Red de conocimiento
1. El concepto de media y varianza de variables aleatorias discretas de valores finitos;
2. Media y varianza, resolver algunos problemas prácticos;
3. A través de problemas prácticos y con la ayuda de la intuición (como ver directamente los problemas reales), comprender las características de la distribución normal, las curvas y el significado de las curvas.
Ejemplos típicos
Ejemplo 1: (1) Se sabe que la variable aleatoria X obedece a la distribución binomial, y E(X)=2,4, V(X)=1,44, entonces Los valores de los parámetros n y p de la distribución nominal son ().
A.n=4, p=0.6 B.n=6, p=0.4 C.n=8, p=0.3 D.n=24, p=0.1
Respuesta: b.
(2) Bajo la curva normal, en el eje horizontal, el área calculada a partir de la media es ().
A.95% B.50% C.97.5% D. Incierto (relacionado con la desviación estándar).
Respuesta: b. Análisis: A partir de las características de la curva normal.
(3) Hay 48 estudiantes en una clase. Los puntajes de matemáticas después de una prueba siguen una distribución normal, con un puntaje promedio de 80 y una desviación estándar de 10. Teóricamente, el número de estudiantes con puntuaciones entre 80 y 90 es ().
A 32 B 16 C 8 D 20
Respuesta: b Análisis: La puntuación en matemáticas es X-N (80, 102).
.
(4) Elija dos números cualesquiera de los cinco números 1, 2, 3, 4 y 5. La expectativa matemática del producto de estos dos números es _ _ _ _ _ _ _ _ _.
Respuesta: 8.5. Análisis: Sea el producto de dos números x,
x 2 3 4 5 6 8 10 12 15 20
p 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1.1.1.1.1
∴E(X)=8.5.
(5) Como se muestra en la figura, dos curvas de distribución normal:
1 es, 2 es,
Entonces, (escriba mayor que, menor que)
Respuesta:. Análisis: Características de imágenes a partir de curvas de densidad normal.
Ejemplo 2: Dos personas, A y B, realizaron el examen de habla inglesa. Se sabe que entre las 10 preguntas de opción múltiple, A puede responder correctamente 6 de ellas y B puede responder correctamente 8 de ellas. Se estipula que se seleccionarán aleatoriamente 3 preguntas de las preguntas alternativas para cada examen, y se responderán correctamente al menos 2 preguntas para aprobar.
(I) Encuentre la distribución de probabilidad y la expectativa matemática del número de preguntas ξ respondidas correctamente por A
(2) Encuentre la probabilidad de que al menos uno de A y B lo haga; aprobar el examen.
Respuesta: Solución: (1) Según el significado de la pregunta, la distribución de probabilidad del número ξ de respuestas correctas de A es la siguiente:
ξ 0 1 2 3
P
p>expectativa matemática de a para el número de preguntas corregidas ξ
Eξ=.
(2) Supongamos que los eventos en los que A y B aprueban el examen son A y B respectivamente, entonces
P(A)= =, P(B)=.
Debido a que los eventos a y b son independientes entre sí,
Método 1:
∴: La probabilidad de reprobar el examen entre a y b es
∴La probabilidad de que al menos uno de los partidos A y B apruebe el examen es
Respuesta: La probabilidad de que al menos uno de los partidos A y B apruebe el examen es.
Método 2:
∴La probabilidad de que el Partido A y el Partido B aprueben al menos un examen es
Respuesta: La probabilidad de que al menos uno del Partido A y el Partido B aprueba el examen.
X 1 2 3
P a 0.1 0.6
Y 1 2 3
P 0.3 b 0.3
Ejemplo 3: Dos tiradores A y B se dividen en dos variables aleatorias independientes X e Y. Su lista de distribución es la siguiente:
(1) Encuentre los valores de a y b;
(2) Compara los niveles de dos tiradores.
Respuesta: (1) a = 0,3, b = 0,4
(2)
Entonces, el tirador A es mejor que B en promedio, pero A no. tan bueno como B Stable.
Ejemplo 4: Un juego de apuestas: hay seis bolas blancas y seis bolas rojas en una bolsa de tela.
Excepto por los diferentes colores, las seis bolas son idénticas. Saque seis bolas de la bolsa a la vez. Las reglas para ganar y perder son las siguientes: seis bolas todas rojas, ganan 100 yuanes; 5 rojas y 1 blanca, ganan 4 rojas y 2 blancas, ganan 20 yuanes y 3 blancas, pierden 2 rojas; y 4 blancos, ganan 20 yuanes; 1 rojo, 5 blancos, ganan 50 yuanes, 6 todos blancos, ganan 100 yuanes. Y el juego es gratis. Mucha gente encuentra este juego emocionante. Ahora, utilice lo que aprendimos sobre la probabilidad para explicar si deberíamos estar "emocionados".
Respuesta: Supongamos que el número de bolas rojas extraídas es X, luego X-H (6, 6, 12), donde k=0, 1, 2,..., 6.
Supongamos que la cantidad de dinero ganada es Y, entonces la tabla de distribución de Y es
X 100 50 20 —100
P
∴ , por lo que no debemos "movernos".
Práctica en el aula
1. La media y la desviación estándar de la distribución normal estándar son () respectivamente.
A.0 y 1b.1 y 0c.0 y 0d.1 y 1.
Respuesta: a. Análisis: A partir de la definición de distribución normal estándar.
2. La distribución normal tiene dos parámetros y la forma de la curva normal correspondiente a () es más plana.
A. Cuanto mayor es b, menor es c. Cuanto mayor es c, menor es d.
Respuesta: c. Análisis: A partir de las características de la imagen de la curva de densidad normal.
3. Ya hay datos, entonces esto significa
A. BC ( )
Respuesta: c. constar.
4. Supongamos... entonces el valor es.
Respuesta: 4. Análisis: ,
5. Para un problema de matemáticas, la probabilidad de que A lo resuelva es 0 y la probabilidad de que B lo resuelva es 0, por lo que resuelven el problema de forma independiente. Sea X el número de personas que resuelven el problema, entonces E(X)=.
Respuesta:. analizar:.
∴.
6. Suponiendo que la variable aleatoria obedece a una distribución normal, la siguiente conclusión es correcta.
(1)
(2)
(3)
(4)
Respuesta: ( 1), (2), (4). analizar:.
7. Tira los dados y establece los puntos obtenidos como X, luego V(X)=.
Respuesta:. Análisis: Calcular según definición.
8. Tanto el Partido A como el Partido B quieren contratarte. El salario y posibilidades de los puestos correspondientes que puedes conseguir son los que se muestran en la siguiente tabla:
Una unidad 1200 1400 1600 1800.
Probabilidad 0,4 0,3 0,2 0,1
Unidad B 1000 1400 1800 2200
Probabilidad 0,4 0,3 0,2 0,1
Según la diferencia de salario y beneficios, ¿Qué empresa elegirías y por qué?
Respuesta: Debido a que E (A) =E (B), V (A) < V (b), elige una unidad.
Análisis: E (A) =E (B) =1400, V (A) =40000, V (B) =160000.
9. Si pagas 5 yuanes, podrás participar en la lotería. Hay 10 bolas del mismo tamaño en una bolsa, 8 bolas están marcadas con 1 yuan y 2 bolas están marcadas con 5 yuanes. El ganador de la lotería sólo puede sacar 2 bolas y su recompensa es la suma del dinero extraído de estas 2 bolas (establecida en ), para encontrar la expectativa matemática de la ganancia del ganador de la lotería.
Respuesta: Solución: Debido a que es la suma del dinero de las dos bolas extraídas, los valores posibles son 2, 6 y 10.
, ,
Supongamos que es el valor posible de la ganancia del ganador de la lotería, entonces la expectativa matemática de la ganancia del ganador de la lotería es
Por lo tanto, la ganancia del ganador de la lotería expectativa de ganancias sí-.
10. El grupo A y el grupo B resuelven de forma independiente un problema de matemáticas. Se sabe que la probabilidad de que el Partido A resuelva el problema de forma independiente es 0,6, y la probabilidad de que el Partido A o el Partido B resuelvan el problema es 0,92.
(1) Encuentre la probabilidad de que B resuelva el problema de forma independiente;
(2) La expectativa matemática y la varianza del número de personas que resuelven el problema.
Respuesta: Solución: (1) Recuerde que los eventos para que A y B resuelvan este problema son A y B respectivamente.
Suponga que la probabilidad de que A resuelva este problema de forma independiente es P1, B's La probabilidad es P2.
Entonces p(a) = p1 = 0,6, p(b) = p2.
0 1 2
P 0.08 0.44 0.48
,
,
O úsalo.
Libro de ejercicios
Grupo A
1 Hay 5 bolas en la bolsa, los números son 1, 2, 3, 4, 5. Seleccione 3 bolas, X representa la mayor cantidad de bolas extraídas, luego E (X) es igual a ().
a, 4 B, 5 C, 4.5 D, 4.75
Respuesta: c Análisis: La lista de distribución de X es
X 3 4 5<. /p> p>
P 0.1 0.3 0.6
Entonces E(X)=3 0.1+4 0.3+5 0.6=4.5.
2. Entre las siguientes funciones, la función de densidad de distribución normal es ()
A.B.
C.D.
Respuesta: B. Análisis : La opción B es la función de densidad de distribución normal estándar.
3. La población normal es una función de densidad de probabilidad ()
A. Función impar b. Función no par no singular d. .
Respuesta: b. Análisis:.
4. Se sabe que la probabilidad de que la población normal caiga dentro del intervalo es 0,5, entonces la curva normal correspondiente alcanza el punto más alto en el tiempo.
Respuesta: 0.2. Análisis: La curva normal es simétrica con respecto a una línea recta, lo que se puede ver en el significado de la pregunta.
5. El examen de inglés consta de 40 preguntas de opción múltiple. Cada pregunta tiene 4 opciones, de las cuales una y solo una es correcta. Cada elección correcta vale 3 puntos, y ya sea una elección incorrecta o ninguna elección, vale 120 puntos. La probabilidad de que un estudiante elija la pregunta correcta es 0,7 y el valor esperado del desempeño de este estudiante en esta prueba es;
Respuesta: 84; 75,6. Análisis: Sea x el número de preguntas del examen para el estudiante y eta sea la calificación, entonces x ~ b (50, 0,7), eta = 3x∴e(x)= 40×0,7 = 28v(x)= 40× 0,7×0,3 = 8,4.
Entonces e(n)= e(3x)= 3e(x)= 84v(n)= v(3x)= 9v(x)= 75,6.
6. Si alguien realiza un experimento, deténgalo; si el experimento falla, inténtelo nuevamente; si el experimento falla tres veces, abandone el experimento si la probabilidad de éxito de esta persona en cada experimento es, encuentre la cantidad de veces que esta persona prueba x tabla de distribución, expectativa y varianza.
Solución: La lista de distribución de
7. La probabilidad de que dos tiradores, A y B, acierten en el décimo aro en el momento 0,5, y la probabilidad de que B acierte en el décimo aro en el momento s. Si disparan dos veces de forma independiente, supongamos que B acierta en el. Décimo anillo. El grado del décimo anillo es X, entonces EX=, y es el valor absoluto de la diferencia entre A y B.
Respuesta: Solución: De lo que se sabe, por tanto.
El valor de y puede ser 0, 1, 2.
La probabilidad de que A y B golpeen 10 anillos 0 veces es,
La probabilidad de que A y B golpeen 10 anillos 1 vez es,
A La probabilidad de que A y B golpeen el décimo anillo dos veces es
Entonces;
La probabilidad de que A golpee el décimo anillo 2 y B golpee el décimo anillo 0 es,
La probabilidad de que A llegue al 10 anillo 0 y B llegue al 10 anillo 2 es
Entonces, entonces
Entonces, la lista de distribución de Y es
Y 1 2 3
P
Entonces la expectativa de Y es E(Y)=.
8. Un desarrollador de software desarrolla un nuevo software e invierte 500.000. La probabilidad de desarrollo exitoso es 0,9. Si el desarrollo no tiene éxito, sólo se podrán recuperar 654,38 millones de yuanes. Si el desarrollo tiene éxito, costará más de 65.438 yuanes realizar una conferencia de prensa antes de lanzarlo al mercado. Si se lanza, independientemente del éxito o el fracaso, costará 654,38 millones de yuanes.
(1) Encuentre la probabilidad de que el software se desarrolle y publique con éxito en la conferencia de prensa.
(2) Buscar el máximo valor esperado del beneficio del promotor.
Respuesta: Solución: (1) Supongamos que A = "El desarrollo del software fue exitoso" y B = "La conferencia de lanzamiento fue exitosa".
La probabilidad de que el software se desarrolle y publique con éxito en la conferencia de prensa es P (AB) = P (A) P (B) = 0,72.
(2) El beneficio esperado sin realizar una conferencia de prensa es (10.000 yuanes)
El beneficio esperado con una conferencia de prensa es (10.000 yuanes)
Entonces, el desarrollador quiere celebrar una conferencia de prensa y la expectativa de ganancia máxima es de 248.000 yuanes. ..
Grupo b
1. La tasa de desperdicio de un producto es 0,05 y se eliminan 10 productos. La variación del número de productos defectuosos X es ().
a, 0,5 B, 0,475 C, 0,05 D, 2,5
Respuesta: B. Análisis: X-B (10, 0,05),
2. La función se distribuye normalmente. El siguiente juicio es correcto: ()
A. b. Hay un valor máximo, pero no un valor mínimo.
C.Existe un valor máximo, pero no existe un valor máximo. d. No hay valor máximo ni mínimo.
Respuesta: b.
3. En un examen de inglés, los puntajes del examen obedecen a la distribución normal, por lo que la probabilidad de que los puntajes del examen estén dentro del intervalo es ()
a 0,6826 b 0,3174 c 0,9544d. 0.9974
p>
Respuesta: c. Análisis: Del conocido X-N (100, 36),
Por lo tanto.
4. Hay 4 bolas negras, 3 bolas blancas y 2 bolas rojas en la mochila. Elige 2 bolas, cada bola negra obtiene 0 puntos, cada bola blanca obtiene 1 punto, si obtienes 1 bola roja, obtienes 2 puntos, la puntuación representada por X es e(X)= _ _ _ _ _ _ _ _;V(X)= ______.
Respuesta:;. Análisis: Según el significado de la pregunta, x se puede tomar como 0, 1, 2, 3, 4. La distribución de probabilidad es la siguiente:
X 0 1 2 3 4
P
E(X)=0× +1× +2× +3 × +4 × =
V(X)= × + × + × + × + × - =
Nota: Para solicitar la expectativa matemática y la varianza del número de productos defectuosos , primero enumere la cantidad de productos defectuosos X la tabla de distribución.
5. Si la función de densidad de distribución de probabilidad de la variable aleatoria X es, entonces =.
Respuesta: -5. analizar:.
6. Un libro tiene 500 páginas, y * * * hay 100 errores tipográficos, distribuidos aleatoriamente en cualquier página. Encuentre la media y la desviación estándar de los errores tipográficos x en una página.
Solución: ∫x-b
La desviación estándar de x.
7. La línea directa de una determinada empresa * * * tiene 10 líneas externas. Según estadísticas a largo plazo, de 8:00 a 10, las líneas exteriores se utilizan al mismo tiempo, como se muestra en la siguiente tabla:
El número de llamadas entrantes simultáneas X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
La probabilidad es 0.130.350 27 0.140.080 .
Si durante este periodo, la empresa sólo dispone de dos operadores (un operador sólo puede atender una llamada).
(1) Calcule la probabilidad de que no se pueda localizar al menos un número de teléfono a la vez.
(2) Hay cinco días hábiles en una semana, si hay al menos un teléfono; No se puede alcanzar la cifra en tres días hábiles. Conexión sexual, la imagen de la empresa está dañada. Ahora bien, la probabilidad de que al menos una llamada telefónica no pueda conectarse a la vez representa el "grado de daño" de la empresa, entonces podemos encontrar el "grado de daño" a la imagen de la empresa en este caso;
(3) Encuentre a La expectativa matemática de X número de llamadas telefónicas durante un día laborable de viernes.
Respuesta: Solución: (1) Si solo hay dos operadores, ¿cuál es la probabilidad de que al menos un número de teléfono no pueda conectarse a la vez?
1-0.13-0.35-0.27=0.25;
(2) "Grado de daño";
(3) El número estimado de llamadas en un día hábil es 4,87 veces, entonces el número esperado de llamadas en cinco días hábiles en una semana es 24,35 veces. ..
8. La vida útil de un lote de baterías (una celda) utilizadas en linternas sigue una distribución normal, con un valor promedio de 35,6 horas y una desviación estándar de 4,4 horas.
¿Cuáles son las posibilidades de que esta batería dure al menos 40 horas?
Respuesta: Solución: La duración de la batería es X-N (35,6, 4,42).
Regla
Es decir, la probabilidad de que esta batería pueda durar al menos 40 horas es 0,1587.