Pruébalo.
1. Complete los espacios en blanco (8 puntos por cada pregunta, ***64 puntos)
1.
2. El valor mínimo de la función dada es, y el rango de números reales es.
3. El número de puntos enteros (puntos donde la ordenada y la abscisa son números enteros) en el área encerrada por la mitad derecha de la hipérbola y la línea recta es.
4. Se sabe que la sucesión aritmética con tolerancias desiguales es una serie geométrica, en la que todo número entero positivo tiene, entonces, una constante.
5. El valor máximo de la función en el intervalo es 8, entonces su valor mínimo en este intervalo es.
6. Dos personas se turnan para lanzar los dados. Cada persona lanza dos dados a la vez. Si la suma de los dos dados es mayor que 6, gana la primera persona, en caso contrario tirará el dado la otra persona. La probabilidad de ganar el primero es.
7. Los nueve lados de un prisma triangular regular tienen todos la misma longitud, es decir, el punto medio y los ángulos diédricos, entonces.
8. El número de soluciones enteras positivas (x, y, z) que satisface la ecuación es.
2. Responde la pregunta (la puntuación total de esta pregunta es 56 puntos)
9. (16 puntos) Conoce el valor máximo de la función, cuándo, cuándo.
10. (20 puntos) Dados dos puntos móviles en la parábola, en los cuales la perpendicular al segmento de recta se cruza con el eje, encuentre el área máxima.
11. (20 puntos) Demuestra que la ecuación tiene exactamente una raíz real y que existe una secuencia única de enteros positivos estrictamente crecientes tal que +...
Prueba adicional
1. (40 minutos) Como se muestra en la figura, el circuncentro del triángulo agudo ABC es o, k es un punto en el lado BC (no el punto medio del lado BC), d es un punto en la extensión línea del segmento de línea AK, y la línea recta BD está entre el punto n y AC se cruza, y la línea recta CD se cruza con AB en el punto m Verificación: Si OK⊥MN, entonces a, b, d y c son cuatro puntos* *.
2. (40 puntos) Sea k un número entero positivo dado. Aviso,. Demuestre que existe un número entero positivo M tal que sea un número entero. Aquí, representa el número entero más pequeño que no es menor que el número real X, por ejemplo.
3. (50 puntos) Dado un número entero, sea un número real positivo que satisfaga N+, recuerda.
3…….
Verificación:
4. (50 puntos) La configuración de contraseña del bloqueo de contraseña es asignar 0 a cada vértice del regular. Polígono de N lados y 1, y pinta uno de los dos colores rojo y azul al mismo tiempo, de modo que al menos uno de los números o colores de dos vértices adyacentes cualesquiera sea el mismo. P: ¿Cuántas configuraciones de contraseña diferentes existen para este bloqueo de contraseña**?
Prueba la respuesta.
1. Consejo: El dominio fácil de conocer lo es, y es una función cada vez mayor en el mundo, por lo que el rango conocido lo es.
2. Consejo: Haga, entonces la función original se convierte en, es decir,
.
De,, lo sabemos.
. (1)
Cuando (1) es siempre cierto;
Sí, eso es correcto. Entonces podemos ver.
3.9800 Consejo: Según la simetría, siempre que se considere primero la situación sobre el eje, la mitad derecha de la hipérbola intersecta la rama de la línea recta y el número de puntos de integración dentro del segmento de línea es, entonces el número de puntos de integración dentro del área sobre el eje es.
.
Hay 98 puntos enteros en el eje, por lo que el número de puntos enteros es.
4. Consejo: Si la tolerancia se establece en una proporción común de , entonces
(1)
, (2)
Por tanto, se aplica a todos los números enteros positivos, es decir, se aplica a todos los números enteros positivos.
Por lo tanto
,
obtén,.
5. Consejo: Haz que la función original se convierta en algo que va en aumento en la historia.
Cuando,,
,
Por lo tanto
;
Cuando,,
,
Por lo tanto
.
Resumiendo, el valor mínimo en el mundo es.
6. La probabilidad de que la suma de los puntos de dos dados lanzados al mismo tiempo sea mayor que 6 es, por lo tanto, la probabilidad de que gane el primer lanzador es.
.
7. Consejo: Solución 1: Como se muestra en la figura, use la línea recta como eje, el punto medio del segmento de línea como origen y la línea recta como eje para establecer un rectángulo espacial. sistema de coordenadas. Supongamos que la longitud del lado de un prisma triangular regular es 2, entonces, así.
Supongamos que el vector perpendicular al plano y el plano son, entonces
Esto se puede establecer, así es,
.
Entonces.
Solución 2: Como se muestra en la figura.
Desarrollar y enviar reglas.
Tan plano.
Si trabajas en un avión, se te caerán los pies.
La conexión es el ángulo plano del ángulo diédrico. Si está configurado, es fácil de conseguir.
Es decir, en ángulos rectos.
Aquí vamos de nuevo.
.
8.336675 Consejo: Primero, el número de soluciones enteras positivas que es fácil de saber es.
Las soluciones enteras positivas satisfactorias se dividen en tres categorías:
El número de soluciones enteras positivas para el signo igual (1) es obviamente 1; ) solamente Es fácil saber que el número de soluciones de dos enteros positivos iguales es 1003;
(3) Sea la solución de dos enteros positivos desiguales.
Uno
,
Entonces
,
es decir
.
Por tanto el número de soluciones enteras positivas que satisfacen es
.
9. Solución 1: Pasa
.
Por lo tanto
,
Entonces es fácil saber que cuando (es una constante) satisface las condiciones de la pregunta, entonces el valor máximo es.
Solución 2: Establecer, luego, cuándo.
Está bien entonces.
.
Es fácil saber cuándo, y cuándo.
,
Así, mediante la comprensión.
También es fácil saber que cuando (que es una constante) satisface las condiciones de la pregunta, entonces el valor máximo es.
10. Solución 1: Sea el punto medio del segmento de recta,
.
La ecuación de la mediatriz de un segmento de recta es
. (1)
Una rama es una solución de (1), por lo que la intersección entre la línea perpendicular del segmento de línea y el eje es un punto fijo, y las coordenadas de este punto lo son.
De (1), la ecuación de la recta es, es decir,
. (2)
(2) sustitución, es decir
. (3)
Según el significado de la pregunta, existen dos raíces reales de la ecuación (3), por lo tanto,
,
.
.
La distancia desde el punto fijo al segmento de recta
.
.
El signo igual es verdadero si y sólo si, es decir, o.
Por lo tanto, el área máxima es.
Solución 2: Igual que la solución 1, la intersección de la línea vertical del segmento de línea y el eje es un punto fijo, y la coordenada del punto lo es.
Si, entonces el valor absoluto,
,
Entonces, si y solo si y, es decir, o
El tiempo es igual a El símbolo está establecido.
Entonces, el área máxima es.
11. Por tanto, es estrictamente creciente. Además, tiene raíces reales únicas.
Entonces,
.
Entonces la serie es una serie que cumple con los requisitos de la pregunta.
Si hay dos secuencias enteras positivas diferentes y la suma satisface
,
Eliminando los mismos términos en ambos lados de la ecuación anterior, tenemos
,
Aquí todas las sumas son diferentes.
Entonces prepárate
,
,
Contradicción. Entonces la secuencia que satisface el problema es única.
Añadir respuestas de prueba
1. Utilice la reducción al absurdo. Si A, B, D y C no son círculos de cuatro puntos, supongamos que el círculo circunscrito del triángulo ABC corta a AD en el punto E, conecta BE y extiende la línea AN en el punto Q, conecta CE y extiende la línea AM en el punto P, y conecta PQ.
Para la potencia de p (sobre ⊙O) y la potencia ⊙O) K (sobre ⊙O)
,
De la misma manera en; de manera similar Método
,
Entonces,
So ⊥ De la pregunta, OK⊥MN, entonces pq∨Mn, entonces
<. p>. ①Según el teorema de Menelios, sacamos la conclusión
, ②
. ③
Se puede obtener de ①, ② y ③, entonces △DMN ∽ △DCB, entonces BC∨Mn, entonces OK⊥BC, es decir, k es el punto medio de BC, ¡una contradicción! De modo que los cuatro puntos sean * * redondos.
Nota 1: "Prueba de potencia de P (sobre ⊙O) y potencia ⊙O) K (sobre ⊙O)": Extiende PK al punto F tal que
, ④
Entonces p, e, f y a son cuatro * * * círculos, entonces
,
Entonces E, C, F y K son cuatro * * * círculos, entonces
, ⑤
⑤-⑤, obtenemos la potencia de
p (sobre O) y la potencia ⊙O) K (sobre O).
Nota 2: Si el punto E está en la extensión del segmento AD, es completamente similar.
2. El símbolo representa la potencia de 2 contenida en el número entero positivo n, entonces, cuando, es un número entero.
A continuación, utilizaremos la inducción matemática.
Cuando k es un número impar y un número par, en este momento,
es un número entero.
Supongamos que el par de proposiciones es verdadero.
Porque, sea la representación binaria de k.
,
Aquí, o 1,
Por lo tanto
, ①
Aquí
.
Evidentemente, las potencias de 2 contenidas en él lo son. Por lo tanto, a partir de la hipótesis inductiva se puede saber que se puede obtener un número entero mediante V iteraciones de f, y se puede ver en ① que es un número entero, completando la prueba inductiva.
3. Ya sabes, sí, lo hay.
Me di cuenta de que sí, así que sí, sí.
,
Por lo tanto
.
4. Para configurar la contraseña de este bloqueo de contraseña, si los números asignados a dos vértices adyacentes son diferentes, márquelo con A, si los colores son diferentes, márquelo con B, si los números y colores son iguales, use la marca c, por lo que para la configuración en un punto determinado (* * * hay cuatro tipos), la configuración en ese punto se puede determinar secuencialmente de acuerdo con las letras en el costado. Para terminar regresando con la misma configuración que cuando comenzamos, los bordes etiquetados como A y B son números pares. Por lo tanto, la cantidad de métodos diferentes de configuración de contraseña para este bloqueo de contraseña es igual a la cantidad de métodos marcados A, B y C en los lados, de modo que los lados marcados A y B sean cuatro veces el número par.
Supongamos que hay un borde etiquetado como A y un borde etiquetado como B. Hay una manera de seleccionar la marca de borde A, hay una manera de eliminar la marca de borde B de los bordes restantes y hay una manera de marcar el borde restante c. Según el principio de multiplicación, hay un * *. * método de marcado. La suma de I y J, el número de todos los diferentes métodos de configuración de contraseña para el bloqueo de contraseña es
. ①
Estamos de acuerdo con esto.
Cuando n es un número impar, en este momento,
. ②
Ponlo en la fórmula ① y obtendrás
.
Cuando n es un número par, si , entonces la ecuación 2 sigue siendo válida si , todos los lados del polígono regular de N lados están marcados con a, y solo hay un método de marcado. Por lo tanto, cuando n es un número par, el número de métodos para todas las diferentes configuraciones de contraseña es
.
Para resumir, todos los diferentes métodos de configuración de contraseña de este bloqueo de contraseña son los siguientes: cuando n es un número impar, hay dos tipos; cuando n es un número par, hay dos tipos;
Liga Nacional de Matemáticas de Secundaria 2010
Comentarios
10 El puntaje total de la Liga Nacional de Matemáticas de Secundaria que finalizó el 17 de junio fue de 300 puntos, de los cuales 120 puntos* * 11 preguntas 80 puntos, 180 puntos* * 4 preguntas, 150 puntos.
En general, la dificultad de las preguntas pequeñas en la prueba de este año es básicamente la misma que la del año pasado, y la dificultad de las preguntas grandes es ligeramente mayor que la del año pasado. El nivel de la segunda prueba es más difícil, básicamente el mismo que el del año pasado, mientras que la dificultad de las siguientes tres preguntas principales es significativamente menor que la del año pasado.
Por lo tanto, se estima que la puntuación para el primer premio en Beijing este año puede ser básicamente la misma que la del año pasado, un poco más alta y debería rondar los 160. Sin embargo, debido a que las tres preguntas principales después de la segunda prueba no son tan difíciles como la última del año pasado, son básicamente preguntas estándar para los estudiantes del nivel del equipo de Beijing. Por lo tanto, la fila para que Beijing ingrese al campamento de invierno este año (los ocho primeros) puede ser muy alta, tal vez más de 240 puntos, alrededor de 250. puntos, y la puntuación más alta puede ser superior a 280 puntos.
El autor conoció por primera vez a varios altos funcionarios provinciales y municipales. Entre ellos puede haber estudiantes con puntuaciones perfectas de la provincia de Guangdong, mientras que la puntuación más alta de la provincia de Hunan puede estar por encima de 280, de la escuela secundaria número 1 de Changsha. En la provincia de Hubei, puede haber al menos cuatro o cinco estudiantes en la escuela secundaria número uno afiliada a la Universidad Normal del Este de China con puntuaciones superiores a 250, y algunos están cerca de la puntuación perfecta.
Los siguientes son comentarios simples sobre este conjunto de preguntas:
Debido a que es difícil ingresar fórmulas, sugiero a los estudiantes que no han participado en el concurso que descarguen e impriman el PDF. versión de las preguntas que ingresé, y luego primero Hágalo y verifique la respuesta usted mismo después de terminarla. No se darán respuestas detalladas en los comentarios.
1. Esta pregunta es muy simple. La función dada es obviamente creciente, así que encuentre el valor extremo en el límite
2. La pregunta no es difícil. De hecho, la persona que hizo la pregunta la hizo en la segunda pregunta, lo que demuestra que a la persona que hizo la pregunta también le pareció muy simple. Pero lo cierto es que en la sala de exámenes muchos estudiantes, incluidos muchos expertos, están estancados en este tema. La razón es que todos están acostumbrados al método de derivar valores extremos en la escuela secundaria, sin mover -3 hacia la izquierda, por lo que el resultado final es muy complicado y la discusión ni siquiera puede continuar, porque finalmente se convierte en una función cúbica. de hecho, la respuesta estándar da El método de factorización también requiere una cierta cantidad de cálculo;
Mirando hacia atrás en las preguntas del examen de los últimos años, la segunda pregunta más importante del año anterior también se resolvió mediante factorización. pero pocas personas lo resolvieron. La razón puede ser que después de más de dos años de estudios de secundaria, la mayoría de los estudiantes no han tenido mucha exposición a las "habilidades de bajo nivel" del factoring.
3. Es fácil obtener la suma de 9800 mediante enumeración. Pero lo curioso es que la respuesta estándar da una respuesta incorrecta clásica, y muchos estudiantes incluso obtuvieron esa respuesta.
Esta es una pregunta estándar del examen de ingreso a la universidad, y a nadie le resultará extraño si se incluye en el examen de ingreso a la universidad. Enviar subpregunta
5. Sigue siendo una subpregunta estándar.
6. Los problemas típicos de probabilidad geométrica se pueden resolver con cálculos simples; el problema es que no hay acuerdo en la respuesta estándar.
7. Sigue siendo un tipo de pregunta estándar para geometría sólida en el examen de ingreso a la universidad, solo se usa como pregunta para completar espacios en blanco.
8. Para los problemas de conteo combinatorio, en realidad es más rápido resumirlos uno por uno. No es difícil.
9. La primera gran pregunta. Personalmente, creo que esta pregunta es un poco difícil, si nunca has visto preguntas similares. Sin embargo, todo estudiante que haya participado en el concurso puede haber estado expuesto muchas veces a este tipo de preguntas, por lo que no debería ser un gran problema.
10. Para calcular el área de un triángulo, es necesario determinar la longitud del lado y la distancia del punto al lado. Esta cantidad de cálculo no es pequeña, ya sea la media o la derivada, el valor máximo final es fácil de obtener. Pero calcular las coordenadas al puntuar es una exageración. Calculo que sólo unos pocos estudiantes en la sala de examen dieron este valor de coordenadas.
11. Para demostrar que la ecuación original tiene una sola raíz real, es obvio que la función derivada es mayor que cero. La siguiente prueba puede ser de sentido común para los estudiantes con una base sólida en la competencia. Es solo una cuestión de velocidad de escritura. Sin embargo, la mayoría de los estudiantes todavía tienen dolor de cabeza al enfrentar este tipo de preguntas, especialmente porque la cantidad de cálculo de la pregunta anterior no es pequeña y la mayoría de los estudiantes tienen muy poco tiempo para ver esta pregunta. De hecho, podemos demostrar que el 0,4 de la pregunta se puede convertir en una proposición generalizada de cualquier número menor que 0,5. La idea básica de la prueba es sumar la escala mediante una serie geométrica.
Resumen: El sabor del álgebra es muy fuerte; la mayoría de las preguntas son tan difíciles como el examen de ingreso a la universidad; la cantidad de cálculos es enorme; Si no ve preguntas similares, entonces 9 también es relativamente difícil.
Pero en comparación con los 150 exámenes anteriores, la dificultad del primer examen se ha reducido considerablemente. Puedes simplemente buscar un título real de la liga 03-08 y lo encontrarás.
Es posible que los puntajes de los exámenes de todos no sean muy altos este año. En primer lugar, muchos estudiantes se quedan estancados en la segunda pregunta. En segundo lugar, la cantidad de cálculo es demasiado grande y es posible que las dos últimas preguntas no se completen a tiempo.
A continuación, veamos el segundo intento:
La primera pregunta es sobre puntuaciones, 40 puntos. La prueba de nivel del año pasado tenía gráficos más complicados y fue adaptada de la prueba de opción múltiple del equipo de capacitación de 2003.
Las preguntas de este año pueden ser más difíciles que las del año pasado, al menos hasta donde yo sé, sólo un puñado de expertos de primer nivel pueden resolverlas. La mayoría de los estudiantes se dieron por vencidos temprano o de mala gana después de perder más de una hora en este tema. Esto lleva a dos resultados: los estudiantes que se dan por vencidos temprano se beneficiarán, porque las últimas tres preguntas pueden ser más fáciles que el año pasado. De esta forma conseguirás muchos puntos en el segundo examen. Los estudiantes que pierdan demasiado tiempo en esta pregunta se sentirán miserables. Es posible que las preguntas que podrían resolverse más tarde no se completen a tiempo.
La gráfica de este problema es muy sencilla. De hecho, este problema es una propiedad básica de un cuadrilátero completo, que se puede encontrar en el libro de referencia de geometría avanzada y otra geometría plana. Quizás esta pregunta sería mejor si tuviera algún conocimiento previo sobre los polos y las líneas epipolares. Esta pregunta se puede utilizar como pregunta de opción múltiple para el equipo de capacitación alrededor del 01.
A juzgar por las preguntas de nivelación del año pasado y de este año, puede que no sea fácil para muchos estudiantes de primer año apostar por subir de nivel. Debido a que estas dos preguntas son muy difíciles, es difícil pensar en los métodos de las respuestas estándar sin conocer algunos conocimientos previos relevantes. Parece que las futuras investigaciones sobre Pingji no deben limitarse a varios teoremas famosos de Pingji. Algunas cosas que antes se consideraban muy abstrusas, como polos y líneas polares, series de puntos armónicos, cuadriláteros armónicos, inversiones y similitudes potenciales, también deben comprenderse; de lo contrario, a Pingji le resultará difícil puntuar.
De hecho, mirando la primera pregunta de la segunda prueba durante más de diez años, ha sido difícil durante varios años. Tanto es así que los compañeros de clase que apuestan por Pingji suelen volver a casa con las manos vacías. El año que viene es el tema de la provincia de Hubei. El profesor X de la provincia de Hubei también realiza una investigación en profundidad sobre geometría y se especializa en la enseñanza de geometría avanzada. Calculo que la cuestión de la igualdad será bastante difícil el año que viene. Los estudiantes deben estar preparados para esto.
Veamos la segunda pregunta. Este problema de teoría de números es muy simple. En comparación con la pregunta de teoría de números del año pasado, la dificultad de esta pregunta es completamente diferente. Los estudiantes que tengan un conocimiento profundo de la teoría de números pueden comprender completamente los pasos de la demostración en menos de diez minutos. De hecho, este problema no requiere conocimiento profesional del orden, solo requiere la división más simple y la inducción más simple para demostrarlo. Una estimación conservadora es que al menos cien personas en Beijing han resuelto este problema por completo;
El tercer problema es álgebra, una desigualdad. Esta desigualdad es en realidad una desigualdad no convencional. Porque los problemas generales de desigualdad suelen utilizar una serie de desigualdades importantes como la media y Cauchy. Pero este problema puede incluso resolverse deformando la identidad algebraica. Como máximo, se utiliza una propiedad de función creciente en el medio. Se puede decir que un excelente estudiante de secundaria podría completar esta pregunta.
Esta pregunta no es demasiado difícil, pero sí más difícil que la segunda pregunta, porque la deformación homomórfica anterior es bastante hábil. De hecho, el método para calificar las respuestas no es muy bueno y complica las preguntas sencillas. Calculo que la gran mayoría de los candidatos en la sala de examen no responden utilizando el método de respuesta estándar.
El problema de desigualdad del año pasado puede haber sido ligeramente más simple que el de este año.
Se puede ver en las formas de los problemas de desigualdad del año pasado y este año que, de hecho, los problemas resueltos por Cauchy, la desigualdad media y las desigualdades de simetría rotacional tridimensional se han estudiado más a fondo en los últimos años. Los nuevos problemas en esta área son demasiado simples o demasiado difíciles para usarlos como preguntas de competencia; por lo que predigo que las preguntas de álgebra del próximo año probablemente no se evaluarán sobre desigualdades, sino que se centrarán en la resolución de ecuaciones y problemas de composición. en series recursivas, etc. Si se quiere comprobar la desigualdad, es muy probable que siga siendo este tipo de desigualdad no convencional.
La pregunta sobre desigualdad de este año es en realidad muy similar a la última pregunta de la Olimpiada Occidental de Matemáticas del año pasado. Los estudiantes interesados tal vez deseen compararlo ellos mismos.
La cuarta pregunta: recuento de teñido.
Como última pregunta, todo el mundo está acostumbrado desde hace mucho tiempo a la última pregunta de la segunda prueba de liga. Sólo una docena de estudiantes de la provincia lo lograron, e incluso todo el ejército fue aniquilado. El final es extremadamente difícil y rendirse básicamente se ha convertido en una tendencia fija. Pero el final de este año obviamente no es tan difícil. Los evaluadores de proposiciones pueden encontrar difícil este tipo de conteo, como se puede ver en el confuso proceso de solución dado en la respuesta estándar, que está llena de varios símbolos complejos.
Pero si nos fijamos en la esencia del problema, podemos pensar en él como una "combinación bidimensional". Si pensamos en 0 y 1 como 0 y 1 en el eje X, y en los dos colores como 0 y 1 en el eje Y, entonces consideramos que estas cuatro combinaciones en realidad corresponden a cuatro puntos en el plano de coordenadas, conectamos si obtenemos un cuadrado, entonces podemos considerarlos como un cuadrado.
De esta manera, podemos usar secuencias recursivas para hacerlo. Es fácil obtener tres conjuntos de relaciones recursivas y se puede calcular que el valor inicial es 27. A continuación, resolver el término general de la secuencia recursiva es un problema muy común. .
Este método cuadrado parece ser ligeramente similar al problema "Ciudad espacial" de CMO en 01, pero ese problema es mucho más difícil que este:
Secuencia recursiva La solución al problema general El término es exactamente el mismo que el conocido problema del salto. Esta pregunta puede ser la primera que China plantea a la Organización Marítima Internacional, y parece haber sido planteada por el Sr. Qi.
Resumen de la segunda prueba:
La primera fue sumamente difícil. Se estima que no habrá más de 20 personas en Beijing. El segundo camino es más fácil; el tercero es un poco más difícil; el último es el más difícil de los últimos tres, pero en comparación con la dificultad del final a lo largo de los años, puede ser el más fácil en más de diez años. Esto también ha llevado directamente a un fuerte aumento en la puntuación de admisión en Beijing este año, que puede llegar a más de 240. Se estima que la puntuación del primer premio para la primera prueba es 85+70, que es alrededor de 160 o incluso más, porque la segunda prueba es más fácil.