Examen nacional unificado de ingreso a la universidad 2008 (documento Jiangsu)
Matemáticas
Este artículo se divide en dos partes: Volumen 1 (completar los espacios en blanco)) y Volumen 2 (responder preguntas). Cuando los candidatos respondan preguntas, deberán hacerlo en la hoja de respuestas, lo cual no es válido. Después del examen, deben devolver el examen y la hoja de respuestas.
Notas:
1. Antes de responder la pregunta, los candidatos deben completar su nombre y número de boleto de admisión en la hoja de respuestas y verificar cuidadosamente el código de barras.
Número y nombre del billete de entrada, y pegar el código de barras en el lugar designado.
2. Utilice las respuestas de opción múltiple de 2B
Rellénelas con lápiz, límpielas con un borrador si es necesario y luego seleccione otras etiquetas de respuestas que no sean de opción.
>preguntas Las respuestas deben escribirse con un bolígrafo de gel negro de 0,5 mm (bolígrafo para firmas) o un bolígrafo de carbón, con fuentes claras y letra clara.
3. Por favor responda en el área de respuestas (marco de línea negra) de cada pregunta según el número de pregunta. Las respuestas escritas fuera del área de respuestas no son válidas.
4. Mantenga limpia la superficie de la tarjeta y no la doble ni la dañe.
5. Al seleccionar las preguntas del examen, los candidatos deben responder de acuerdo con los requisitos de la pregunta y utilizar un lápiz 2B para ennegrecer la etiqueta correspondiente a la pregunta seleccionada en la hoja de respuestas.
Fórmula de referencia:
La desviación estándar de los datos de la muestra,,,.
¿Dónde está la media muestral?
Fórmula del volumen del cilindro
Dónde está el área de la base y dónde está la altura.
Rellena los espacios en blanco: Esta gran pregunta consta de *** 1 pregunta pequeña, cada una de las cuales vale 5 puntos, ** 70 puntos.
El período positivo mínimo de 1. Sí, donde = ▲.
Esta pregunta pone a prueba la fórmula periódica de funciones trigonométricas.
10
2. Si se lanza un dado dos veces seguidas, la probabilidad de que la suma de los puntos sea 4 ▲.
Esta breve pregunta pone a prueba la probabilidad clásica. Hay * * 6×6 eventos básicos, incluyendo (1, 3), (2, 2), (31) * * 3 puntos y la suma es 4, entonces
Expresado como, entonces. = ▲.
Esta pregunta examina la operación de división de números complejos. ∫∴= 0, = 1, entonces
1
4.A=, entonces el número de elementos de A Z es ▲.
Esta pregunta examina las operaciones de conjuntos y la solución de desigualdades cuadráticas de una variable. Se concluye que ∵ δ < 0, ∴ establece a es 0, por lo que los elementos de A Z no existen.
El ángulo entre 5. es, entonces ▲.
Esta breve pregunta examina las operaciones lineales sobre vectores.
= , 7
Siete
6. En el sistema de coordenadas plano rectangular, sea D un punto donde el valor absoluto de la abscisa y la ordenada no lo es. mayor que 2 El área formada por E es el área formada por puntos cuya distancia al origen no es mayor que 1. Si arrojas un punto al azar en D, la probabilidad de caer en E aumentará.
Esta breve pregunta pone a prueba la probabilidad clásica. Como se muestra en la figura, el área D representa el interior de un cuadrado con una longitud de lado de 4 (incluido el límite), y el área E representa el círculo unitario y su interior.
7. Temas de algoritmos y estadística
8. Si una recta es tangente a una curva, entonces el número real b = ▲.
Esta pregunta examina el significado geométrico de la derivada y la solución de la recta tangente, obteniendo así el punto tangente (2, ln2) y sustituyéndolo en la ecuación lineal para hacer b = LN2-1.
ln2-1
9 En el sistema de coordenadas cartesiano plano, sean los vértices del triángulo ABC A(0, A), B(b, 0), C en el segmento de recta. AO (c, 0) y el punto P (0, P) (diferente de los puntos finales), suponiendo que AC, AB, C y P son números reales distintos de cero, y las líneas rectas BP y CP intersecan a AC y AB en puntos E y CP respectivamente.
( ▲ ) .
Esta pregunta prueba la solución de la ecuación de una línea recta. El boceto se puede adivinar por simetría. De hecho, restar estas dos fórmulas de la fórmula de la intersección te da la ecuación de la línea recta.
Obviamente, la intersección f de las rectas AB y CP satisface esta ecuación, y el origen o también satisface esta ecuación, por lo que es la ecuación para encontrar la recta de.
10. Organiza todos los números enteros positivos en una matriz triangular de números:
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
. . . . . . .
Según la disposición anterior, el tercer número de izquierda a derecha en la enésima fila (n ≥ 3) es ▲.
Esta pregunta pone a prueba el razonamiento inductivo y las fórmulas de suma de secuencias aritméticas. La línea n-1* * tiene 1 2 ... (n-1) enteros positivos, es decir, uno, por lo que el tercer número en la línea n es 3 de todos los enteros positivos, es decir.
11. Dado, entonces el valor mínimo de ▲.
Esta breve pregunta examina las aplicaciones de desigualdades básicas de dos variables.
, toma "=" si y solo si = 3.
Tres
12. En el sistema de coordenadas cartesiano plano, si la distancia focal de la elipse 1 (0) es 2, y los círculos con O como centro y el radio de son perpendiculares a entre sí, entonces la excentricidad = ▲.
Supongamos que las tangentes PA y PB son perpendiculares entre sí, y el radio OA es perpendicular a PA, entonces △OAP es un triángulo rectángulo isósceles y se obtiene la solución.
13. Si AB = 2 AB=2, AC= BC, ¿cuál es el valor máximo?
Esta pregunta pone a prueba la fórmula del área del triángulo, el teorema del coseno y las ideas de funciones. Supongamos BC =, luego AC =,
De acuerdo con la fórmula del área =, de acuerdo con el teorema del coseno
, sustitúyalo en la fórmula anterior
=
Según Solución a la relación entre los tres lados de un triángulo,
Por tanto, cuando se obtiene el valor máximo.
14. Si siempre es ≥0, entonces = ▲.
Esta pregunta examina la aplicación integral de la monotonicidad de funciones. Si x = 0, no importa el valor que tome, ≥0 es obviamente cierto cuando x > 0, es decir, ≥0, se puede cambiar a,
Si, entonces, aumenta monótonamente; en el intervalo, en el intervalo Monótonamente decreciente, por lo tanto, ≥4;
Cuando x < 0, es decir, ≥0, se puede cambiar a,
Aumentando monótonamente en el intervalo, por tanto ≤4, en resumen = 4 .
Cuatro
2. Resolución de problemas: las ideas para la resolución de problemas deben escribirse claramente y se deben explicar los pasos del proceso o cálculo.
15. Como se muestra en la figura, en el sistema de coordenadas plano rectangular, se dibujan dos ángulos agudos con el eje como lado inicial y el lado terminal cruza el círculo unitario en dos puntos A y B. Los valores de A y B se conocen respectivamente.
(I) Encuentra el valor de tan();
El valor de (ii).
Esta breve pregunta examina la definición de funciones trigonométricas, la tangente de la suma de dos ángulos y la fórmula de la tangente de un ángulo doble.
Hay condiciones, por ser un ángulo agudo, entonces =
Por lo tanto
(1) Tan() =
( 2) Entonces
∫ es agudo, ∴, ∴ =
16 En el tetraedro AB, BD, CB= CD, AD⊥BD, e y f son AB y BD respectivamente. punto medio.
Verificación: (I) EF lineal ‖ACD de superficie
㈡EFC de superficie⊥Descomposición catalítica alcalina de superficie.
Esta pequeña pregunta examina la determinación de la relación posicional entre líneas rectas y planos en el espacio, y entre planos.
(I)e y f son los puntos medios de AB y BD respectivamente,
∴EF es la línea media de ∴ef‖ad△Abd,
∫ Plano ef ACD, plano AD ACD, ∴ recta EF‖ plano ACD.
(2)∵ AD⊥BD, EF‖AD, ∴ EF⊥BD.
cb = cd, f es el punto medio de ∴cf⊥bd
.Y EF CF=F, ∴BD⊥ se enfrenta a EFC. ∵ BD se enfrenta a BCD, ∴ se enfrenta a EFC⊥ se enfrenta a BCD.
17. Hay tres fábricas en un lugar determinado, ubicadas en los vértices A y B del rectángulo ABCD y el punto medio P de CD. Se sabe que AB=20km.
CB=10km. Para tratar las aguas residuales de tres fábricas, se construye una planta de tratamiento de aguas residuales en el área rectangular ABCD (incluidos los límites A, B y el punto A son equidistantes entre sí, y las tuberías de aguas residuales ao, bo y op son). La longitud total de la tubería de alcantarillado es de km.
(1) Escriba la relación funcional de acuerdo con los siguientes requisitos:
(1) Supongamos ∠BAO= (rad), y expresémosla como una relación funcional
;②Supongamos que OP (km) se expresa como una relación funcional de x.
(ⅱ) Elija una de las relaciones funcionales en (ⅰ) para determinar la ubicación de la planta de tratamiento de aguas residuales para minimizar el longitud total de las tres tuberías de alcantarillado.
Esta pequeña pregunta examina principalmente la aplicación del valor máximo de la función.
(ⅰ)① Se puede ver a partir de las condiciones que PQ divide a AB verticalmente Si ∠BAO= (rad), entonces, entonces.
Y op = 10-10ta,
Entonces,
La relación funcional es la siguiente
②Si OP= (km), OQ = 10-, entonces OA =OB=
La relación funcional es la siguiente
(2) Seleccione el modelo funcional ①,
Deje que 0 obtenga pecado, porque, entonces =,
Cuando,, es una función decreciente cuando,, es una función creciente, entonces cuando =,. En este momento, el punto P está ubicado en la línea perpendicular media del segmento AB, lejos de AB.
A kilómetros.
18. Supongamos que la imagen de la función cuadrática en el sistema de coordenadas plano rectangular tiene tres puntos de intersección con los dos ejes de coordenadas. El círculo que pasa por estos tres puntos de intersección se llama c. >
( I) El rango del número real b;
(ii) Encuentre la ecuación del círculo c;
(ⅲ) ¿El círculo C pasa por un punto fijo? (sus coordenadas no tienen nada que ver con B)? Por favor justifique su conclusión.
Esta pregunta examina principalmente la imagen y las propiedades de funciones cuadráticas y la solución de ecuaciones circulares.
(I) Supongamos = 0, el punto de intersección de la parábola y el eje es (0, b
Entonces, del problema de que b ≠ 0, δ > 0); , podemos Obtener b < 1, b≠0.
(ⅱ) Sea la ecuación general de un círculo
Supongamos que = 0 y = 0 son la misma ecuación, entonces d = 2, f =.
Supongamos que = 0 obtenga = 0. Esta ecuación tiene raíz de b, y si la sustituimos obtenemos E =-b-1.
Entonces la ecuación del círculo C es.
(iii) El círculo C debe pasar por los puntos fijos (0, 1) y (-2, 1).
La prueba es la siguiente: (0, 1) Sustituye en la ecuación del círculo C, lado izquierdo = 0 1 2× 0-(b 1) b = 0, lado derecho = 0.
Por lo tanto, el círculo C debe pasar por el punto fijo (0, 1).
También se puede demostrar que la circunferencia C debe pasar por un punto fijo (-2, 1).
19. (i) Suponga que la secuencia aritmética () es distinta de cero y tiene tolerancia. Si se elimina un elemento de la serie, la serie (en el orden original) es una serie geométrica:
(1) Valor numérico cuando n = 4 (2) Todos los valores posibles
<; p> p>(2) Demuestre: Para un entero positivo dado n (n≥4), existe una secuencia aritmética cuyos términos y tolerancia no son cero, y tres términos cualesquiera (en el orden original) no pueden formar una secuencia igual.
Este artículo examina principalmente la aplicación integral de la secuencia aritmética y la secuencia geométrica.
(ⅰ)① Cuando n = 4, el primer o último elemento no se puede eliminar; de lo contrario, los tres elementos consecutivos en la secuencia aritmética se convertirán en una secuencia geométrica y se deducirá d = 0.
Si se elimina, habrá
Simplificado = 0, porque ≠0, entonces = 4;
Si se elimina, será = 1.
Para resumir = 1 o -4.
②Cuando n = 5, el primer o último elemento no se puede eliminar.
Si se elimina, hay =, es decir, = 6
Si se elimina, entonces =, es decir.
Simplificado a 3 = 0, porque d≠0, no se puede eliminar.
Si se elimina, queda =, es decir, = 2.
Cuando n≥6, no existe tal secuencia aritmética. De hecho, en la secuencia,,,,,
Debido a que el primer o último elemento no se puede eliminar, si se elimina, debe haber =, que es inconsistente con d≠0;
Go también tiene =, que es inconsistente con d≠0; si elimina cualquiera de, y debe tener
=, que es inconsistente con d≠0.
En resumen, n .
(2) Omitido
20 Si, , son constantes,
y
(I) Encuentre las condiciones necesarias y suficientes para todos los números reales (expresados en La suma de las longitudes es (la longitud del intervalo cerrado se define como).
Esta pregunta pone a prueba la aplicación integral de condiciones necesarias y suficientes, funciones exponenciales, funciones de valor absoluto y desigualdades.
㈠Estableciendo continuamente
(*)
Porque
Por lo tanto, solo necesita (*) para mantenerse.
En resumen, las condiciones necesarias y suficientes para que todos los números reales se cumplan son:
(ⅱ)1 Si, entonces la imagen es simétrica con respecto a una línea recta. Porque entonces los intervalos son simétricos con respecto a la línea recta.
Debido a que el intervalo decreciente es 0 y el intervalo creciente es 0, la suma de las longitudes de los intervalos monótonamente crecientes es 0.
2si.
(1)Cuándo. ,
Cuando, porque, por lo tanto,
Por lo tanto =
Cuando, porque, por lo tanto.
Por lo tanto=
Porque, así, así es
Cuando, cuando, entonces, entonces,
Cuando, entonces=
,, entonces =
La suma de las longitudes de intervalos que aumentan monótonamente en el intervalo
=
(2) Cuando,
Cuando, porque, por lo tanto,
Por lo tanto=
Cuando, porque, por lo tanto.
Por lo tanto=
Porque, así, así.
Cuando, cuando, entonces, entonces,
Cuando, entonces =
,, entonces =
El intervalo monótonamente creciente en el intervalo La suma de longitudes
=
En resumen, la suma de las longitudes de intervalos que aumentan monótonamente en el intervalo es