Alto Secreto★Antes del lanzamiento
Examen Nacional Unificado 2008 para Admisiones Generales a la Universidad (Documento Jiangsu)
Matemáticas
Este examen se divide en Hay dos partes: Volumen I (preguntas para rellenar espacios en blanco) y Volumen II (preguntas para responder). Cuando los candidatos respondan, deben escribir sus respuestas en la hoja de respuestas. Las respuestas de este examen no serán válidas. Después del examen, devuelva este examen y la hoja de respuestas juntos.
Notas:
1. Antes de responder la pregunta, los candidatos deben ingresar su nombre y número de boleto de admisión en la hoja de respuestas, y verificar cuidadosamente el código de barras.
Número de boleto de admisión, nombre y pegar el código de barras en el lugar designado.
2. Utilice un lápiz 2B para completar las respuestas de las preguntas de opción múltiple. Si necesita hacer cambios, use un borrador para limpiarlas y luego marque otras respuestas que no sean de opción.
Las respuestas a las preguntas deben escribirse con un bolígrafo neutro (para firma) negro de 0,5 mm o con bolígrafo de carbón, con fuentes limpias y letra clara.
3. Responda dentro del área de respuestas (marco de línea negra) de cada pregunta de acuerdo con el número de pregunta. Las respuestas escritas fuera del área de respuestas no son válidas.
4. Mantenga la superficie de la tarjeta limpia, no doblada ni dañada.
5. Al seleccionar las preguntas del examen, los candidatos deben responder de acuerdo con los requisitos de la pregunta y utilizar un lápiz 2B para marcar en negro el número correspondiente a la pregunta seleccionada en la hoja de respuestas.
Fórmula de referencia:
La desviación estándar de los datos de la muestra, , ,
dónde está la media de la muestra
Fórmula del volumen del cilindrop>
Dónde está el área de la base, y es la altura
1 Completa los espacios en blanco: Esta pregunta mayor tiene 1 pregunta pequeña, cada pregunta vale 5 puntos, y la puntuación total es de 70 puntos.
1. El período positivo mínimo es , donde , entonces = ▲ .
Analiza esta pregunta para examinar la fórmula periódica de funciones trigonométricas.
Respuesta 10
2. Si se lanza un dado 2 veces seguidas, la probabilidad de que la suma de los puntos sea 4 ▲.
Analiza esta pregunta para examinar conceptos clásicos. Hay 6×6 eventos básicos, y hay 3 (1,3), (2,2), (3,1)*** siendo la suma de los puntos 4, entonces
Respuesta
p>3. Expresado como, entonces = ▲.
El análisis de esta pregunta pone a prueba la operación de división de números complejos. ∵ , ∴ =0, =1, por lo tanto
Respuesta 1
4.A= , entonces el número de elementos de A Z es ▲ .
Análisis Esta pregunta pone a prueba las operaciones de conjuntos y la solución de desigualdades cuadráticas de una variable. De , ∵Δ<0, ∴ el conjunto A es , por lo que los elementos de A Z no existen.
Respuesta 0
5, el ángulo entre es ,, luego ▲.
Análisis Esta pregunta examina operaciones lineales en vectores.
= , 7
Respuesta 7
6. En el sistema de coordenadas plano rectangular, sea D el valor absoluto de la abscisa y la ordenada no sea mayor que 2. E es una región compuesta por puntos cuya distancia desde el origen no es mayor que 1. Si un punto se arroja aleatoriamente a D, la probabilidad de caer en E es ▲.
Analiza esta pregunta para examinar conceptos clásicos. Como se muestra en la figura: el área D representa el interior (incluido el límite) de un cuadrado con una longitud de lado de 4, y el área E representa el círculo unitario y, por lo tanto, su interior.
Respuesta
7. Preguntas sobre algoritmos y estadística
8 La recta es tangente a la curva, entonces el número real b = ▲.
Análisis Esta pregunta examina el significado geométrico de las derivadas y el método para encontrar rectas tangentes. , sea , entonces el punto tangente (2, ln2) se sustituye en la ecuación de la línea recta, obtenemos, entonces b=ln2-1.
Respuesta ln2-1
9 En el sistema de coordenadas cartesiano plano, sean los vértices del triángulo ABC A (0, a), B (b, 0), C (c ,0), el punto P (0, p) está en el segmento de recta AO (diferente
en el punto final), suponiendo que a, b, c, p son todos números reales distintos de cero, las líneas rectas BP y CP cortan a AC y AB respectivamente en los puntos E y F. Un estudiante ha calculado correctamente la ecuación de OE: , por favor encuentra la ecuación de OF :
( ▲ ) .
Analiza esta pregunta para examinar cómo encontrar la ecuación de una línea recta. Dibuja un boceto y adivina según la simetría. De hecho, a partir de la fórmula de la intersección, podemos obtener la línea recta AB: , la línea recta CP: ecuación.
Respuesta
10. Organiza todos los números enteros positivos en una matriz triangular:
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
4 5 6
7 8 9 10
p>． ． ． ． ． ． ．
Según las reglas de disposición anteriores, el tercer número de izquierda a derecha en la enésima fila (n ≥ 3) es ▲.
Análisis Esta pregunta pone a prueba el razonamiento inductivo y la fórmula para sumar secuencias aritméticas. Hay enteros positivos 1+2+...+(n-1) en las primeras n-1 líneas, es decir, Por lo tanto, el tercer número en la n-ésima línea es el número +3 entre todos los enteros positivos. que es.
Respuesta
11. Dado , , entonces el valor mínimo de ▲.
Análisis Esta pregunta prueba la aplicación de desigualdades básicas de dos variables. De , obtenemos
sustituyendo en , y tomamos “=" si y sólo si ＝3.
Respuesta 3
12. En el sistema de coordenadas cartesiano plano, la distancia focal de la elipse 1 ( 0) es 2, con O como centro y como radio del círculo. , se dibuja un círculo que pasa por el punto. Si las dos rectas tangentes son perpendiculares entre sí, entonces la excentricidad = ▲.
Analíticamente, supongamos que las rectas tangentes PA y PB son perpendiculares entre sí y que el radio OA es perpendicular a PA, por lo que △OAP es un triángulo rectángulo isósceles, por lo que la solución es .
Respuesta
13. Si AB=2, AC= BC, entonces el valor máximo de es ▲. ?
Analice esta pregunta para examinar la fórmula del área del triángulo, el teorema del coseno y las ideas de funciones. Supongamos BC=, luego AC=,
De acuerdo con la fórmula del área, obtenemos =, de acuerdo con el teorema del coseno, obtenemos
, sustituyendo en la fórmula anterior, obtenemos
=
Existe una solución a la relación entre los tres lados del triángulo,
Por lo que se obtiene el valor máximo en ese momento
Respuesta
14. Para siempre ≥0 es verdadero, entonces = ▲ ．
Analice esta pregunta para examinar la aplicación integral de la monotonicidad de funciones. Si x = 0, entonces no importa qué valor tome, ≥0 es obviamente cierto cuando x>0, inmediatamente, ≥0 se puede transformar en,
Supongamos que, por lo tanto, disminuye, por lo tanto ≥ 4;
Cuando x < 0, ≥ 0 se puede transformar en,
Aumenta monótonamente en el intervalo, por lo tanto, ≤ 4, en resumen = 4
Respuesta 4
2. Responda la pregunta: La respuesta debe estar escrita con una explicación escrita para demostrar los pasos del proceso o cálculo.
15. Como se muestra en la figura, en el sistema de coordenadas plano rectangular, con el eje como lado inicial, se forman dos ángulos agudos, y sus lados terminales se cruzan con el círculo unitario en dos puntos A y B respectivamente. de A y B son respectivamente.
(Ⅰ) Encuentra el valor de tan( );
(Ⅱ) Encuentra el valor de .
Análisis Esta pregunta examina la definición de funciones trigonométricas, la tangente de la suma de dos ángulos y la fórmula de la tangente del doble del ángulo.
Por condición, porque es un ángulo agudo, entonces =
Por lo tanto
(Ⅰ)tan( )=
(Ⅱ) , entonces
∵ es un ángulo agudo, ∴ , ∴ =
16. en cuatro
En el cuerpo de superficie ABCD, CB= CD, AD⊥BD, y E y F son los puntos medios de AB y BD respectivamente.
Verificación: (Ⅰ) Recta EF ‖ Superficie ACD;
(II) Superficie EFC⊥ superficie BCD.
Análisis: Esta pregunta examina la determinación de la relación posicional entre una línea recta y un plano en el espacio, y entre un plano y un plano.
(Ⅰ) ∵ E y F son los puntos medios de AB y BD respectivamente,
∴EF es la línea media de △ABD, ∴EF‖AD,
∵EF superficie ACD, AD superficie ACD, ∴ recta EF‖ superficie ACD.
(Ⅱ) ∵ AD⊥BD, EF‖AD, ∴ EF⊥BD.
∵CB=CD, F es el punto medio de BD, ∴CF⊥BD.
p>
También EF CF=F, ∴BD⊥ se enfrenta a EFC. ∵BD se enfrenta a BCD, ∴ se enfrenta a EFC⊥ se enfrenta a BCD.
17． Hay tres fábricas en un lugar determinado, ubicadas respectivamente en los vértices A y B del rectángulo ABCD y en el punto medio P de CD. Se sabe que AB=20km,
CB =10km. tratar las aguas residuales de las tres fábricas, ahora es necesario construir una planta de tratamiento de aguas residuales en el área del rectángulo ABCD (incluido el límite), donde A, B están equidistantes del punto O, y tender las tuberías de aguas residuales AO, BO, OP. Sea la longitud total de la tubería de alcantarillado km.
(Ⅰ) Escriba la expresión relacional funcional de acuerdo con los siguientes requisitos:
① Suponga que ∠BAO= (rad), y la expresión relacional funcional se expresará como
②Supongamos OP (km), que se expresará como una relación funcional de x.
(II) Utilice una de las relaciones funcionales en (I) para determinar la ubicación de la planta de tratamiento de aguas residuales de modo que la longitud total de las tres tuberías de aguas residuales sea la más corta.
Análisis Esta pregunta examina principalmente la aplicación del valor óptimo de una función.
(Ⅰ) ① Se sabe por las condiciones que PQ biseca a AB verticalmente, si ∠BAO= (rad), entonces,
, y OP= 10-10ta,
Entonces,
La relación funcional requerida es
②Si OP= (km), entonces OQ=10-, entonces OA =OB=
La relación funcional requerida es
(Ⅱ) Seleccione el modelo de función ①,
Sea 0 pecado, porque, entonces =,
En ese momento, , sí Función decreciente; cuando, , es una función creciente, entonces cuando =, . En este momento, el punto P está ubicado en la perpendicular media del segmento de línea AB y está a
km del borde AB.
18. Supongamos que en el sistema de coordenadas plano rectangular, la gráfica de la función cuadrática tiene tres intersecciones con los dos ejes de coordenadas, y el círculo que pasa por estas tres intersecciones está marcado como C. Encuentra:
(Ⅰ) Encuentra el rango de valores del número real b;
(Ⅱ) Encuentra la ecuación del círculo C
(Ⅲ) Pregunta; si el círculo C pasa por un punto fijo (sus coordenadas no tienen nada que ver con b)? Por favor demuestre su conclusión.
Análisis: esta pregunta examina principalmente la gráfica y las propiedades de funciones cuadráticas y cómo encontrar la ecuación de un círculo.
(Ⅰ) Sea = 0, y el punto de intersección de la parábola y el eje es (0, b).
Sea, por el significado de la pregunta, b≠0; y Δ>0, la solución es que b< 1 y b≠0.
(Ⅱ) Supongamos que la ecuación general del círculo es
Sea =0, obtenemos: Esta es la misma ecuación que =0, entonces D=2, F=.
Establezca =0 para obtener =0. Esta ecuación tiene una raíz como b. Sustituyéndola, obtenemos E=-b-1.
Entonces la ecuación del círculo C es .
(III) El círculo C debe pasar por los puntos fijos (0, 1) y (-2, 1).
La prueba es la siguiente: Sustituyendo (0, 1) en la ecuación del círculo C, obtenemos el lado izquierdo = 0 + 1 + 2 × 0 - (b + 1) + b = 0, y el lado derecho = 0,
Entonces el círculo C debe pasar por el punto fijo (0, 1).
De manera similar, se puede demostrar que la circunferencia C debe pasar por el punto fijo (-2, 1).
19. (Ⅰ) Supongamos que es una secuencia aritmética ( ) en la que todos los términos son distintos de cero y la tolerancia es. Si se elimina un término de esta secuencia, la secuencia resultante (en el original). orden) es igual a la secuencia de relación:
① Cuando n = 4, encuentre el valor ② Encuentre todos los valores posibles
(Ⅱ) Verificación: para un entero positivo dado n(; n ≥4), hay una secuencia aritmética en la que todos los términos y tolerancias no son cero, y ninguno de los tres términos (en el orden original) puede formar una secuencia aritmética.
Análisis Esta pregunta prueba principalmente la aplicación integral de la secuencia aritmética y la secuencia geométrica.
(Ⅰ) ① Cuando n=4, es imposible eliminar el primer o último elemento en, de lo contrario los tres elementos consecutivos en la secuencia aritmética forman una secuencia geométrica, entonces se puede deducir que d= 0.
Si se elimina, entonces hay
Simplificado, obtenemos =0, porque ≠0, entonces =4
Si se elimina, entonces; hay, es decir, entonces =1．
En resumen =1 o -4.
②Cuando n=5, también es imposible eliminar el primer o último término en.
Si se elimina, habrá =, es decir. Por lo tanto, se obtiene =6;
Si se elimina, entonces =, es decir.
Simplificado, obtenemos 3 = 0. Debido a que d≠0, no podemos eliminar
Si eliminamos, entonces tenemos =, es decir. Entonces obtenemos = 2.
Cuando n≥6, no existe tal secuencia aritmética. De hecho, en la secuencia, , ,..., , , ,
Dado que el primer o último término no se puede eliminar, si se elimina, debe haber =, que es igualmente inconsistente con d≠0; , si se elimina
También hay = , que es contradictorio con d≠0; si se elimina alguno de,..., debe haber
= , que es contradictorio; a d≠0.
Resumiendo, n∈{4, 5}.
(Ⅱ) Omitido
20. Si , , es una constante,
y
(I) es verdadera para todo real. números Condiciones necesarias y suficientes (expresadas por La longitud se define como).
Análisis: esta pregunta examina las condiciones necesarias y suficientes, las funciones exponenciales y las funciones de valor absoluto, y la aplicación integral de las desigualdades.
(Ⅰ) Siempre establecido
(*)
Porque
Entonces, sólo (*) siempre establecido
En resumen, las condiciones necesarias y suficientes para todos los números reales son:
(II) 1°Si , entonces la imagen es simétrica respecto a la recta. Porque , el intervalo es simétrico con respecto a la línea recta.
Debido a que el intervalo decreciente es y el intervalo creciente es , la suma de las longitudes de los intervalos crecientes monótonos es
2° si.
(1) En ese momento,
p>
Cuando, porque, entonces,
Por lo tanto =
Cuando, porque, entonces
Por lo tanto =
Porque, Por lo tanto, así es
En ese momento, deja, entonces, así,
En ese momento, , entonces =
Cuando, , entonces =
La suma de las longitudes de intervalos crecientes monótonos en el intervalo
=
(2) Cuando , <. /p>
Cuando, porque, entonces,
Entonces=
Cuando, porque, entonces
Entonces=
Porque , so, so
En ese momento, vamos, entonces, so,
Cuando, , so=
Cuando, , so=
La suma de las longitudes de los intervalos monótonamente crecientes en el intervalo
=
En resumen, la suma de las longitudes de los intervalos monótonamente crecientes en el intervalo es