1. Utilice el método de Laplace para expresar la posición de gravedad normal
Figura 1-4 El sistema de coordenadas del método de Laplace para calcular la fórmula de gravedad normal de la Tierra
El La expresión del potencial gravitacional en realidad no se puede aplicar directamente, porque no conocemos la distribución de densidad de la Tierra ni la forma exacta de la Tierra, y sólo podemos encontrarla indirectamente (Figura 1-4). Se puede ver en la fórmula (1-5) que el potencial gravitacional P (ρ, θ, λ) en un punto fuera de la Tierra es
Exploración de la gravedad y el geomagnetismo
Como puede como se puede ver en la figura
p>
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ψ es el ángulo entre el punto my el punto p, que se puede obtener
Exploración Gravedad y Geomagnetismo
Dado que ρ>ρ', la fórmula anterior se expande en una serie convergente.
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La fórmula anterior es la expansión en serie de Legendre de 1/r, donde P0 (COS ψ) = 1, P1 (COS ψ) = COS ψ, ,...etcétera.
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Toma los primeros n términos para explicar su significado físico. Cuando n = 0
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Supongamos GM = A0, A0 es la cantidad de momento de orden cero relacionado con la masa de la Tierra. Cuando n = 1, hay
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Como se muestra en la Figura 1-5, θ, λ y θ′, λ′ son las coordenadas esféricas del punto P y el punto M respectivamente (θ es la distancia polar, es decir, θ = 90-φ, φ es la latitud y λ es la longitud). En el NMP de un triángulo esférico, existe Figura 1-5 Método de Laplace para calcular el sistema de coordenadas esféricas de la fórmula de gravedad normal de la Tierra.
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Sustituye (1-23) en (1-22), sea a1 = g ∫ mρ' cos θ' dm, = g ∫ mρ' sin θ 'cos λ' dm.
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Según el concepto de momento físico, las coordenadas del centro de masa X0, Y0 y Z0 de la masa son respectivamente
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Donde m es la masa del plástido. Además, la relación de conversión entre coordenadas rectangulares y coordenadas esféricas es
x =ρ'sinθ'cosλ', y =ρ'sinθ'sinλ', z =ρ'cosθ'=ρ'sinφ'
Reglas
Por tanto
Son cantidades asociadas a los primeros momentos. Si el origen de coordenadas se elige en el centro de la esfera, entonces x0 = y0 = z0 = 0, por lo tanto, V1=0 = 0.
Cuando n = 2, hay
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Del mismo modo, sustitúyalo en la fórmula (1-23) y obtengalo después de clasificar.
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En la fórmula anterior, si se considera la conversión de coordenadas, se puede escribir como
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Exploración de la gravedad y Geomagnetismo
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La coeficientes anteriores A0, A1, A2, etc. se llama constante de Stokes.
Según la definición de momento de inercia físico, podemos obtener
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Son los tres ejes de coordenadas de la tierra con respecto a X. , Y y Z Inercia rotacional, entonces
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Luego introduzca d = ∫ mxydm, e = ∫ mxzdm, f = ∫ myzdm, d, e, f son los Productos de inercia de la Tierra. Si el eje de coordenadas se selecciona en el eje principal de inercia de la Tierra, entonces d = e = f = 0.
En este caso, además, la integral
∫M(x2+y2)DM =∫M[(x2+z2)-(y2+z2)]DM = B-A
Por lo tanto
Si la tierra es un cuerpo en rotación, es decir, el ecuador es un círculo, entonces a = b. En este momento, entonces A2 es una cantidad relacionada con el momento de segundo orden.
Aquí sólo se analiza la V2. Si en la fórmula (1-21), en la fórmula (1-24), sea COS θ = P1 (COS θ), entonces, θ COS θ = 3s en θ, la forma general de Vn se puede escribir de la siguiente manera.
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Donde: Pn(cosθ) es el polinomio de Legendre para la función de Lenovo Legendre. Sustituya (1-27) en (1-20) para obtener
Gravedad de exploración y geomagnetismo
La ecuación (1-28) es la función esférica de expansión del potencial gravitacional de la Tierra. Junto con el potencial de fuerza centrífuga, se obtiene el potencial de gravedad de la Tierra, es decir,
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Usar el método de Laplace para expresar el potencial de gravedad normal es seleccionar el esférico Función de expansión del potencial de gravedad. Se omiten los primeros términos de la fórmula y los términos restantes. Por supuesto, cuantos más términos seleccione, más cerca estará del potencial gravitacional de la Tierra w, pero la fórmula se volverá más complicada. Si se omiten varios elementos, la fórmula es simple, pero puede ser demasiado diferente del potencial gravitacional w y no puede reflejar correctamente el potencial gravitacional de la Tierra. En la práctica, el número de términos elegidos depende de la precisión de los datos observados y de la precisión requerida para las posiciones de gravedad normales. Aquí, para facilitar la explicación del problema, en la expansión del potencial gravitacional de la fórmula (1-29), solo se seleccionan los primeros tres términos para representar el potencial gravitacional normal, por lo que el potencial gravitacional normal u se puede expresar como
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Como se mencionó anteriormente, si el origen de las coordenadas se establece en el centro de masa de la Tierra, y entonces el eje de coordenadas es el eje de inercia principal de la Tierra, entonces si la Tierra se considera como un cuerpo en rotación, entonces a = b, entonces la fórmula (Todos los términos relacionados con λ en 1-30) desaparecen, y luego considere A0 = GM, c-a = km, entonces el potencial gravitacional normal se puede escribir de la siguiente manera.
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2. Elipsoide horizontal
Suponiendo que (1-31) es igual a diferentes constantes, habrá un grupo de geoide normal, Un grupo siempre está muy cerca del geoide. Se puede demostrar que si solo se considera la precisión del achatamiento de la Tierra α, donde A es el radio ecuatorial de la Tierra y C es el radio polar de la Tierra, su forma es un elipsoide regular. Debido a que tiene las propiedades de un geoide normal, se llama elipsoide horizontal y su ecuación se deriva de la siguiente manera.
Supongamos que q se utiliza para representar la relación entre la fuerza centrífuga y la gravedad en el ecuador terrestre, es decir, μ se denomina parámetro de forma de la Tierra.
Primero, simplifique la fórmula (1-31), donde:
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En la fórmula anterior:
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Sustituyendo estas fórmulas simplificadas en la fórmula (1-31), obtenemos
Gravedad de exploración y geomagnetismo
Porque es necesario estar cerca al geoide La forma del geoide normal (U0 = constante), por lo que al determinar la constante para la fórmula anterior, tome un punto en el ecuador. En este momento θ = 90°, ρ = a, reemplace U con U0, obtendrá
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Después de completar, haga que la fórmula (1-32) sea igual a fórmula (1-33)
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En la fórmula, μ y q son cantidades pequeñas, generalmente solo alrededor de 1/300, que es una cantidad pequeña de achatamiento . Expanda el denominador de la fórmula anterior en una serie, omitiendo el cuadrado de μ y q y arriba, entonces
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Cabe señalar que la fórmula (1 -34) sólo funciona cuando es un elipsoide y sólo es correcta si su precisión es del orden α. Si se requiere que su precisión sea superior al orden α, si se considera el orden α cuadrado, no será un elipsoide giratorio, sino un esferoide achatado giratorio.
3. Fórmula de gravedad normal
Para distinguir la gravedad real g, se utiliza γ para representar el valor de gravedad normal. Presione (1-13)
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Donde: n debe ser la normal del geoide normal. Pero en la fórmula (1-31), u es una función del radial ρ, y el ángulo entre el radial ρ y n es la diferencia entre la latitud geocéntrica y la latitud geográfica. La diferencia es pequeña. Cuando la latitud geográfica φ = 45°, la diferencia máxima es 11,6', que puede ignorarse.
Por lo tanto, la fórmula anterior se puede escribir como:
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Derive ρ de (1-31) y obtenlo después de ordenar.
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Sustituyendo (1-34) en la ecuación anterior, obtenemos la gravedad normal γ0:
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Expande el denominador de la fórmula anterior en una serie y mantenlo solo al nivel α, obtendrás
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Si α = μ+ q/2, entonces lo anterior La fórmula se convierte en
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Cuando θ = 90°, la gravedad normal γe en el ecuador es:
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Cuando θ = 0°, la gravedad normal γp en el polo es:
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Dividir el valor de la gravedad polar por el valor de gravedad ecuatorial para obtener
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Sea β el achatamiento gravitacional, que se puede obtener de (1-38).
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La fórmula anterior se llama teorema de Clairau, que expresa la relación entre el achatamiento por gravedad y el achatamiento elipsoide. Luego divida entre (1-35) y (1-36) para obtener
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Si solo se considera la magnitud α y se reemplaza θ por 90-φ, entonces
p>Exploración de la gravedad y el geomagnetismo
La fórmula (1-40) es solo una función esférica dentro del segundo orden, y la fórmula de la gravedad normal se deriva con la precisión del achatamiento. Sin embargo, su precisión es baja y no puede satisfacer las necesidades reales. Para lograr la correspondiente precisión de observación, (1-29) debe expandirse al menos al término de cuarto orden (es decir, n = 4), y el término cuadrado del achatamiento también debe considerarse durante el proceso de derivación. La forma obtenida mediante el método anterior no es la de un elipsoide horizontal, sino un esferoide achatado. Las esferas planas son inconvenientes para las mediciones geodésicas. Por lo tanto, en la geodesia real, generalmente se elige un elipsoide giratorio cercano al geoide para calcular la fórmula del campo de gravedad normal. De acuerdo con este requisito, utilizando el método de Stokes, Saumilian derivó una fórmula con mayor precisión, como sigue
γ0 =γe(1+βsin 2φ-β1 sin 22φ)(1-41)
Entre ellos: β1 = 1/8α2+1/4αβ.
Cuando se conocen γp, γe y α, se puede obtener la fórmula específica para calcular el valor de gravedad normal en diferentes latitudes. Cómo determinar los valores específicos de estos tres parámetros ha sido un problema que los científicos de la gravedad han estado discutiendo durante muchos años, y se han dado muchas fórmulas para la gravedad normal. Los más utilizados son:
(1) Fórmula de Helmut de 1901 a 1909.
γ0 = 9.780300(1+0.005302 sin 2φ-0.000007 sin 22φ) metros/segundo 2 (1-42)
γ0 es la latitud φ y la altitud cero (es decir, el geoide ) del valor de gravedad normal. Los parámetros terrestres aplicados son a = 6378200m, c = 6356818m, α = 1/298,2, γ E = 9,7803m/S2, partiendo de Potsdam (g = 9,81274m/S2).
(2) Fórmula Internacional de Gravedad Normal de Cassini 1930.
γ0 = 9.780490(1+0.0052884 sin 2φ-0.0000059 sin 22φ) metros/segundo 2 (1-43)
En 1930, en la Asociación Geodésica Internacional de Estocolmo, se utilizó esta fórmula Se adoptó como fórmula internacional de gravedad normal, los parámetros terrestres utilizados son A = 6378388 m, C = 6356909 m, α = 1/297,0.
(3)Fórmula internacional de gravedad normal de 1971
γ0 = 9,780318(1+0,0053024 sen 2φ-0,0000059 sen 22φ)m/S2(1-44)
Los parámetros de tierra utilizados son A = 6378160 metros, C = 6356755m metros, α = 1/298,25, γE = 9,780318 metros/S2.
(4) En 1979, la Unión Internacional de Geodesia y Geofísica (IUGG) determinó la fórmula más precisa basándose en datos astronómicos, terrestres, de gravedad y satelitales.
γ0 = 9.780327(1+0.0053024 sen 2φ-0.0000058 sen 22φ) metros/segundo 2 (1-45)
Los parámetros de tierra utilizados son a = 6378137m, α = 1/ 298.2572.
Europa occidental y Estados Unidos generalmente utilizan la fórmula de gravedad normal internacional de Cassinis 1930; la Unión Soviética, Europa del este y China utilizan la fórmula de gravedad normal de Helmut 1901 ~ 1909.