①Las coordenadas del punto A son (-1,0) y las coordenadas del punto B son (4,5)
A y B están en la parábola. A y B para calcular la ecuación de la parábola es
y = x^2 - 2x - 3 = (x - 1)^2 -4
Entonces hay b = -2. , c = -3, y las coordenadas del punto D son (1,-4)
②La pendiente de la recta AB es k1 = 1
Para encontrar un punto F en la parábola tal que FA⊥AB, entonces la pendiente k2 de FA debe satisfacer k1·k2 = -1, es decir, k2 = -1
Supongamos que F(m,n), entonces la pendiente de AF k2 = n/(m + 1) = -1, es decir, n = -m - 1
Y como el punto F está en la parábola, tenemos
n = (m- 1)^2 -4 = -m-1
La solución es m = 2 o m = -1 (obviamente descartado)
Por lo tanto, existe el punto F que satisface el significado de la pregunta, y sus coordenadas son (2,-3)
③F es un punto en movimiento en la parábola debajo de AB, Para maximizar el área de FAB, necesitamos encontrar el punto más alejado de F a la recta AB.
Traslada la recta AB hacia abajo. Cuanto más se traslada hacia abajo, mayor es la distancia entre las dos rectas. Después de la traslación, la recta A'B' y la parábola tienen dos puntos de intersección primero. y luego un punto de intersección (tangente). Finalmente, se separan. Obviamente, cuando la recta A'B' es tangente a la parábola, la traslación hacia abajo es la más grande, por lo que el punto tangente es el punto F que cumple con el significado de. la pregunta. Entonces sea la ecuación de la recta A'B' (pendiente es 1) y = x - t
La recta tiene y tiene solo un punto de intersección con la parábola y = x^ 2 -2x -3. Las ecuaciones simultáneas se pueden resolver según que el discriminante sea cero para obtener t = 21/4
Las coordenadas del punto F son (3/2, -15/4)
④En la etapa inicial de la pregunta anterior, las coordenadas del punto F son (3/2, -15/4), la ecuación de AB es y = x + 1
Entonces la las coordenadas del punto E son (1.5, 2.5)
Porque FE es perpendicular al eje x,
Si F es un vértice en ángulo recto, entonces una recta paralela al eje x -el eje que pasa por el punto F se cruza con la parábola en otro punto P.
Sustituyendo y = -15/4 en la ecuación de la parábola, podemos obtener x = 3/2 o 1 /2, entonces las coordenadas de el punto P es (1/2,-15/4)
Si E es un vértice en ángulo recto, entonces sustituyendo y = 2,5 en la ecuación de la parábola se puede obtener x = 1 ± 6,5 bajo el signo de la raíz