Solución: Sean A, B, C y D las preguntas primera, segunda, tercera y cuarta respectivamente. Utilice Mi(i=1, 2, 3, 4) para representar la i-ésima. pregunta del estudiante A. Si la respuesta es correcta,
Use Ni(i=1, 2, 3, 4) para indicar que la i-ésima pregunta se respondió incorrectamente, entonces Mi y Ni(i= 1, 2, 3, 4) son eventos opuestos de la pregunta,
P(M1)=3/4
P(M2)=1/2
.P(M3)=1/3
P(M4)=1/4;
Entonces P(N1)=1/4
P(N2)=1/2
P(N3)=2/3
P(N4)=3/4;
(Ⅰ) Registro "El estudiante A puede pasar a la siguiente ronda" como evento Q,
Entonces Q=M1M2M3 N1M2M3M4 M1N2M3M4 M1M2N3M4 N1M2N3M4
Dado que las respuestas a cada pregunta son independientes entre sí,
∴P(Q)=P(M1M2M3 N1M2M3M4 M1N2M3M4 M1M2N3M4 N1M2N3M4)
=P(M1M2M3) P(N1M2M3M4) P(M1N2M3M4) P(M1M2N3M4) P(N1M2N3M4)=1/ 4
(Ⅱ) Se puede ver por el significado de la pregunta que es aleatorio. Los valores posibles de la variable ξ son 2, 3 y 4.
Desde el las respuestas a cada pregunta son relativamente independientes,
∵P(ξ=2)=P(N1N2 )=1/8
P(ξ=3)=P(M1M2M3) P (N1N2N3)=3/8
P(ξ=4)=1﹣P(ξ =2)﹣P(ξ=3)=1/2
∴Eξ= 2*1/8 3*3/8 4*1/2=27/8