la función inversa de la función original y el dominio y dominio de la función inversa Al resolver problemas relacionados, si puede hacer un uso completo de esta propiedad, será de gran ayuda para resolver el problema.
Domina los dos métodos básicos de los gráficos de funciones: método de descripción y método de transformación de imágenes (existen métodos de dibujo de cinco puntos en funciones trigonométricas)
Transformación de imágenes: traslación, rotación, simetría, expansión y contracción
Tema especial: Imágenes y propiedades de funciones trigonométricas
1. Utilice el círculo unitario, imágenes de funciones trigonométricas y ejes numéricos (los ejes numéricos se utilizan a menudo para encontrar la intersección). de intervalos y coordenadas de razón El sistema es simple) para encontrar el dominio de funciones trigonométricas
2 Métodos comúnmente utilizados para encontrar el dominio de funciones trigonométricas:
(1) Discriminante, desigualdades importantes, monotonicidad
★(2) Convierta la función trigonométrica dada en una función cuadrática y evalúe el dominio del valor mediante el método de comparación.
Por ejemplo: convertido a: y=asin?x+bsinx+c
(3) Utilice el dominio de evaluación de acotación (valor máximo, valor mínimo) de senx y cosx
( 4 ) Método de sustitución
Cuando se utiliza el método de sustitución para encontrar el rango de valores de una función trigonométrica, se debe prestar atención a la equivalencia (el anverso y el reverso son iguales después de la sustitución, el dominio de definición y el rango de valores permanecen sin cambios)
3. Determinación de la monotonicidad de funciones trigonométricas: generalmente, la fórmula de la función se transforma primero en la fórmula estándar de la función trigonométrica y luego la solución se resuelve mediante deformación o el uso de una combinación. de números y formas Si se traza la función y se dibuja una gráfica, la solución se puede obtener a través de la intuición de la gráfica.
4 Para determinar la paridad de una función, primero se debe determinar la simetría. del dominio de la función
5. Cómo encontrar el período positivo mínimo de una función trigonométrica: principalmente convirtiéndola en un tipo de función trigonométrica básica a través de la identidad, en la forma:
y=Asin(ωx+φ), pero debemos prestar atención a la equivalencia antes y después de la deformación. También existen métodos de imagen y métodos de definición
★ En resumen, encuentra la función Para determinar el intervalo monótono. , período y paridad de una función, se debe prestar atención a la aplicación de ideas de reducción. Por ejemplo, las propiedades de aumento y disminución de las funciones y=sin(-x) e y=sin(x) en el mismo intervalo son opuestas. porque sin( -x)=-sin(x)
6. La transformación de imágenes de funciones trigonométricas es un cambio de variables en lugar de ángulos
7. imagen: y=Asin Para preguntas de (ωx+φ), a veces el primer punto (-φ/ω,0) en el "método de los cinco puntos" se utiliza como punto de avance, y la posición del primer punto cero debe se puede encontrar a partir del ascenso y caída del ciclo
Fórmula adjunta:
1. Fórmula de suma de ángulos
sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny(Sx+y)
cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny(Cx+y)
tan(x+y)=tanx+tany/1-tanxtany(Tx+y)
2． Fórmula de diferencia de ángulos
sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny(Sx-y)
cos(x-y)=cosxcosys+inxsiny(Cx-y)
tan(x-y)=tanx-tany/1+tanxtany(Tx-y)
3. Fórmula del doble ángulo
sin2x=2sinxcosx
cos2x=（cos ^ 2) x-(sin^2)x=2(cos^2)x-1=1-2sin^2x
tan2x=2tanx/1-(tan^2)x
sin3x=3sinx-4(sin^3)x
cos3x=4(cos^3)x-3cosx
tan3x=3tanx-(tan^3)x/ 1 -3(tan^2)x
4. Fórmula de potencia reductora
(sin^2)x=1-cos2x/2
（cos^ 2 )x=i=cos2x/2
1 Fórmula universal
Sea tan(a/2)=t
sina=2t/(1+). t ^2)
cosa=(1-t^2)/(1+t^2)
tana=2t/(1-t^2)
2. Fórmula del ángulo doble
sin2x=2sinxcosx cos2x=cos^2x-sin^2x=2cos^2x-1=1-2sin^2x tan2x=sin2x/cos2x
3. Fórmula del ángulo triple
sin(3a)=3sina-4(sina)^3
cos(3a)=4(cosa)^3-3cosa
tan(3a)=[3tana-(tana)^3]/[1-3(tana^2)]
4. Suma y diferencia del producto
sina* cosb =[sin(a+b)+sin(a-b)]/2
cosa*sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]
/2
cosa*cosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2
sina*sinb=-[cos(a+b)-cos( a-b)]/2
5. Producto de suma y diferencia
sina+sinb=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]
sina-sinb=2sin[(a-b)/2]cos[(a+b)/2]
cosa+cosb=2cos[(a+b)/2]cos[( a-b)/2]
cosa-cosb=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]
La fórmula del triple ángulo está a continuación -Preguntas escolares Se ha cubierto y se ha introducido la fórmula universal. También existe la fórmula del medio ángulo, que en realidad es una transformación de la fórmula del doble ángulo.
En el área de. funciones trigonométricas, hay muchas transformaciones que se pueden acumular al resolver problemas
p>
Suma y diferencia integradas
sina*cosb=[sin(a+b)+. sin(a-b)]/2
cosa*sinb=[sin(a +b)-sin(a-b)]/2
cosa*cosb=[cos(a+b) )+cos(a-b)]/2
sina*sinb=-[ cos(a+b)-cos(a-b)]/2
Producto de suma y diferencia
sina+sinb=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b )/2]
sina-sinb=2sen[(a-b)/2]cos[(a+ b)/2]
cosa+cosb=2cos[(a+b )/2]cos[(a-b)/2]
cosa-cosb=-2sin[(a +b)/2]sin[(a-b)/2]
Tema especial Vector de cuatro planos
[Editar este párrafo] El concepto de vector
Una cantidad que tiene dirección y magnitud se llama vector (llamado vector en física), y una cantidad que solo tiene magnitud pero no dirección se llama cantidad vectorial (llamada escalar en física).
[Editar este párrafo] Representación geométrica de vectores
Un segmento de recta con una dirección se llama segmento de recta dirigido Un segmento de recta dirigido con A como punto inicial y B como punto de partida. El punto final se registra como AB. (AB está impreso, es decir, en negrita, y se escribe con un → encima)
La longitud del segmento de línea dirigido AB se llama módulo del vector y se registra como |AB|.
Un segmento de recta dirigido contiene tres factores: punto inicial, dirección y longitud.
Vectores iguales, vectores paralelos, vectores lineales, vectores cero, vectores unitarios:
Los vectores con longitudes iguales y la misma dirección se llaman vectores iguales.
Dos vectores distintos de cero con direcciones iguales o opuestas se llaman vectores paralelos.
Los vectores a y b son paralelos, denotados como a//b. cualquier vector, es decir, 0 //a,
En los vectores, los vectores lineales son vectores paralelos (esto es diferente de las líneas rectas, las líneas rectas son la misma línea recta y las líneas vectoriales se refieren a dos es un vector paralelo)
Un vector con longitud igual a 0 se llama vector cero y se denota como 0.
La dirección del vector cero es arbitraria; y el vector cero es perpendicular a cualquier vector.
Un vector cuya longitud es igual a 1 unidad se llama vector unitario.
[Editar este párrafo] Operaciones con vectores
Operación de suma
AB+BC=AC, esta regla de cálculo se llama regla del triángulo de la suma de vectores. (Conectado de extremo a extremo, conectando el principio y el final, apuntando al punto final)
Dados dos vectores OA y OB comenzando desde el mismo punto O, y tomando OA y OB como lados adyacentes para construir un paralelogramo OACB, entonces O es La diagonal OC del punto inicial es la suma de los vectores OA y OB. Esta regla de cálculo se llama regla del paralelogramo de suma de vectores.
Para un vector cero y cualquier vector a, existe: a=a+0=a.
|a＋b|≤|a|＋|b|.
La suma de vectores satisface todas las leyes de la suma.
Operación de resta
AB-AC=CB, esta regla de cálculo se llama regla del triángulo de resta de vectores. (***El punto inicial, conectado al punto final, la dirección apunta al minuendo)
Un vector con la misma longitud que a y la dirección opuesta se llama vector opuesto de a, -( -a)=a, lo opuesto al vector cero. El vector sigue siendo un vector cero.
(1) a+(-a)=(-a)+a=0 (2) a-b=a+(-b).
Operación de multiplicación
El producto del número real λ y el vector a es un vector. Esta operación se llama multiplicación de vectores, denotada como λa, |λa|=|λ. ||a |, cuando λ > 0, la dirección de λa es la misma que la dirección de a; cuando λ < 0, la dirección de λa es opuesta a la dirección de a cuando λ = 0, λa = 0.
Supongamos que λ y μ son números reales, entonces: (1) (λμ)a = λ(μa) (2) (λ + μ)a = λa + μa (3) λ(a ± b ) = λa ± λb(4)(-λ)a =-(λa) = λ(-a).
Las operaciones de suma, resta y multiplicación de vectores se denominan colectivamente operaciones lineales.
[Editar este párrafo] El producto cuantitativo de vectores
Dados dos vectores a y b distintos de cero, entonces |a||b|cos θ se llama producto cuantitativo de a y b O producto interno, denotado como a?b, θ es el ángulo entre a y b, |a|cos θ (|b|cos θ) se llama proyección del vector a en la dirección de b (b en la dirección de a). El producto del vector cero y cualquier vector es 0.
El significado geométrico de a?b: la cantidad producto a?b es igual al producto de la longitud de a |a| y la proyección de b en la dirección de a |b|cos θ.
El producto cuantitativo de dos vectores es igual a la suma de los productos de sus correspondientes coordenadas.
Propiedades del producto cuantitativo de vectores
(1)a·a=∣a∣^2≥0
(2)a·b=b · a
(3)k(ab)=(ka)b=a(kb)
(4)a·(b+c)=a·b+a· c
(5)a·b=0?a⊥b
(6)a=kb?a//b
(7)e1? e2 =|e1||e2|cosθ=cosθ
[Editar este párrafo] Teorema básico de los vectores planos
Si e1 y e2 son dos rectas inconsistentes en el mismo vector plano, entonces para cualquier vector a en el plano, sólo hay un par de números reales λ y μ, de modo que a = λ*e1 + μ*e2.
Una cantidad que tiene dirección y magnitud se llama vector (llamado vector en física), y una cantidad que solo tiene magnitud pero no dirección se llama cantidad (llamada escalar en física).
Un segmento de línea con una dirección se llama segmento de línea dirigido. Un segmento de línea dirigido con A como punto inicial y B como punto final se registra como AB. (AB se imprime y se escribe con un → encima)
La longitud del segmento de línea dirigido AB se llama módulo del vector y se registra como |AB|.
Un segmento de recta dirigido contiene tres factores: punto inicial, dirección y longitud.
Un vector con una longitud igual a 0 se llama vector cero, registrado como 0; un vector con una longitud igual a 1 unidad se llama vector unitario.